張德州, 劉文鍇, 熊曉峰, 馮黨, 宋書學(xué)

(1.河南省地球物理空間信息研究院,河南 鄭州 450009; 2.河南省地質(zhì)物探工程技術(shù)研究中心,河南 鄭州 450009;3.華北水利水電大學(xué),河南 鄭州 450046; 4.南水北調(diào)中線建管局渠首分局,河南 南陽 473000)

針對上述問題,本文在工程實踐的基礎(chǔ)上提出了一種基于漸消因子的改進(jìn)自適應(yīng)濾波器。根據(jù)假設(shè)檢驗的結(jié)果在每個歷元上進(jìn)行漸消濾波或魯棒估計。利用GNSS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)采集的實測數(shù)據(jù),對所提算法進(jìn)行測試,并與常規(guī)濾波器的解算結(jié)果進(jìn)行對比分析,以驗證該算法的有效性。

1 漸消濾波

1.1 漸消濾波的基本準(zhǔn)則

在滿足高斯分布假設(shè)的情況下,卡爾曼濾波具有良好的性能。但是,若模型誤差較大,脫離了高斯分布假設(shè),則可能導(dǎo)致濾波器發(fā)散。針對動態(tài)模型誤差,研究人員提出利用漸消濾波器[14]來限制卡爾曼濾波器的“記憶長度”。對于動力學(xué)方程:

xk=Φk,k-1xk-1+wk,

(1)

先驗狀態(tài)估值xk,k-1為:

xk,k-1=Φk,k-1xk-1。

(2)

式中:xk和xk-1分別為k和k-1歷元的狀態(tài)向量;Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;wk為狀態(tài)噪聲矩陣。

假設(shè)Hk和zk分別為觀測矩陣和觀測向量,則卡爾曼濾波的迭代解xk/k為:

(3)

(4)

(5)

與傳統(tǒng)卡爾曼濾波器的協(xié)方差矩陣相比,漸消濾波器中xk,k-1的協(xié)方差矩陣膨脹了Sk倍,更加注重當(dāng)前測量信息的作用。因此,由于漸消因子的存在,前一歷元帶來的狀態(tài)模型誤差得到了很好的減弱。由此也可以看出,當(dāng)前測量信息可靠與否,直接影響著漸消因子的效果。

1.2 漸消因子的估計方法

漸消濾波器的重點工作是構(gòu)造合適的漸消因子。理論上,當(dāng)誤差異常時,應(yīng)放大漸消因子Sk。研究人員提出了一種具有最優(yōu)漸消因子的濾波器,并給出了簡化的漸消因子[14]:

Sk=max{1,tr(Nk)/tr(Mk)};

(6)

(7)

(8)

(9)

Vk=Hkxk,k-1-zk。

(10)

除采用單因子漸消濾波器外,還開發(fā)了用于漸消濾波器的漸消矩陣[12]。與單因子漸消濾波器不同,漸消矩陣濾波器能夠根據(jù)狀態(tài)向量元素的可觀測性在多個數(shù)據(jù)通道中進(jìn)行調(diào)整。漸消矩陣可表示為:

Sk=diag(s1,s2,…,si,…,st,1,…,1,…,1),

(11)

(12)

在公式(11)中,s1、s2、…、st能夠自適應(yīng)地進(jìn)行估計,其他元素均賦值為1。

2 基于馬氏距離和漸消因子的改進(jìn)自適應(yīng)狀態(tài)估計

漸消濾波器中更加重視當(dāng)前測量信息[11],為了達(dá)到理想的濾波效果,當(dāng)前的測量信息必須可靠。然而,很少有文獻(xiàn)討論漸消濾波器中當(dāng)前測量信息不可靠的情況。實際上,漸消濾波器中的單漸消因子和漸消矩陣都是基于測量結(jié)果得到的預(yù)測殘差向量來構(gòu)造的?？梢?漸消濾波器的性能與測量值的精度密切相關(guān)。因此,應(yīng)適時、合理地使用漸消因子/矩陣,制定針對不可靠觀測信息的有效處理策略。若過程噪聲和測量噪聲符合高斯分布,則離散線性隨機(jī)狀態(tài)空間模型可表示為:

(13)

m維觀測值的概率密度函數(shù)ρ(zk)可表示為:

(14)

