吳玲, 王丕琨, 盧發(fā)興

(海軍工程大學(xué), 湖北 武漢 430033)

0 引言

隨著魚雷技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)代潛射魚雷對水面艦艇的威脅越來越大[1-2]。傳統(tǒng)魚雷對抗措施[3-10]難以滿足艦艇對抗魚雷的需求,其主要原因是聲吶只能測定來襲魚雷方位變化信息,而其距離測量量誤差較大。為提升對魚雷毀傷概率,采取區(qū)域射擊方式[11],在魚雷可能航路上布設(shè)深彈攔截線方法逐漸成為研究熱點。如俄羅斯的“蟒蛇”反魚雷系統(tǒng)利用估計距離和方位,在魚雷的可能航向上布設(shè)一個帶聲吶探測裝置的懸浮深彈陣,增強對魚雷的毀傷概率[12]。

由于艦艇攜帶深彈數(shù)量有限,在達到既定毀傷概率的前提下合理確定深彈布設(shè)密度成為這一問題關(guān)鍵。現(xiàn)有文獻[13-19]主要通過布設(shè)線長與深彈毀傷半徑比來確定布設(shè)數(shù)量,再通過乘以比例系數(shù)調(diào)整布設(shè)數(shù)量,改變毀傷概率,無法根據(jù)既定概率快速求解布設(shè)密度,且沒有考慮深彈布設(shè)本身存在的誤差,所求初值距真值差距較大。

為解決基于既定概率配置深彈數(shù)量這一問題,本文通過構(gòu)建最優(yōu)中間函數(shù)[20],利用條件極值計算深彈均勻配置模型下的理論最優(yōu)毀傷概率解析解。根據(jù)最優(yōu)毀傷概率,構(gòu)建初值函數(shù),確定深彈配置數(shù)量初值,通過迭代計算既定概率下深彈配置數(shù)量。進一步,依據(jù)深彈作戰(zhàn)使用方法,確定區(qū)域射擊范圍和深彈實際配置方法。相比傳統(tǒng)方法,采取本文方法確定的深彈布設(shè)數(shù)量初值與真值接近,經(jīng)過較少迭代次數(shù)即可求解真值,且通過對初值的修正,可以達到快速求解計算的目的,節(jié)省了求解時間,提升了求解精度。

1 基于區(qū)域射擊的深彈毀傷魚雷概率模型

建立l坐標(biāo)軸,使之垂直于魚雷的期望航路,期望航路與坐標(biāo)軸的交于原點O(見圖1)。圖1中αi為第i枚深彈射線與攔截線的夾角,lx為魚雷航路最可能分布的區(qū)間半徑。

圖1 區(qū)域射擊攔截魚雷示意圖Fig.1 Diagram of torpedo-intercepting shooting area

由于魚雷發(fā)射距離較遠,且對其定位精度有限,認為其在(-lx,lx)區(qū)間內(nèi)服從均勻分布。懸浮式深彈殺傷半徑為Rd,認為魚雷在半徑內(nèi)即被毀傷。

火箭深彈在其射擊坐標(biāo)系上的距離和方向誤差對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σd、σβ(對應(yīng)的概率誤差為Ed、Eβ),其在l軸上的投影分別為

(1)

(2)

ξxi為第i發(fā)深彈的瞄準(zhǔn)點坐標(biāo)。當(dāng)魚雷經(jīng)過l軸坐標(biāo)為x時,第i發(fā)火箭深彈毀傷概率為

(3)

式中:xa為第i發(fā)火箭深彈實際的布設(shè)坐標(biāo)。考慮所有魚雷所有可能經(jīng)過點,其毀傷概率為

(4)

式中:f(·)為關(guān)于魚雷經(jīng)過攔截線某一位置的概率密度函數(shù)。魚雷經(jīng)過攔截線某一位置這一事件服從均勻分布,因此第i發(fā)深彈對魚雷的毀傷概率為

(5)

為減小計算量和求解難度,深彈采取均勻布設(shè)方式。每個提前點布置1發(fā)深彈,由于每一發(fā)深彈的誤差投影角αi不同,因此每一發(fā)深彈在l軸服從不同概率誤差的正態(tài)分布,概率誤差為

(6)

當(dāng)魚雷從l軸上x點經(jīng)過時,其至少被一發(fā)深彈所毀傷的條件概率為

(7)

pi(|x-ξxi|)為當(dāng)系統(tǒng)誤差為某一固定偏差值|x-ξxi|時,第i發(fā)深彈在此系統(tǒng)偏差下毀傷魚雷的條件概率,

(8)

