張 寧 涂宇彬 鄭亦超 陳夢(mèng)圓

一、引言

期權(quán)作為金融市場(chǎng)上交易頻繁的一類產(chǎn)品，具有鎖定標(biāo)的資產(chǎn)未來交易價(jià)格的功能，在一定程度上降低了交易雙方的風(fēng)險(xiǎn)。除了常見的歐式期權(quán)與美式期權(quán)，市場(chǎng)上還存在著一大類奇異期權(quán)，包括復(fù)合期權(quán)、回望期權(quán)以及一些嵌入式結(jié)構(gòu)債券等，這些期權(quán)的合約要求更加復(fù)雜，從而導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的定價(jià)問題難度大幅度提升?？紤]到近十多年機(jī)器學(xué)習(xí)在算力提升的支持下開始應(yīng)用于許多領(lǐng)域并展現(xiàn)出了優(yōu)勢(shì)，將其應(yīng)用于復(fù)雜期權(quán)的定價(jià)逐漸成為金融的一個(gè)關(guān)注領(lǐng)域，本文的工作也由此展開。具體來說，本文將從高維衍生品——籃子期權(quán)的定價(jià)問題入手，將這一問題抽象為偏微分方程終值問題，并用深度倒向隨機(jī)微分方程(Backward stochastic differential equation，BSDE)方法來對(duì)這一問題進(jìn)行求解。

由于金融市場(chǎng)中金融產(chǎn)品的價(jià)格很多都與期權(quán)定價(jià)有關(guān)，期權(quán)定價(jià)問題成為經(jīng)典的金融工程問題。但因?yàn)槠跈?quán)本身作為一種金融衍生工具，其價(jià)值受時(shí)間與標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值波動(dòng)影響，且將數(shù)學(xué)方法與思想引入解決金融問題的想法出現(xiàn)的時(shí)間也比較晚，因此期權(quán)定價(jià)的方法始終難有一套標(biāo)準(zhǔn)。直到20世紀(jì)末，BS期權(quán)定價(jià)模型(Black和Scholes，1973[1]；Merton，1973[2])的推出才使得期權(quán)定價(jià)問題有了突破口。隨后，諸多學(xué)者在此基礎(chǔ)上針對(duì)不同種類的期權(quán)，在不同的假設(shè)條件下提出了更多的期權(quán)定價(jià)模型。其中大部分模型都表示成偏微分方程或偏微分方程組的初(終)值問題，但往往缺少較好的通用解決方法，難以獲得解析解，且隨著待解決問題難度的逐漸加深，“維度詛咒”對(duì)偏微分方程的實(shí)際應(yīng)用影響越來越難以忽視，即隨著待求解目標(biāo)函數(shù)的變量維數(shù)增加，求解問題的計(jì)算成本呈指數(shù)型增長(zhǎng)，如何有效且準(zhǔn)確地尋找解析解成為研究熱點(diǎn)。在Pardoux和Peng(1990)[3]提出倒向隨機(jī)微分方程的一般形式并給出解的存在唯一性證明后，BSDE與偏微分方程和隨機(jī)控制問題的深度聯(lián)系引起了許多數(shù)學(xué)家的興趣，從而在以拋物型偏微分方程形式為主的金融衍生品定價(jià)領(lǐng)域，有了BSDE的一席之地。由此諸多學(xué)者試圖借助BSDE來更高效地求解偏微分方程問題，如Han等(2018)[4]構(gòu)建了一個(gè)結(jié)構(gòu)明晰的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于求解高維非線性拋物線型偏微分方程在t=0時(shí)的邊界解，開創(chuàng)性地將原問題轉(zhuǎn)換為BSDE的形式，并引入布朗運(yùn)動(dòng)將連續(xù)時(shí)間上的方程離散化，并取得了理想結(jié)果。此外，F(xiàn)ujii等(2019)[5]、Henry-Labordere(2017)[6]、Elbr?chter等(2018)[7]也利用BSDE獲得了一定的研究成果，為本文研究思路提供了啟示。

