葛 超,常晨蕾,姚 征,蘇 皓,2
(1.華北理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院,河北 唐山 063210;2.華北理工大學(xué) 唐山市半導(dǎo)體集成電路重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 唐山 063210)
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network,NN)是一種典型的神經(jīng)元互連形成的復(fù)雜系統(tǒng),表達(dá)一種類似于人腦的思維計(jì)算過程,因此,被廣泛用作計(jì)算工具。在過去的十幾年中,NN 已被應(yīng)用于生物系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)、組合優(yōu)化等領(lǐng)域[1-3]。但是在實(shí)際的應(yīng)用中,不可避免地會(huì)出現(xiàn)時(shí)滯[4-6]、攻擊[7-9]等問題,導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化,不穩(wěn)定的情況也時(shí)有發(fā)生。例如,文獻(xiàn)[10]中研究了一類具有離散時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制,構(gòu)造了一個(gè)新穎的泛函,利用杰森不等式處理積分項(xiàng),推導(dǎo)其穩(wěn)定性條件,由于杰森不等式涉及的信息較少,結(jié)果保守性較大。文獻(xiàn)[11]中研究了在線性系統(tǒng)中控制器增益攝動(dòng)存在的情況和離散時(shí)滯對(duì)線性系統(tǒng)性能的影響,利用杰森不等式來處理泛函求導(dǎo)過程中的積分不等式縮放問題,但該方法使系統(tǒng)過于理想化。
另外,大多數(shù)的系統(tǒng)都進(jìn)行周期采樣,傳統(tǒng)的采樣會(huì)傳輸所有的采樣數(shù)據(jù),導(dǎo)致資源浪費(fèi)。為了解決資源浪費(fèi)的問題,提出了一種新的觸發(fā)機(jī)制——事件觸發(fā)機(jī)制[12-14],只有滿足設(shè)定的觸發(fā)條件,采樣數(shù)據(jù)才會(huì)被傳輸。因此,事件觸發(fā)機(jī)制的提出具有重大意義。文獻(xiàn)[15]中同時(shí)考慮了連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間事件檢測器,減少了資源的浪費(fèi),但是沒有考慮到非脆弱對(duì)控制器的影響。文獻(xiàn)[16]中考慮了離散和分布時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響,并且構(gòu)造了一個(gè)新穎的李雅普諾夫泛函;但它采用周期采樣,沒有考慮事件觸發(fā)機(jī)制,因此仍會(huì)發(fā)生資源浪費(fèi)的現(xiàn)象。
受上述工作的啟發(fā),本文研究了一類在采樣控制下具有離散和分布時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)同步問題。使用一個(gè)具有伯努利分布的變量來描述控制器增益攝動(dòng)的發(fā)生是隨機(jī)的。利用采樣時(shí)刻鋸齒波信息,提出了一個(gè)新穎的雙邊泛函,并利用改進(jìn)的不等式和凸優(yōu)化來處理積分問題,得到了保守性較低的穩(wěn)定性準(zhǔn)則。
考慮具有混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)模型:
將式(1)視為主系統(tǒng),則它的從系統(tǒng)可以用式(2)表示:
在實(shí)際應(yīng)用中,不能保證所有的狀態(tài)變量到控制器的信號(hào)都是連續(xù)的,所以本文考慮采樣控制系統(tǒng),u(t)為控制輸入,采樣瞬間為0 <t1<t2<… <tk<tk+1<… <∞,在傳感器上成功傳輸?shù)牟蓸有蛄斜硎緸棣?{0,t1h,t2h,…,tkh},h為采樣周期,定義r(t)=y(t) -x(t),進(jìn)而得到主從同步誤差系統(tǒng):
其中:f(r(t))=g(y(t)) -g(x(t))。
考慮到控制器參數(shù)攝動(dòng),本文構(gòu)造如下非脆弱控制器:
其中:K為控制器增益矩陣;ΔK(t)為控制器增益攝動(dòng),滿足ΔK(t)=HF(t)B,H、B為常數(shù)矩陣,F(xiàn)(t)是未知矩陣,滿足FT(t)F(t) <I;φ(t)滿足伯努利分布,見式(5)。
