翟文宇, 錢林方, 陳光宋

(1.南京理工大學 機械工程與動力學院, 江蘇 南京 210094;2.西北機電工程研究所, 陜西 咸陽 712099)

0 引言

自動裝填系統(tǒng)是集機、電、液于一體的綜合系統(tǒng),是現代火炮實現自動化和智能化的重要途徑。擺動機構作為某火炮自動裝填系統(tǒng)的重要結構之一,其功能是實現輸彈輸藥機在取彈取藥位置和輸彈輸藥位置之間的擺動,是自動裝填系統(tǒng)完成裝填功能的重要部分。然而擺動機構由于加工裝配誤差、連接間隙以及運行環(huán)境擾動等因素的存在,致使機構運動存在誤差,偏離指定位置,即存在運動精度可靠性問題。為此,研究擺動機構的運動精度可靠性,建立運動精度可靠性模型,對提升自動裝填系統(tǒng)可靠性有重要意義。

機構的運動精度可靠性定義為實際機構最終的運動姿態(tài)、位置輸出與理想情況下的運動姿態(tài)、位置輸出之間的偏差值低于期望誤差指標的概率[1]。20世紀70年代,Kyзнeцoв等航空航天研究人員提出了機構動作可靠性(即運動精度可靠性)的概念;80年代中期,Sliudikov等研究了工作環(huán)境、條件等對飛機的控制系統(tǒng)、自動裝置等機構的運動精度可靠性的影響;20世紀90年代,羊妗等[2]、黃瑋等[3]、Feng等[4]著手展開了機構動作可靠性的分析研究,并成功地在武器裝備以及航空航天領域獲得了不錯的成果。近年來,更多學者在面對具體對象的機構運動精度可靠性方面做了大量研究工作:劉濤[5]對齒輪機構的運動精度可靠性做了詳細分析;唐雪梅[6]在高速劍桿織機打緯機構的運動精度可靠性分析方面做了大量工作;趙廣兵[7]對工業(yè)機器人的運動可靠性仿真做了細致的研究;郭哲鋒[8]分析了液壓支架機構運動精度可靠性的計算方法;鄭輝[9]分析了螺栓定位夾緊機構的運動精度可靠性計算方法與計算模型;李少東[10]以數控機床為研究對象,探究了數控機床可靠度和可靠性靈敏度的求解方法;Zhang等[11]提出了考慮機器人機構隨機尺寸和關節(jié)角的運動學可靠性分析方法;金玲燕[12]以工業(yè)機器人UR10為研究對象,建立了其運動精度可靠性綜合映射模型,并分析了各影響因素的可靠性靈敏度;吳海淼等[13]基于非概率區(qū)間理論建立了工業(yè)機器人末端位姿誤差模型以及機器人運動可靠度評估模型;王汝貴等[14]以一種基礎變胞機構為例,采用矩陣法與1階泰勒展開建立了機構的運動學誤差模型,并進行可靠性分析;紀明等[15]采用最大熵試驗法來實現對航天作動器輸出可靠性的評估等等。如今也有大量國內學者逐步在自動裝填系統(tǒng)的運動精度可靠性方面開展了研究。趙搶搶[16]、朱國勇[17]、陳元釗[18]對自動裝填系統(tǒng)的動作可靠性問題做了初步研究工作,對裝填裝置的機械手機構進行結構分析,討論了影響裝填裝置機械手可靠性的因素,并在此基礎上建立裝填裝置機械手的運動學模型,獲得了其機構運動精度可靠性的功能函數。高學星[19]將自動裝填系統(tǒng)中的關鍵動作數據抽象為不確定性參數,創(chuàng)建了基于徑向基函數神經網絡的代理模型,采用蒙特卡洛(MC)方法獲得定位誤差的概率分布。上述研究工作為分析自動裝填機構運動可靠性提供了很好的基礎,然而,如何兼顧高效及精確兩方面仍然是運動可靠性領域研究的熱點問題。