深度學(xué)習(xí)作為新一代人工智能的核心技術(shù)，試圖利用層次結(jié)構(gòu)來學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的高級(jí)抽象，已在處理圖像、視頻、語音和音頻方面取得了突破性進(jìn)展，而如今芯片處理能力(如圖形處理器GPU單元)的顯著提高、計(jì)算機(jī)硬件成本的顯著降低，以及機(jī)器學(xué)習(xí)算法的顯著進(jìn)步，都使得深度學(xué)習(xí)發(fā)展更加迅速。且深度學(xué)習(xí)能夠?qū)崿F(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型無法實(shí)現(xiàn)的“非線性”，即能夠高精度地學(xué)習(xí)幾乎任何函數(shù)的特性，也使得其在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用空間。其中金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)非常豐富，訓(xùn)練一種算法來“學(xué)習(xí)”市場(chǎng)中生成期權(quán)價(jià)格的函數(shù)是可行的，這在Malliaris和Salchenberger(1993)[8]、Hutchinson等(1994)[9]的研究中得到了驗(yàn)證，而后諸多學(xué)者開始關(guān)注深度學(xué)習(xí)在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用，如Amilon(2003)[10]、Culkin和Das(2017)[11]、謝和亮和游濤(2018)[12]、孫有發(fā)等(2021)[13]均在該方向上獲得了理想的成果。

本文在這些研究的基礎(chǔ)上，將以上述基于BSDE的深度學(xué)習(xí)架構(gòu)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為工具求解Zhao和Li(2020)[14]一文中的終值問題，一方面與該文中的數(shù)值解做橫向比較，另一方面進(jìn)行不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)調(diào)整情況下的自身比較。

本文剩余部分結(jié)構(gòu)如下：第二部分介紹期權(quán)定價(jià)模型和BSDE的預(yù)備知識(shí)，并對(duì)基于BSDE的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型做較為詳細(xì)的講解；第三部分進(jìn)行模型分析、改進(jìn)和數(shù)值試驗(yàn)，并對(duì)模型的表現(xiàn)進(jìn)行評(píng)估；第四部分總結(jié)了本文方法在更高維度上的優(yōu)勢(shì)，并對(duì)主要內(nèi)容以及研究方法的應(yīng)用可能性進(jìn)行了總結(jié)。

二、定價(jià)模型與方法

(一)期權(quán)定價(jià)的預(yù)備知識(shí)

1.傳統(tǒng)BS模型。

本節(jié)將對(duì)BS微分方程以及BS定價(jià)公式做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹。以標(biāo)的資產(chǎn)為股票的期權(quán)為例，在一系列假設(shè)的前提下，可以用布朗運(yùn)動(dòng)來對(duì)股票價(jià)格變動(dòng)進(jìn)行刻畫，同時(shí)，期權(quán)價(jià)格取決于股票價(jià)格，也就是說，可以將期權(quán)視作一個(gè)隨機(jī)過程的函數(shù)。而伊藤引理則提供了對(duì)隨機(jī)過程函數(shù)進(jìn)行微分處理的理論基礎(chǔ)，在此之前，沒有一個(gè)很好的處理該問題的方法。借助伊藤引理，可以得到期權(quán)等衍生品價(jià)格的隨機(jī)微分方程，求解后即可得到期權(quán)價(jià)格的定價(jià)公式，而現(xiàn)在為各界所熟知的BS定價(jià)公式就是一個(gè)簡(jiǎn)單的用例。

在BS公式的推導(dǎo)過程中，假設(shè)股票價(jià)格St滿足dSt=μStdt+σStdWt，其中Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，令歐式看漲期權(quán)價(jià)格為C，它是股價(jià)和時(shí)間的函數(shù)，可記作C(St，t)，對(duì)C(St，t)運(yùn)用伊藤引理可得：

(1)

股票價(jià)格St作為一個(gè)伊藤過程，其函數(shù)期權(quán)價(jià)格C也是一個(gè)伊藤過程，且二者的隨機(jī)性來自同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)Wt，這樣就可以通過建立投資組合的方法來消除這一隨機(jī)項(xiàng)的影響，從而得到BS微分方程：

(2)

歐式看漲期權(quán)在到期日時(shí)的價(jià)格為CT=max(ST-K，0)，其中K為交割價(jià)，加上這一終值條件后便可以得到偏微分方程的終值問題：

(3)

現(xiàn)在，只需要求解這一終值問題，就能得到期權(quán)定價(jià)公式，但偏微分方程的解析解往往難以求得。在標(biāo)的是單個(gè)資產(chǎn)的情況下，繞過這個(gè)偏微分方程，求解上述問題的方法就有很多種，比如等價(jià)鞅測(cè)度變換、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論等。由于本文重點(diǎn)不在于對(duì)這些方法的闡釋，故這里將不對(duì)這些方法進(jìn)行展開。本文要研究的問題，是當(dāng)標(biāo)的為資產(chǎn)組合時(shí)，如何求解這一終值問題。