考慮魚雷所有可能經(jīng)過位置,其毀傷概率為

(9)

2 最優(yōu)毀傷概率求解

求解魚雷被毀傷的最大概率,等同于求解魚雷未被毀傷的最小概率:

(10)

引入射彈散布密度函數(shù):

(11)

則魚雷被毀傷概率變式為

(12)

顯然U在(-∞,∞)上的積分與瞄準(zhǔn)點位置ξxi無關(guān),構(gòu)造τ:

(13)

將式(13)作為等周條件,通過變分法求解最優(yōu)U以及對應(yīng)的最優(yōu)毀傷概率P,此時目標(biāo)函數(shù)變換為

I=f(x)e-U+λU

(14)

式中:λ為引入的待優(yōu)化宗量。由于f(x)服從均勻分布,其在-lx、lx兩點不連續(xù),將其延拓為2階連續(xù)函數(shù)以進行變分法求解,其延拓函數(shù)為

(15)

式中:φ1(x)∈C2(-lx-δ,-lx+δ),δ為一無窮小量,且

(16)

φ2(x)∈C2(lx-δ,lx+δ),且

(17)

因此有

(18)

以f*(x)代替f(x)得到I*,根據(jù)歐拉-拉格朗日條件,U的最優(yōu)值U0應(yīng)為

(19)

的解,即U0應(yīng)使得

-f*(x)e-U0+λ=0

(20)

代入式(13),可得

(21)

因為當(dāng)x?[-lx,lx]時,射彈散布對于目標(biāo)的毀傷無影響,因此式(21)變換為

(22)

解得

(23)

代入式(20),有

(24)

在x∈[-lx,lx]時,最優(yōu)解同樣滿足:

-f(x)e-U0+λ=0

(25)

對U0(x)最優(yōu)性進行證明,假設(shè)存在最優(yōu)函數(shù):

U1=U0+η(x)

(26)

顯然,U1滿足:

(27)

且有

(28)

證明式(20)最優(yōu),即證明

(29)

由基本不等式1-e-x≤x,可得

(30)

因此

(31)

即證明U0是使P0最大的函數(shù)。因此得到最優(yōu)毀傷概率:

(32)

3 基于預(yù)定毀傷概率求解布設(shè)數(shù)量

當(dāng)確定毀傷概率Pc、誤差條件和配置方法,因此影響毀傷概率只有深彈數(shù)量n。傳統(tǒng)方法通過攔截區(qū)間長度與殺傷半徑的比值來確定布設(shè)深彈數(shù)目:

(33)

式中:kp為比例系數(shù),kp∈+。此方法無法直接根據(jù)預(yù)設(shè)概率Pc求取布設(shè)彈數(shù)n,只能通過逆向枚舉計算求取符合概率Pc的布設(shè)彈數(shù)n。無法直接根據(jù)預(yù)定毀傷概率確定初值,求解時間不穩(wěn)定。

為解決此問題,本文提出基于預(yù)定毀傷概率的布設(shè)密度求解公式。將毀傷概率表示為關(guān)于布設(shè)深彈數(shù)量的函數(shù)P(n),布設(shè)深彈數(shù)量求解問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題:

(34)

對于深彈數(shù)量n,引入序列nk,有

(35)

式中:φ(Pc)為初值計算函數(shù);?(nk)為布設(shè)深彈數(shù)量計算迭代函數(shù)。迭代終止條件為|nk-nk-1|<1。首先通過初值函數(shù)φ(Pc)計算深彈數(shù)量初值n1,通過計算迭代函數(shù)?(nk)迭代,逼近真實值n∞。為使迭代過程在滿足終止條件時有P(nk)≥Pc,需要使P(nk)

?(nk)-nk>1

(36)

求解布設(shè)深彈數(shù)量,首先構(gòu)建初值函數(shù)。為了減少運算復(fù)雜度,遵從保守原則,選取散布最大的提前點散布參數(shù)Emax作為所有提前點的散布參數(shù)。

構(gòu)造τ′、τ:

(37)

由式(37)可得

n=-2lxln (1-P0)/τ′

(38)

從而有

n0=φ(Pc)=-2lxln (1-Pc)/τ′

(39)

通過迭代法求解:

(40)

(41)

結(jié)合式(40),可得

nk+1=?(nk)=

(42)

式中:

(43)

4 確定深彈攔截線

求取預(yù)定毀傷概率下的布設(shè)深彈數(shù)量,需要計算攔截區(qū)間。根據(jù)實際作戰(zhàn)使用情況和魚雷航路張角確定魚雷可能航路區(qū)間(-lx,lx),確定深彈布設(shè)方案。