為控制異常觀測誤差的影響,Rk需自適應(yīng)進(jìn)行估計與更新,以降低異常觀測量的權(quán)重或者刪除異常觀測值。一般地,先驗狀態(tài)向量中的元素是相關(guān)的[11]。因此引入雙因子協(xié)方差膨脹參數(shù)λij[15],即:

(15)

(16)

3 GNSS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)模型

近年來,GNSS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)已成為動態(tài)導(dǎo)航定位領(lǐng)域的熱點[16-17]。GNSS和INS的集成主要分為3種模式,即松耦合、緊耦合以及超緊耦合。其中,松耦合系統(tǒng)實施方便,成本較低,應(yīng)用較為廣泛,因此本文采用松耦合模式。對于GNSS/INS各種集成系統(tǒng),應(yīng)針對非線性問題實現(xiàn)非線性濾波。

zk=[ΔrΔv]T。

(17)

實際上,松耦合GNSS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中的觀測方程為線性方程,因此其量測更新過程可以表示為:

xk,k=xk,k-1+Kk(zk-Hkxk,k-1),

(18)

(19)

Pk,k=Pk,k-1-KkHkPk,k-1。

(20)

顯然,狀態(tài)估計值與測量值密切相關(guān),不可靠測量值可能會造成不可估量的影響。然而,在實際中不可靠的測量是不可避免的。因此,對異常測量值必須進(jìn)行謹(jǐn)慎處理。漸消因子/矩陣和抗差估計方法已在GNSS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)中得到應(yīng)用。針對漸消因子對濾波效果的影響,可采用基于馬氏距離和協(xié)方差膨脹因子構(gòu)建的判斷指標(biāo)來提高濾波效果。

4 試驗分析

為驗證所提算法的有效性,本文設(shè)計了不同的濾波算法數(shù)據(jù)處理試驗。以地面車輛作為測試載體,車輛上裝備有GNSS接收機(jī)和慣性測量單元(Inertial Measurement Unit,IMU)。同時,另一臺GNSS接收機(jī)安裝在地勢較高處作為基準(zhǔn)站。利用地面車輛在真實條件下采集數(shù)據(jù)。在測試系統(tǒng)中,衛(wèi)星截止高度角設(shè)置為10°,GNSS采樣頻率為1 Hz,INS采樣頻率為100 Hz,以商用軟件提供的雙差緊耦合結(jié)果作為參考。

在GNSS/INS集成系統(tǒng)的數(shù)據(jù)融合中,數(shù)據(jù)融合解算的時間間隔為1 s。試驗中,分別采用初始數(shù)據(jù)和帶有異常觀測值的數(shù)據(jù)測試了不同算法的性能。因此,設(shè)計并實施了兩種試驗情形。每一種情形由4種方案組成,同時將每種算法的結(jié)果與參考值之差作為解算誤差。對比單個漸消因子和漸消矩陣發(fā)現(xiàn),漸消矩陣能夠同時在多個數(shù)據(jù)通道中調(diào)整協(xié)方差矩陣,具有更好的性能,增強(qiáng)了抵御模型失配的能力,因此本文采用漸消矩陣進(jìn)行試驗。對于本文的所有算法,協(xié)方差的初始值都是根據(jù)經(jīng)驗確定的,因此模型參數(shù)存在一定的統(tǒng)計偏差。4種方案為:①傳統(tǒng)卡爾曼濾波器;②漸消矩陣濾波器;③接受零假設(shè)的漸消矩陣漸消濾波器;④在接受零假設(shè)時采用漸消矩陣濾波器,否則利用協(xié)方差膨脹因子對異常觀測值進(jìn)行序列更新。

試驗1:本試驗中利用GNSS/INS組合系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)分別采用上述4種方案進(jìn)行處理。各算法的定位誤差如圖1—4所示。

圖1 方案①的定位誤差

圖2 方案②的定位誤差

圖3 方案③的定位誤差

如上所述,每種方案都是基于初始測量值實現(xiàn)的。初始測量值是在良好的觀測條件下采集的,測量值中存在少量的異常值。因此,由初始測量值解算產(chǎn)生的定位誤差主要是由模型偏差帶來的。對比圖1—4可以明顯看出:方案①算法在X、Y、Z方向上的誤差幅值要比其他算法的大,說明傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的性能有待提高;后面3種算法有效抑制了模型不確定性引起的濾波器發(fā)散,提高了濾波器的穩(wěn)定性。理論上,方案②和方案③的主要區(qū)別在于采用漸消矩陣的時機(jī)。對于初始測量值,零假設(shè)在大多數(shù)歷元上都被接受,因此方案②和方案③的結(jié)果是相似的。除了零假設(shè)被接受的歷元外,方案④算法在其他歷元中均采用了協(xié)方差膨脹因子,從理論上弱化了異常測量的影響。因此,圖4所示算法的誤差幅值比其他3種算法的誤差幅值小。