2.籃子期權(quán)定價(jià)模型。

籃子期權(quán)，是標(biāo)的為一籃子資產(chǎn)的期權(quán)，常被用作對(duì)這一籃子資產(chǎn)的套期保值操作。與單標(biāo)的期權(quán)不同的是，籃子期權(quán)的收益情況由這些資產(chǎn)價(jià)格的加權(quán)算術(shù)平均決定，且其價(jià)格通常比單個(gè)資產(chǎn)的期權(quán)組合價(jià)格要低，因而一份籃子期權(quán)要比將籃子中資產(chǎn)單個(gè)組成期權(quán)組合在應(yīng)用上更具效率。具體來說，由于資產(chǎn)之間相關(guān)性的存在，資產(chǎn)組合總是比單個(gè)資產(chǎn)更具有穩(wěn)定收益，這就是籃子期權(quán)的一大優(yōu)勢(shì)。但是多個(gè)資產(chǎn)的情況要比單資產(chǎn)復(fù)雜，在定價(jià)時(shí)籃子期權(quán)會(huì)有一些不同的特征，以下本文將詳細(xì)介紹籃子期權(quán)的定價(jià)模型。

(4)

以下進(jìn)行籃子期權(quán)的BS公式推導(dǎo)。設(shè)第i個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻價(jià)格為Si(t)，i=1，…，d，且每個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，其變化均服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即滿足如下隨機(jī)微分方程：

(5)

其中：μ=(μ1，μ2，…，μn)T為常值向量，是預(yù)期收益率向量；σi為常數(shù)，是收益的波動(dòng)率；Wi(t)是一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，這些布朗運(yùn)動(dòng)之間有一定的相關(guān)性，具體如下：

E[Wi(t))=0,Var(Wi(t)]=t,

Cov[Wi(t),Wj(t)]=ρijt,i≠j

(6)

將隨機(jī)微分方程以矩陣形式表示如下：

(7)

記W(t)=(σ1W1(t),σ2W2(t), …,σdWd(t))T，則根據(jù)定義可知W(t)為d維布朗運(yùn)動(dòng)，其協(xié)方差陣為Σ={Cov[W(t)]ij=ρijσiσj, 0

(8)

那么，隨機(jī)微分方程式可寫作如下形式：

(9)

這樣就得到了一籃子中每個(gè)資產(chǎn)滿足的隨機(jī)微分方程的另一種形式，這種形式考慮到了各資產(chǎn)之間的相關(guān)性：

(10)

其中，Bj(t)是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

接下來，利用多維伊藤公式得到關(guān)于籃子期權(quán)價(jià)值V的隨機(jī)微分方程：

(11)

(12)

最后加上終值條件，得到籃子期權(quán)定價(jià)的BS模型：

(13)

(二)BSDE介紹

1.BSDE方法論。

本文使用的倒向隨機(jī)微分方程，對(duì)求解這一類偏微分方程有著更加顯著的效果。BSDE來源于伊藤隨機(jī)微分方程理論無法解決的一類問題：倒向隨機(jī)問題。比如在金融數(shù)學(xué)里，如果給出未來某個(gè)時(shí)間點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)值，通過建立恰當(dāng)?shù)碾S機(jī)模型，來確定出當(dāng)前需要的初始值，這就是典型的倒向隨機(jī)微分方程模型。與正向隨機(jī)方程不同的是，倒向隨機(jī)方程的解不再是單純的狀態(tài)變量Y，而需要添加一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)Z，使得(Y，Z)構(gòu)成方程的解。這里的隨機(jī)函數(shù)Z具有調(diào)控作用，類似于控制論中的控制函數(shù)，它保證了方程的解Y是適應(yīng)的。根據(jù)一般化的Feynman-Kac 公式[15]，倒向隨機(jī)微分方程的解與非線性偏微分方程的解之間有著極其深刻的關(guān)系，這為本文求解籃子期權(quán)的BS模型提供了十分便利的途徑和技巧。

籃子期權(quán)定價(jià)使用的本質(zhì)是如下高維半線性拋物線型偏微分方程

(14)

求解上述偏微分方程的思路就在于將其轉(zhuǎn)化成BSDE的解。令{Bt}t∈[0，T]為一個(gè)n維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，{Xt}t∈[0，T]為由{Bt}t∈[0，T]生成的一個(gè)隨機(jī)過程，滿足如下形式：

(15)

這樣，偏微分方程的解滿足如下的倒向隨機(jī)微分方程：

σ(s,Xs)dBs,t∈[0,T]

(16)

連續(xù)的積分式難以求解，常見的做法是將時(shí)間區(qū)間[0，T]離散化0=t0

(17)

(18)