可靠性分析方法通常可以分成近似解析法、數字模擬法以及代理模型法[20]。近似解析法是直接針對功能函數通過某種方法積分求解,從而獲得響應變量的概率密度函數或者其他統(tǒng)計信息;數字模擬法是利用MC思想,通過模擬采樣的方式,以頻率近似獲得概率;代理模型法是通過試驗設計獲得訓練樣本,通過訓練樣本將原模型近似為某種代理模型,代理模型相對于原模型往往擁有更小的計算量,因此實現計算效率的提高。采用數字模擬法預測不確定性因素響應下的系統(tǒng)響應量,可以避開復雜的積分過程,但收集數據費時昂貴,且數據量太小時不能準確反映響應量的分布規(guī)律;代理模型法在一定程度上減少了數值模擬法的計算量,增加了計算效率,但由于代理模型本身便是對于原功能函數的近似模型,致使其往往在增加計算效率的同時降低了計算精度,雖然有大量學者致力于優(yōu)化代理模型的建立過程,但面對復雜的工程問題時仍不能有效地解決;近似解析法是目前可靠性分析與設計中普遍應用的一種方法,其所采用的演繹推理方法具有通用性,然而如何高效準確地求解功能函數的積分一直是國內外學者的重要研究方向。因而基于矩的可靠性分析方法的使用越來越普遍,而本文中使用的稀疏網格數值積分(the Sparse Grid Numerical Integration method,SGNI)與鞍點估計相結合的方法可高效準確地獲得目標的運動精度可靠性分析結果。

在與可靠性相關的工程實際問題中,輸入變量的不確定性對模型響應變量不確定性的影響也是需要被重點關注的方面,可靠性靈敏度分析即是一種解決此類問題的有效工具。Saltelli[21]提出了靈敏度分析的定義,即為對于各輸入變量的不確定性對機構輸出變量不確定性影響程度的討論過程。同樣呂震宙等[20]對可靠性靈敏度可以定義為:機構輸入變量的分布參數變化引起機構失效概率變化的比率?？煽啃造`敏度分析的方法主要依附于可靠性分析方法,是在可靠性分析方法基礎上進行的進一步分析。

本文在考慮加工尺寸誤差以及鉸接間隙的條件下,建立某自動裝填系統(tǒng)擺動機構的運動學模型;利用SGNI方法[22-23]獲得運動學響應變量的前4階統(tǒng)計矩;進而通過鞍點估計的方法獲得響應變量的概率密度函數,并通過與MC方法的計算結果對比,來驗證該方法的有效性。在此基礎上得到某自動裝填系統(tǒng)運動精度失效概率,進而利用基于矩方法的可靠性靈敏度分析方法,結合稀疏網格矩陣數值積分方法,獲得模型各尺寸參數的可靠性靈敏度,從而對自動裝填系統(tǒng)擺動機構基于可靠性的設計提供參考。

1 某火炮自動裝填系統(tǒng)擺動機構運動學模型

1.1 擺動機構結構組成

某火炮自動裝填系統(tǒng)是火炮系統(tǒng)實現裝彈裝藥全自動化的裝置機構,由彈倉、藥倉、彈協調器、藥協調器和裝填裝置5個子系統(tǒng)組成,擺動機構隸屬于裝填裝置子系統(tǒng),是實現裝填裝置在取彈取藥姿態(tài)與輸彈輸藥姿態(tài)之間移動的運動機構。

擺動機構本質為一個四連桿機構,由主動臂、從動臂、連接桿和大臂組成,圖1為某自動裝填系統(tǒng)大臂機構結構示意圖。各連桿之間以旋轉副連接,分別記為RJ_1、RJ_2、RJ_3和RJ_4。主動臂受到油缸驅動力,通過旋轉副連接帶動從動臂和大臂發(fā)生位移,以達到驅使大臂所連接的裝填裝置移動至指定位置的目的。本文中所有部件都認定為剛體,不考慮載荷及桿件變形影響。

圖1 擺動機構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the arm of the swing mechanism