假設(shè)某一時刻t0發(fā)出魚雷報警信號,根據(jù)魚雷與艦艇解相遇原理,滿足

vmsinQm=vTLsinφ

(44)

式中:vm為目標(biāo)艦艇速度;Qm為發(fā)現(xiàn)魚雷的舷角;vTL為魚雷運動速度;φ為魚雷攻擊提前角。

圖2為最大提前角射擊示意圖。圖3為最小提前角射擊示意圖。圖2和圖3中,T為魚雷發(fā)射點,W為魚雷發(fā)射時刻我艦艇位置,CT為魚雷與我艦艇相遇位置,φmax為最大攻擊提前角,Ds為深彈發(fā)射的期望距離,L為尾流長度,Q′為魚雷攻擊尾流時的最大敵舷角,φ′ 為最大提前角與最小提前角的差角。

圖2 最大提前角射擊示意圖Fig.2 Firing at the maximum advance angle

圖3 最小提前角射擊示意圖Fig.3 Firing of the minimum advance angle

在同一攻擊態(tài)勢下,魚雷攻擊提前角與魚雷種類有關(guān):直航魚雷攻擊提前角最大,尾流制導(dǎo)魚雷攻擊提前角最小。當(dāng)魚雷為直航魚雷時,根據(jù)式(44),其攻擊提前角為

(45)

當(dāng)魚雷為尾流制導(dǎo)魚雷時,其攻擊提前角使得魚雷與艦艇尾流相遇并進入尾流。通常,尾流長度為

L=180vm

(46)

(47)

設(shè)Qm-φ′=Q′,有

(48)

圖4 確定航路張角示意圖Fig.4 Range of possible routes

圖4為確定航路張角示意圖,圖中Cw為我艦航向。當(dāng)聲吶通過被動方式探測到魚雷T,只能獲取其方位信息,其距離信息依靠估計獲取。聲吶探測角誤差為σ,則魚雷最可能存在區(qū)域為AA′BB′。為覆蓋魚雷所有可能經(jīng)過區(qū)域,在A點選取最小攻擊提前角,在B點選取最大攻擊提前角,則γ為魚雷航向張角。

當(dāng)魚雷告警緊急時,必須在魚雷到達深彈射擊近界之前將攔截線布設(shè)完成。圖5為緊急條件射擊態(tài)勢圖,Rmin為深彈發(fā)射近界,φm為在緊急條件射擊態(tài)勢下的魚雷攻擊提前角,β為深彈發(fā)射提前角。

圖5 緊急條件射擊態(tài)勢圖Fig.5 Firing under emergency conditions

t0時刻艦艇所處位置為W0,魚雷位于L0,收到魚雷報警信息。經(jīng)過最短準(zhǔn)備時間trmin后,艦艇于W1處發(fā)射深彈,并進行機動規(guī)避,此時魚雷位置為L1,深彈從發(fā)射到進入工作狀態(tài)需要經(jīng)歷飛行時間tf和水下準(zhǔn)備時間tc。深彈布設(shè)完畢后魚雷恰好到達L2。

根據(jù)深彈解相遇原理:

(49)

Dmin=Rdcosβ+vTL(tf+tc+trmin)cosφM+vmcosQm

(50)

式中:Dmin為最小發(fā)現(xiàn)距離。

由于情況緊急,需要從近點C選擇最短的攔截線開始布設(shè)。已知發(fā)射深彈時艦艇位置W1(vwtr,0 m),vw為我艦艇航速,tr為深彈準(zhǔn)備時間,求取C點坐標(biāo):

(51)

已知:

(52)

式中:Kds為距離誤差系數(shù),則發(fā)現(xiàn)距離范圍為[(1-Kds)Ds,(1+Kds)Ds]。圖6為緊急條件區(qū)域攔截示意圖,α1、α2分別為最大、最小攻擊提前角時魚雷航向與我艦航向夾角。

圖6 緊急條件區(qū)域攔截示意圖Fig.6 Diagram of area interception under emergency conditions

由

(53)

確定O點坐標(biāo)(xO,yO)。由

(54)

確定D點坐標(biāo)(xD,yD)。

當(dāng)魚雷在深彈射程之外被發(fā)現(xiàn)時,將深彈布設(shè)于最大射程處。為最大范圍覆蓋魚雷航向張角,選取攔截線垂直于航向張角角平分線。圖7為正常條件區(qū)域攔截示意圖。