其中：

Δtk=tk+1-tk, ΔBk=Btk+1-Btk

隨后可以得到如下兩個(gè)迭代式：

Xtk+1-Xtk≈μ(tk,Xtk)Δtk+σ(tk,Xtk)ΔBk

(19)

u(tk+1,Xtk+1)-u(tk,Xtk)

(20)

上述兩個(gè)迭代式傳達(dá)出這樣的一種思想：從Xt0=ξ，u(t0，Xt0)=u(0，ξ)出發(fā)，經(jīng)過迭代，可以得到函數(shù)u在(t=tN=T，x=XtN)處的值，但目前已知條件是終值條件，函數(shù)的初值是目標(biāo)解，看似這個(gè)迭代式并不能起到作用，本文將引入蒙特卡洛模擬的思路和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)來應(yīng)用該迭代式，求解這一BSDE問題。

2.BSDE深度模型。

(21)

包含所有N-1個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的架構(gòu)如圖1所示。

圖1 深度BSDE模型結(jié)構(gòu)

回到偏微分方程求解的核心問題，不難發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多次訓(xùn)練迭代，隨著損失函數(shù)值的下降并趨于穩(wěn)定，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的參數(shù)也逐漸趨于穩(wěn)定，將最終的參數(shù)θu0輸出，就可以得到問題的近似數(shù)值解。

3.一個(gè)高維PDE問題。

為了說明該法的泛用性以及在高維場(chǎng)景的高效性，本節(jié)首先將該方法應(yīng)用于如下一個(gè)在100維空間中(d=100)的典型的Allen-Cahn方程：

(22)

(23)

數(shù)值實(shí)踐上，本文主要利用Python中的PyTorch機(jī)器學(xué)習(xí)庫，搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行求解。訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測(cè)試數(shù)據(jù)集分別為256組和64組隨機(jī)生成的幾何布朗運(yùn)動(dòng)路徑，每一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)3個(gè)隱藏層，每一層的神經(jīng)元設(shè)為d+10，每經(jīng)過一層網(wǎng)絡(luò)，先進(jìn)行批標(biāo)準(zhǔn)化(Batch Normalization)，隨后經(jīng)激活函數(shù)線性整流函數(shù)(Re-LU)進(jìn)入下一層。整體后向傳播中，優(yōu)化函數(shù)選取Adam算法。Adam 是一種可以替代傳統(tǒng)SGD過程的一階優(yōu)化算法，它能基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)迭代地更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重。迭代過程持續(xù)4 000次，并每隔100次訓(xùn)練，便在驗(yàn)證集上進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，損失函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)變化情況如圖2所示?？梢钥吹?，隨著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于0.003 4，數(shù)值解的值趨近于0.052 4±0.000 726，與其他數(shù)值方法所得解一致。整個(gè)運(yùn)算過程耗時(shí)528秒。

圖2 損失函數(shù)值與數(shù)值解估計(jì)值變化

為了分析網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的影響，我們?cè)O(shè)置了不同隱藏層，并記錄了模型達(dá)到不同損失函數(shù)值對(duì)應(yīng)的耗時(shí)，需要注意的是，本文所提到的耗時(shí)是實(shí)驗(yàn)用機(jī)器配置的結(jié)果，僅具有相對(duì)意義。圖3給出了不同隱藏層達(dá)到不同損失函數(shù)值所需要的計(jì)算時(shí)間，計(jì)算時(shí)間是計(jì)算32次的平均結(jié)果。調(diào)整神經(jīng)元數(shù)量獲得的結(jié)果類似。從圖3可以看到，隱藏層數(shù)量增加以及神經(jīng)元數(shù)量增加大幅度增加了計(jì)算時(shí)間。盡管通用逼近定理表明不同隱藏層和神經(jīng)元數(shù)量都可以達(dá)到同樣效果，但一般來說，設(shè)置為3隱藏層以及d+10個(gè)神經(jīng)元能夠滿足需求，也是多次實(shí)際求解后的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。

圖3 不同網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)值-耗時(shí)的關(guān)系圖

三、模型分析與數(shù)值實(shí)踐

(一)模型分析與改進(jìn)

由上一部分的結(jié)果可知，深度BSDE模型可以較為準(zhǔn)確地給出偏微分方程的數(shù)值解。這一部分將對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行分析，并提出一些改進(jìn)的思路。

