袁宇軒

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，弄清、熟悉掌握求解不等式恒成立的一般方法，是學(xué)好不等式的重要一步，這也有助于我們提升自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力。如果方法缺乏針對性，對導(dǎo)數(shù)、不等式等概念弄不清楚，就直接去解題，肯定是要碰壁的。而正確理解了導(dǎo)數(shù)、不等式等概念，掌握了有效方法，再去探究證明不等式恒成立就比較容易了。通過巧妙利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行不等式恒成立問題的推導(dǎo)和證明，反過來也可以進(jìn)一步增進(jìn)對不等式概念和性質(zhì)的深刻理解。

高考中考查導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容一般難度較大，呈現(xiàn)出較強(qiáng)的綜合性，這對我們的數(shù)學(xué)解題水平、邏輯思維和學(xué)習(xí)品質(zhì)要求高。但在考試中不管是以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，還是以解答題形式來考查，基本都是這一類題型中的最后一道題，都對檢驗(yàn)和鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維能力很有益處。特別是在高中導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)過程中，證明不等式恒成立問題是不可避免的一環(huán)，尤其是有關(guān)lnx 與e*x 的問題一直是考試?？汀Υ?，以下我就將自己在學(xué)習(xí)中的一些心得體會進(jìn)行簡要小結(jié)，與大家一起分享。

一、參變分離

參變分離法就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)），可利用不等式的等價(jià)變形，讓兩個(gè)字母分居不等號的兩側(cè)，即不等號的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式。然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍。最為基礎(chǔ)的、也必須掌握的參變分離，一般是將原不等式轉(zhuǎn)變?yōu)橐磺恢边M(jìn)行求解，通過最值證明。但值得注意的一點(diǎn)是遇到lnx 需將其單列，e*x 將其乘上某個(gè)式子，可極大減輕計(jì)算量。

二、隱零點(diǎn)

隱零點(diǎn)法是依靠二階導(dǎo)、畫圖等判斷一階導(dǎo)的單調(diào)性，接著利用零點(diǎn)存在性定理求得，一階導(dǎo)零點(diǎn)所在區(qū)間，及取得零點(diǎn)時(shí)的等量關(guān)系，從而得到原函數(shù)的極值點(diǎn)范圍及等量關(guān)系，最后依靠等價(jià)變形等方式求得極值、最值，證明不等式恒成立問題。

優(yōu)缺點(diǎn)：最為常見的解法，可解出絕大部分這類題型，但計(jì)算量大，且常需要分類討論，思維量大。

三、指對同構(gòu)

當(dāng)要證明的不等式中既含有e*，又含有l(wèi)nx 時(shí)，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問題直接構(gòu)造差函數(shù)進(jìn)行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數(shù)、同構(gòu)等技巧。指對同構(gòu)通過將函數(shù)轉(zhuǎn)化為相同的結(jié)構(gòu)，通過換元法轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵谓Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而求導(dǎo)得出結(jié)果，常見為xe*x=e*（x+lnx）、xlnx=lnxe*lnx 等結(jié)構(gòu)，此類題型常出現(xiàn)在壓軸題中，例如2022年新一卷與全國甲卷最后一題（全國甲卷同構(gòu)后再利用對數(shù)均值不等式即可得出結(jié)果）。

優(yōu)缺點(diǎn)：常見于指對函數(shù)同時(shí)出現(xiàn)是的一項(xiàng)策略，可極大減輕計(jì)算量，且構(gòu)造出的式子極具美感，但同構(gòu)題目相對靈活，需多積累經(jīng)驗(yàn)方可得心應(yīng)手。

四、切線放縮

例如：lnx <=x-1，x >0，且當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等，e*x >=x+1，x 取值為R，且當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等。這是最基本的兩種形式，由此還可延伸出多種放縮模型這里就不再多加贅述。

優(yōu)缺點(diǎn)：可極大減輕計(jì)算量，在解決恒成立問題中有奇效，但追求嚴(yán)謹(jǐn)需要證明。

五、極值點(diǎn)偏移類問題

解法一：將題目所給不等式兩變量分離，通過函數(shù)求得兩點(diǎn)所在的范圍，通過變形將其移到極值點(diǎn)的同邊（多元化一元，統(tǒng)一定義域）利用單調(diào)性定義法求解。

優(yōu)缺點(diǎn)：類似上文提到的隱零點(diǎn)解法，屬于保底解法，但計(jì)算量大，耗時(shí)久。

解法二：通過對數(shù)間的加減，得到雙變量之間商或積的關(guān)系，接著將兩個(gè)極值點(diǎn)用換后的式子表示，進(jìn)而達(dá)到一元求解。

優(yōu)缺點(diǎn)：范圍相對解法一更廣，不局限于系數(shù)為一的極值點(diǎn)偏移類問題，但同樣計(jì)算量大、耗時(shí)久。

解法三：通過對數(shù)加減，得到的雙變量間的關(guān)系，利用對數(shù)均值不等式等價(jià)變形可得到結(jié)果，如遇不同于對數(shù)均值不等式的大小方向，則可利用題目間等量關(guān)系將乘轉(zhuǎn)化為和，進(jìn)行求解。

優(yōu)缺點(diǎn)：過程簡潔明了，計(jì)算量小，在解決極值點(diǎn)偏移問題時(shí)有奇效，但有一定的范圍限制，且需證明（證明時(shí)將兩變量轉(zhuǎn)化為除的形式可大大減小計(jì)算量）。

指導(dǎo)老師：吳雪光