圖4 方案④的定位誤差

為便于表達(dá)各算法的性能,計算了各算法的均方根誤差。圖5給出了各算法在X、Y、Z3個方向上的均方根誤差(RMSE)。

圖5 各方案的定位均方根誤差

從圖5可以看出,方案①比其他3種算法的RMSE都要大得多,說明傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的穩(wěn)定性和魯棒性還需要進(jìn)一步加強(qiáng)。比較方案②算法和方案③算法的RMSE值發(fā)現(xiàn),前者的效果更好,模型誤差的影響比異常測量值的影響更顯著。在方案③算法的基礎(chǔ)上,本文所提出的改進(jìn)算法能夠拒絕原假設(shè)的歷元附加協(xié)方差膨脹因子。顯然,圖5中方案④算法的RMSE值比其他算法的RMSE值要小,說明有更高的解算精度。由于模型誤差的影響減弱,所有漸消濾波算法的RMSE都小于CKF算法的,并且方案④算法在精度上優(yōu)于其他算法。

試驗2:本試驗人為加入漸變及突變的定位異常值,以檢驗各算法的穩(wěn)定性和抗差性,從而構(gòu)造基于初始數(shù)據(jù)的擾動數(shù)據(jù)。4種算法均基于擾動數(shù)據(jù)實現(xiàn),各算法的定位誤差如圖6—9所示,圖10描述了各算法在X、Y、Z3個方向上的均方根誤差。

圖6 方案①的定位誤差

圖7 方案②的定位誤差

圖8 方案③的定位誤差

圖9 方案④的定位誤差

圖10 各方案的定位均方根誤差

相對較大的異常觀測值數(shù)量是影響濾波性能的主要因素。分析圖6—9以及圖5和圖10發(fā)現(xiàn),所有算法的誤差振幅都比試驗1中的振幅大,說明所有算法都受到了測量異常值的顯著影響。由于方案①和方案③算法沒能有效地處理測量異常值,圖6和圖8顯示的測量異常值影響比圖7和圖9中的更明顯。方案③算法在接受零假設(shè)且模型誤差得到良好控制的情況下采用漸消矩陣,其性能優(yōu)于方案①算法。在方案②中,當(dāng)接受零假設(shè)時,漸消矩陣表現(xiàn)良好,而當(dāng)拒絕零假設(shè)時,漸消濾波器變得不穩(wěn)定。對比圖6和圖7可以看出,在某些歷元,方案②算法的振幅甚至比方案①算法的還要大。方案④算法考慮了模型誤差和測量異常值,并在相對合理的時機(jī)采用漸消矩陣。在圖9中,3個方向的誤差振幅都比其他算法的誤差振幅小,說明方案④算法有更好的性能。但對于連續(xù)變化的異常觀測值可能會出現(xiàn)數(shù)值太小而導(dǎo)致的檢驗失敗。因此,在圖9的某些歷元,方案④算法的性能仍然會受到連續(xù)變化的異常觀測值的影響。

5 結(jié)論

本文針對異常觀測值研究了漸消因子/矩陣的自適應(yīng)狀態(tài)估計問題,得到如下結(jié)論:

1)傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法難以有效抵抗異常觀測值的影響,其濾波魯棒性還需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

2)基于漸消矩陣的自適應(yīng)濾波器能夠控制模型誤差的影響,但當(dāng)測量數(shù)據(jù)中存在異常值時,濾波器的性能可能會顯著下降,本文的數(shù)據(jù)試驗結(jié)果也驗證了這一點。

3)利用異常觀測值殘差構(gòu)造出的漸消矩陣將導(dǎo)致濾波性能變差,不合理地使用漸消濾波將帶來相反的效果。因此,漸消濾波在工程應(yīng)用中應(yīng)采用適時及合理的方式。

4)通過異常探測提高了漸消濾波器的穩(wěn)定性,有效地控制了模型誤差和測量異常值的影響。