1.2 坐標系建立及參數定義

將擺動機構的所有部件視為剛體,銷軸銷孔均勻且忽略制造的不規(guī)則因素等條件,且銷軸與銷孔之間的運動關系為滾動關系。大臂固定在炮尾架體上,且所有部件都是同軸向的旋轉副連接,因此擺動機構只有1個自由度。定義慣性坐標系為Oxyz,O點在大臂上過A點的垂直線與過B點的水平直線的交點,如圖2所示。圖2中,實線為輸彈位,虛線為接彈位;主動臂、大臂、從動臂和連接桿的矢量形式AD、AB、BC和DC分別記為L1、L2、L3和L4,其長度分別為L1、L2、L3和L4,對應與x軸正向的夾角分別為θ1、θ2、θ3和θ4。

圖2 擺動機構坐標系Fig.2 Coordinate system of the swing mechanism

由于加工時不可避免地會產生誤差,存在長度的不確定量。又考慮到加工裝配等因素導致機構鉸接處存在的間隙,其矢量形式分別記為rA、rB、rC和rD,對應長度為rA、rB、rC和rD,矢量與x軸正方向夾角分別記為φ1、φ2、φ3和φ4,將鉸接點A、B、C、D處軸的圓心點記A1、B1、C1、D1,孔的圓心點記為A2、B2、C2、D2,如圖3～圖6所示。

圖3 RJ_1鉸間隙Fig.3 The clearance of hinge RJ_1

圖4 RJ_3鉸間隙Fig.4 The clearance of hinge RJ_3

圖5 RJ_2鉸間隙Fig.5 The clearance of hinge RJ_2

圖6 RJ_4鉸間隙Fig.6 The clearance of hinge RJ_4

1.3 運動學方程

由圖2可知,自動裝填系統(tǒng)的擺動機構為一閉環(huán)的四連桿機構,根據閉環(huán)矢量理論,可得其運動學關系為

AD+DC=AB+BC

(1)

將式(1)中的矢量分別投影至x軸、y軸上可以得到相應方向分量的關系式:

L1cosθ1+L4cosθ4=L2cosθ2+L3cosθ3

(2)

L1sinθ1-L4sinθ4=-L2sinθ2+L3sinθ3

(3)

如圖2所示,θ1和θ2為輸入變量,L1、L2、L3和L4為結構參數,θ3和θ4為輸出變量。通過求解式(1)投影后得到的方程組即可求出θ3和θ4的值。

在考慮鉸接處軸孔間隙的條件下,擺動機構仍是一個閉環(huán)的連桿機構,如圖7所示。

圖7 擺動機構矢量關系示意圖Fig.7 Vector relations of the swing mechanism

根據閉環(huán)矢量理論,由圖4中的矢量關系可以得到考慮軸孔間隙的擺動機構運動學關系為

OA1+A1A2+A2D2+D2D1+D1C1=
OB1+B1B2+B2C2+C2C1

(4)

將式(4)中的矢量分別投影至x軸、y軸,可得相應方向分量的關系式為

rAcosφ1+L1cosθ1+rDcosφ4+L4cosθ4=
L2cosθ2+rBcosφ2+L3cosθ3+rCcosφ3

(5)

rAsinφ1+L1sinθ1-rDsinφ4-L4sinθ4=
-L2sinθ2+rBsinφ2+L3sinθ3+rCsinφ3

(6)

Li(i=1,2,3,4)、φi(i=1,2,3,4)和rA,rB,rC,rD為隨機變量,θ1和θ2為確定變量,求解式(5)、式(6)即可以獲得θ3和θ4的值:

θ3=g1(L,r,φ,θ)

(7)

θ4=g2(L,r,φ,θ)

(8)

式中:L={Li,i=1,2,3,4};r={rA,rB,rC,rD};φ={φi},i=1,2,3,4;θ={θi,i=1,2}。

2 某自動裝填系統(tǒng)擺動機構運動精度可靠性分析

ε=RSS[Y,Y*]=RSS[Y(X),Y*]

(9)