圖7 正常條件區(qū)域攔截示意圖Fig.7 Diagram of area interception under normal conditions

已知W1(vwtr,0 m),求取F(xF,yF)為布設(shè)基準(zhǔn)點:

(55)

式中:xW1、yW1分別為圖7中W1點的橫、縱坐標(biāo)。

攔截線長度為

(56)

在攔截線長度2lx和布設(shè)數(shù)量n已知的條件下,深彈布設(shè)的瞄準(zhǔn)點也得以確定:以間距為2lx/n均勻布設(shè)在攔截線上。

5 仿真計算

想定條件:某艦艇以30 kn航速航行。于t0時刻接收到魚雷報警,報警信號來自左舷60°,估計距離5 km,聲吶角誤差σ為0.02 rad,距離誤差系數(shù)Kds為0.02,估計魚雷航速44 kn。艦艇準(zhǔn)備利用深彈進行區(qū)域攔截射擊,最快準(zhǔn)備時間trmin為20 s。深彈射擊遠界Rmax為3 000 m,將深彈布置于最大射程處。根據(jù)式(55)、式(56),算得深彈布設(shè)中心點坐標(biāo)(2 181 m,2 337 m)和攔截線長度2lx=1 473 m,繪出深彈攔截態(tài)勢圖(見圖8)深彈毀傷半徑Rd=30 m,射擊方向誤差Eβ=30 m,距離誤差Ed=20 m,基于預(yù)定毀傷概率Pc=0.6對所需要發(fā)射彈數(shù)進行仿真計算,得到計算結(jié)果(見表1)。

圖8 深彈區(qū)域攔截示意圖Fig.8 Diagram of area interception of a deep bomb

表1 兩方法計算結(jié)果對比

基于算例的想定條件,改變射擊誤差Eβ、Ed,計算當(dāng)射擊誤差Eβ、Ed分別取較小、適中和較大值時,本文方法和傳統(tǒng)方法的計算結(jié)果(見表2)。

表2 不同射擊誤差條件計算結(jié)果比較

改變聲吶探測角誤差σ和距離誤差系數(shù)Kds,根據(jù)式(55)、式(56),計算出不同的布設(shè)基點和攔截線長度?；诓煌瑪r截線長度,在Eβ=30 m、Ed=20 m條件下,對比本文方法確定初值與傳統(tǒng)方法確定初值的精度(見表3)。

表3 不同聲吶精度下計算結(jié)果比較

通過仿真計算可知:

1)通過表1對比,本文提出的方法能夠直接基于預(yù)定毀傷概率得出與精確結(jié)果相近的計算初值。只需經(jīng)過較少次數(shù)迭代,便可獲得精確計算結(jié)果。而傳統(tǒng)方法無法根據(jù)預(yù)定毀傷概率計算深彈布設(shè)數(shù)量。

2)通過表2對比,傳統(tǒng)方法計算布設(shè)密度,一方面沒有考慮預(yù)定毀傷概率,另一方面,沒有考慮射擊誤差。這使得在不同射擊誤差下,傳統(tǒng)方法確定的布設(shè)密度難以達到預(yù)期的毀傷效果。本文提出的方法保證初值精度的同時,計算耗時短,實用性強。

3)由表2、表3可以發(fā)現(xiàn),本文提出的方法初值與精確計算結(jié)果誤差不超過2,因此為了節(jié)省計算時間,可以通過對初值計算進行修正,以獲取近似計算結(jié)果。對式(39)進行修正:

n′0=-2lxln (1-Pc)/τ′+2

(58)

式中:n′0為布設(shè)深彈數(shù)量的近似計算結(jié)果。

6 結(jié)論

隨著深彈區(qū)域射擊在反潛中應(yīng)用的推廣,在有限的載彈條件下盡可能合理發(fā)揮深彈毀傷來襲魚雷的效率,攔截盡可能多批次魚雷的襲擊,對于提升艦艇生存概率具有重要意義。本文提出的基于既定概率深彈配置數(shù)量計算方法以及具有時效性的近似計算方法,能夠在既定作戰(zhàn)需求下,準(zhǔn)確地計算深彈配置數(shù)量,避免傳統(tǒng)反潛過程中為保證艦艇生存概率而大批量使用深彈攔截單一批次魚雷,使得艦艇能夠在有限載彈條件下提高攔截魚雷批次數(shù)量,提升艦艇生存概率。且本文提出的近似計算方法在保證精度的前提下,極大地減少了計算耗時,保證了時效性,具有實際使用價值。為后續(xù)反潛作戰(zhàn)深彈戰(zhàn)法運用提供了一定理論基礎(chǔ)。