當(dāng)φ∈[0,1],可以獲得:
本文引入事件觸發(fā)機(jī)制,確定采樣數(shù)據(jù)是否通過事件觸發(fā)傳輸方案在通信網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行傳輸,通過事件發(fā)生器檢測采樣瞬間與最后觸發(fā)的時(shí)間之間的采樣數(shù)據(jù)誤差。
事件觸發(fā)條件定義為:
其中:e(ikh)=r(ikh) -r(tkh),表示狀態(tài)誤差;ikh=tkh+?h(?∈N)表示當(dāng)前采樣時(shí)刻;r(tkh) ?r(t-τ(t)) -e(ikh),并且λ∈(0,1)為常數(shù);ψ為正的加權(quán)矩陣。當(dāng)滿足式(7)時(shí),將生成一個(gè)傳輸事件。
將零階保持器中的保持間隔劃分為一個(gè)子集Mζ=[ikh+τk,ikh+h+τk+1],M=∪Mζ(ζ=0,1,2,…)。其 中:τ(t)=t-ikh,t∈Mζ。則式(4)被改寫為:
當(dāng)t∈Mζ,分段線性函數(shù)滿足以下條件:
事件觸發(fā)機(jī)制比傳統(tǒng)的時(shí)間觸發(fā)機(jī)制節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源,它不需要連續(xù)檢測。另外,最小傳輸間隔包含至少一個(gè)采樣周期,防止芝諾行為的發(fā)生。
將控制器式(4)代入系統(tǒng)式(3)中,可得到如下同步誤差系統(tǒng)模型:
本文的目的是考慮非脆弱的控制器參數(shù)攝動(dòng),設(shè)計(jì)非脆弱控制器,使誤差系統(tǒng)穩(wěn)定,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)主從同步控制。
引理1[17]存在對(duì)稱矩陣M和適當(dāng)維數(shù)矩陣Y1、Y2,對(duì)于所有連續(xù)可微函數(shù),滿足以下不等式條件:
引理3存在一個(gè)矩陣H滿足H=HT,具有相同維度的矩陣U1、U2,以下不等式成立:
對(duì)于所有滿足FT(t)F(t) ≤I,則存在一個(gè)標(biāo)量ρ>0,使以下不等式成立:
定義1如果誤差系統(tǒng)式(10)是指數(shù)穩(wěn)定的,則主系統(tǒng)式(1)和從系統(tǒng)式(2)將實(shí)現(xiàn)指數(shù)同步。存在兩個(gè)常數(shù)α和β使
本章建立了與時(shí)滯相關(guān)的指數(shù)穩(wěn)定條件。為了簡化書寫,定義了以下式子,其中:diag {…}為對(duì)角矩陣,I表示有適當(dāng)維數(shù)的單位陣。
考慮控制器存在參數(shù)攝動(dòng)的情況,通過以下定理得到控制器的設(shè)計(jì)方法。
定 理1給定標(biāo) 量λ∈(0,1),τM>0,d>0,α>0,φ>0,ω1和ω2,如果存在矩陣P>0,Rm>0(m=1,2),ψ> 0,Sm>0(m=3,4),Zm>0(m=1,2,3),Vm>0(m=1,2),Q>0,G、L、S1、S2、M1、M2、Y1、Y2是具有合適維度的矩陣,則在非脆弱控制器式(4)下,保證誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定,從而實(shí)現(xiàn)主系統(tǒng)式(1)和從系統(tǒng)式(2)的指數(shù)同步。
其中:定義Sym{A}=A+AT;row {…}為矩陣的行。
此外,本文設(shè)計(jì)的采樣控制器增益矩陣可以通過K=G-1L給出。
證明
對(duì)泛函進(jìn)行求導(dǎo),得到如下結(jié)果:
由引理2 可以得到:
根據(jù)假設(shè)1,對(duì)于任何合適的對(duì)角線矩陣V1、V2,都可以獲得如下不等式:
給定標(biāo)量ω1、ω2和適當(dāng)維數(shù)矩陣G,利用自由加權(quán)矩陣技術(shù)和式(6),很容易得到:
聯(lián)合式(11),得到:
由于定理1 和文獻(xiàn)[16]中的結(jié)論,可以很清楚地得到:
因此,給定正標(biāo)量β,容易得到:
也可以等價(jià)為:
誤差系統(tǒng)式(10)隨衰減率α呈指數(shù)穩(wěn)定,這表明主系統(tǒng)式(1)和從系統(tǒng)式(2)是呈指數(shù)同步的。
本文構(gòu)造了一種新穎的泛函,不僅包括常規(guī)泛函,還包括雙邊泛函,S1、S2不一定是正定的,不僅考慮了區(qū)間[0,τ(t)],還考慮了區(qū)間[τ(t),τM],推導(dǎo)出更嚴(yán)格的穩(wěn)定性判據(jù)。