式中:RSS[·]表示求殘差平方和;X表示已知輸入參數集合,X={L,r,φ,θ}。

(10)

因此擺動機構運動精度失效概率為

(11)

式中:fε(·)為誤差ε的概率密度函數。

2.1 基于SGNI的統(tǒng)計矩求解

為獲得最終輸出響應誤差的概率密度函數,首先需要獲得誤差ε分布的統(tǒng)計矩(原點矩、中心矩):

(12)

(13)

式中:fX(X)表示已知輸入變量的聯合概率密度函數;ΩX表示隨機變量X的參數空間。通過前4階統(tǒng)計矩可以得到對應的均值μ、標準差σ、偏度τ和峰度κ分別為

(14)

然后對于求解前4階統(tǒng)計矩的過程不可避免地會遇到多維積分,然而傳統(tǒng)的高維積分方法在求解時,隨著維度地增加,其積分點數量會迅速變多。SGNI方法是基于特殊張量積法則,通過將各個階次的一維積分節(jié)點組合成多維積分節(jié)點,繼而通過獲得的多維節(jié)點來求解響應變量的各階統(tǒng)計矩。由于系數網格數值積分方法相比于傳統(tǒng)的直接積分法,大量減少了多維積分點的數量,從而不會引起維度災難。

(15)

可根據Smolyak方法[19]計算相應的積分權重:

(16)

(17)

ωi(X)=(X-X1)(X-X2)…(X-Xi)

(18)

得到各節(jié)點的權值即可求得響應變量的均值μG、標準差σG、偏度τG和峰度κG。

2.2 基于鞍點估計的概率密度估計

鞍點估計法[24-25]的基本思想是利用隨機變量的功能函數累積生成函數的性質以及傅里葉反變換,獲得基于鞍點的指數冪級數表達式的功能函數的概率分布[22]。

令隨機變量X={L,r,φ,θ}的概率密度函數fX,則其對應的矩生成函數(MGF)和累積生成函數(CGF)分別為

(19)

KX(t)=lnMX(t)

(20)

常用分布的CGF如表1所示。

表1 常見分布的CGF

CGF具有以下性質[21]:

(21)

性質2設基本隨機變量X的CGF為KX(t),則功能函數Y=aX+b的CGFKy(t)為

KY(t)=KX(at)+bt

(22)

(23)

根據CGF的性質,運用傅里葉反變換可以得到輸出響應Y的概率密度函數fY為

(24)

利用指數冪級數的展開來估計上述積分公式,根據Daniels[26]得到的估計公式,可得fY的概率密度函數為

(25)

式中:K″Y(·)為KY(t)的2階導數;ts為鞍點,它是非線性方程K′Y(t)=Y0的解,Y0為閾值,根據實際情況給定。

通過上述方法可以獲得Y的累積分布函數FY在Y0處的值為

(26)

式中:

w=sign(ts){2[tsY0-KY(ts)]}1/2

(27)

v=ts[K″Y(ts)]1/2

(28)

sign(ts)為符號函數,當ts分別為ts>0、ts=0和ts<0時,其值分別為1、0、和-1;Φ(·)為服從標準正態(tài)分布的隨機變量的累積分布函數。

2.3 擺動機構運動精度可靠性靈敏度分析

可靠性靈敏度一般可以定義為失效概率Pf對隨機輸入變量的各個分布參數的偏導數。根據失效概率、可靠度指標以及功能函數之間的關系,則能夠獲得失效概率Pf對隨機輸入變量各個分布參數的靈敏度[17]計算公式如下:

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

結合SGNI方法求解式(30)～式(33),將其代入式(29),即可獲得擺動機構各隨機變量的可靠性靈敏度。

2.4 擺動機構運動精度可靠性及靈敏度分析流程

擺動機構運動精度可靠性及靈敏度分析的步驟如下:

步驟1確定輸入參數的統(tǒng)計信息(均值、標準差),得到積分節(jié)點和積分權重。

步驟2結合擺動機構的運動學關系和結構信息得到式(8)對應的功能函數值集合。

步驟3通過SGNI方法得到功能函數響應值的前4階統(tǒng)計矩。

步驟4結合功能函數響應值的統(tǒng)計矩,使用鞍點估計方法獲得其概率密度函數。

步驟5通過響應變量概率密度函數求得失效概率。

步驟6結合SGNI方法,獲得擺動機構各隨機變量的可靠性靈敏度。

圖8為某自動裝填系統(tǒng)擺動機構的運動精度可靠性及其可靠性靈敏度分析的流程圖。

圖8 擺動機構運動精度可靠性流程Fig.8 Flowchart for acquiring the kinematic accuracy reliability of the swing mechanism

3 算例分析

以某自動裝填系統(tǒng)擺動機構為研究對象,考慮到實際的工況,運動總角度θ1=54.6°。

3.1 擺動機構運動精度可靠性計算

根據前文考慮的隨機輸入參數包括主動臂、大臂、從動臂和連接桿的長度L={Li,i=1,2,3,4},機構鉸接處存在的間隙量r={rA,rB,rC,rD}以及其對應的間隙角度φ={φi,i=1,2,3,4},共12個隨機變量,其分布類型為正態(tài)分布,不考慮參數之間的相關性,參數的不確定性統(tǒng)計特性如表2所示。主動臂和大臂與x軸正向的夾角θ1和θ2為確定參數,其中θ1由實際工況確定為54.6°,θ2由設計確定為16.84°。

表2 參數不確定性統(tǒng)計特性

選取稀疏網格積分的精度水平k=3,由2.1節(jié)可知,12個隨機變量的總積分點數N=2n2+2n+1=313。為驗證本文方法的有效性,將通過MC方法計算得到的結果與本文結果相比較,計算得到擺動機構運動學末端輸出θ3和θ4的概率密度函數如圖9和圖10所示,對應的統(tǒng)計參數如表3所示。根據圖9、圖10及表3可以看出,本文方法和MC方法得到的結果十分接近,從而驗證本文方法有效可行。

表3 響應變量的統(tǒng)計參數

(34)

計算得到失效概率為0.001 3。

3.2 擺動機構運動精度可靠性靈敏度計算

通過2.3節(jié)的推導結合SGNI方法求解推導過程中的數學期望,便可得到擺動機構運動精度可靠性靈敏度的分析結果,本文中主要分析4個尺寸參數對運動精度可靠性的影響,其分析結果如表4所示。

表4 可靠性靈敏度分析

通過表4可見,相較于各尺寸參數的均值來說,其標準差對于擺動機構運動精度的可靠性影響更大,此外,4個尺寸參數中,主動臂長度L1的影響明顯。

4 結論

本文在考慮加工尺寸誤差以及鉸接間隙的條件下,建立了某自動裝填系統(tǒng)擺動機構的運動學模型;利用SGNI方法獲得運動學響應變量的前4階統(tǒng)計矩;進而通過鞍點估計獲得響應變量的概率密度函數,并在給定的誤差閾值的前提下得到了擺動機構運動精度的失效概率;同時在考慮4階統(tǒng)計矩的情況下得到4個尺寸參數的可靠性靈敏度分析結果。得出主要結論如下:

1)通過本文方法求得的各階統(tǒng)計矩以及概率密度函數與MC方法計算獲得的結果作對比,驗證了本文方法對于此擺動機構響應變量各階統(tǒng)計矩以及對應概率密度函數值計算的準確性和有效性。

2)通過計算得到擺動機構運動精度的失效概率為0.001 3,可見失效概率較小,擺動機構的運動精度較高,印證此機構的運動精度可靠性較高,滿足工程需求。

3)通過可靠性靈敏度分析,可知各尺寸參數的標準差對整體運動精度可靠性影響較大,4個尺寸參數中,主動臂長度尺寸的統(tǒng)計參數對機構運動精度可靠性影響最大。

4)本文得到的分析結果可用于指導自動裝填系統(tǒng)擺動機構結構基于可靠性的設計。