現(xiàn)在文獻(xiàn)的工作中,大多數(shù)考慮在混合時(shí)滯下的非脆弱控制器同步控制,事件觸發(fā)尚未在此領(lǐng)域得到充分發(fā)展,在定理1 中,提出了一種隨機(jī)發(fā)生參數(shù)攝動(dòng)的非脆弱控制器,服從伯努利分布。本文應(yīng)用事件觸發(fā)機(jī)制降低對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的浪費(fèi),節(jié)省帶寬,通過LMI 工具箱求得控制器增益矩陣K和觸發(fā)參數(shù)ψ。
當(dāng)控制器參數(shù)攝動(dòng)消失時(shí),可以得到如下的誤差系統(tǒng):
推 論1 給定標(biāo) 量λ∈(0,1),τM>0,η>0,d>0,α>0,ω1,ω2,存在矩 陣P>0,Rm>0(m=1,2),ψ>0,Sm>0(m=3,4),Zm>0 (m=1,2,3),Vm>0 (m=1,2),Q>0;G,S1,S2,M1,M2,Y1,Y2是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣,滿足以下LMI:
在無參數(shù)攝動(dòng)的控制器下,保證誤差系統(tǒng)式(24)指數(shù)穩(wěn)定從而實(shí)現(xiàn)主從同步。此外,采樣控制器增益矩陣K通過K=G-1L給出。
該推論的證明過程和定理1 類似,故省略。
當(dāng)系統(tǒng)簡化為式(24)時(shí),推論解決了文獻(xiàn)[16]包含的問題,并且得到了比文獻(xiàn)[16]更優(yōu)的結(jié)果。它們的推論也很容易在本文中得到。
例1 考慮以下參數(shù)時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):
誤差狀態(tài)響應(yīng)如圖1 所示,控制輸入如圖2 所示,可以看出誤差系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定,所設(shè)計(jì)的帶有參數(shù)攝動(dòng)的事件觸發(fā)控制器是有效的。從圖3 可以看出,當(dāng)h=0.1,在8 s 內(nèi)只需向控制器發(fā)送44 個(gè)采樣信號(hào),傳輸速率為55%,很容易看出,并不是所有信號(hào)都被傳輸。事件觸發(fā)機(jī)制可以減少傳輸點(diǎn)的數(shù)量,以節(jié)省通信資源。
圖2 例1的控制輸入曲線Fig.2 Control input curve of example 1
圖3 例1的傳輸瞬間和釋放間隔Fig.3 Transmission instants and release interval of example 1
例2 使用時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用模型,稱為四罐系統(tǒng),參數(shù)如下:
在本例中不考慮非脆弱性,利用推論,事件觸發(fā)機(jī)制被考慮為時(shí)間觸發(fā)機(jī)制,當(dāng)W4=0 時(shí),可以得到最大的α為2.37,與文獻(xiàn)[19]相比,指數(shù)衰減系數(shù)提升了0.16??刂破髟鲆婢仃嘖為:
控制輸入信號(hào)和誤差狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)如圖4 和圖5 所示。在圖4 中,在控制器的作用下,誤差信號(hào)迅速趨近于零,這說明本文提出的方法是有效的。
圖4 例2的控制輸入曲線Fig.4 Control input curve of example 2
圖5 例2誤差系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.5 Error system state response curve of example 2
本文研究了一類具有離散和分布式時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在非脆弱事件觸發(fā)控制下的指數(shù)同步問題,提出了一種新的雙邊泛函,考慮了更多關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)特征信息。此外,利用改進(jìn)的不等式和凸組合,得到了較不保守的同步準(zhǔn)則。目前,基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制的研究還不夠成熟,特別是動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的切換神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),是我們今后研究的主要內(nèi)容。