表1 不同組別中參數(shù)θu0初始值取值范圍

在圖4中，U[yl，yr]中對(duì)參數(shù)θu0進(jìn)行采樣得到的初始化的點(diǎn)約為0.083，這使得參數(shù)值在第200步迭代時(shí)就幾乎達(dá)到正確解，說明其以很快的收斂速度到達(dá)正確解附近；而在圖5中，參數(shù)初始化的點(diǎn)更大，導(dǎo)致參數(shù)值收斂速度較U[yl，yr]=[0.06，0.1]情況下更慢，在第2 400步迭代時(shí)，才收斂至正確解附近；在圖2中，參數(shù)值的收斂速度則介于兩個(gè)實(shí)驗(yàn)組之間。此外，在三組實(shí)驗(yàn)中，模型總耗時(shí)并無較大差別。

圖4 [yl,yr]=[0.06,0.1]下的數(shù)值解估計(jì)值變化

圖5 [yl，yr]=[0.6，1]下的數(shù)值解估計(jì)值變化

表2 不同組別中參數(shù)θu0初始值取值范圍

圖6 參數(shù)θu0從U[-0.01，0.01]中采樣的結(jié)果

圖7 參數(shù)θu0從U[0.1，0.3]中采樣的結(jié)果

2.子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的調(diào)整。

在深度BSDE模型中，將時(shí)間區(qū)間[0，T]離散化后，在除0時(shí)刻與T時(shí)刻外的每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，以該時(shí)間點(diǎn)下的資產(chǎn)價(jià)格為輸入，得到目標(biāo)函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值，并代入迭代式中，最終得到目標(biāo)函數(shù)在T時(shí)刻的值。之前本文已經(jīng)給出了通過離散化后的BSDE得到的資產(chǎn)價(jià)格以及目標(biāo)函數(shù)的過程迭代式，現(xiàn)將其重新寫在下方。

Xtk+1-Xtk≈μ(tk,Xtk)Δtk+σ(tk,Xtk)

(24)

ΔBku(tk+1,Xtk+1)-u(tk,Xtk)

(25)

3.布朗運(yùn)動(dòng)生成模型調(diào)整。

在構(gòu)建模型之前，參考蒙特卡洛模擬的過程，需要借助漂移項(xiàng)μ與波動(dòng)項(xiàng)σ對(duì)資產(chǎn)價(jià)格按幾何布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬。在第二章的模型搭建中，本文直接借助Python中scipy工具包提供的相關(guān)函數(shù)生成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而擬合標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，從而對(duì)資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行了模擬。然而在蒙特卡洛模擬中，關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成有多種不同的方法，按效率從低到高、效果從差到好，有拒絕采樣、反函數(shù)法、Box-Muller法、ziggurat算法等。

在反函數(shù)法中，需要借助服從均勻分布U(0，1)的隨機(jī)數(shù)，來生成符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。對(duì)于均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成，往往有現(xiàn)成的工具包可以調(diào)用。但實(shí)際上，常規(guī)隨機(jī)數(shù)生成方法得到的隨機(jī)數(shù)均為偽隨機(jī)數(shù)，在低維場(chǎng)景下可能并不會(huì)暴露出弊端，而當(dāng)來到高維場(chǎng)景下，這樣的隨機(jī)數(shù)往往不能較為完整地對(duì)高維空間進(jìn)行覆蓋，也就是不夠“均勻”。用這樣不夠“均勻”的隨機(jī)數(shù)去生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而對(duì)高維布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行擬合，可能會(huì)降低模型預(yù)測(cè)的精確度。

對(duì)于這一類問題，蒙特卡羅模擬法中的一個(gè)思想是：用低差異序列代替均勻分布隨機(jī)數(shù)，來對(duì)高維布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行擬合，這就是蒙特卡洛模擬法的一個(gè)變形——擬蒙特卡羅模擬法，該法由Joy等(1996)[16]首次應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域。所謂低差異序列，是一種依據(jù)數(shù)論知識(shí)，從概率分布中得到代表樣本組成的序列，該序列具有更好的確定性和均勻性，且其在高維空間中仍能維持這一優(yōu)點(diǎn)，故可以在處理籃子期權(quán)這類高維期權(quán)定價(jià)問題時(shí)選用低差異序列來進(jìn)行數(shù)值模擬。常見的低差異序列包括Halton序列、Faure序列以及Sobol序列等，下面對(duì)Halton序列進(jìn)行簡(jiǎn)要說明：

為了對(duì)高維情況下低差異序列的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行簡(jiǎn)單說明，本文基于均勻分布生成隨機(jī)數(shù)與Halton序列，分別構(gòu)造1 000個(gè)1 000維的隨機(jī)點(diǎn)，并在第999維與第1 000維度組成的平面上進(jìn)行投影，圖8給出了均勻分布隨機(jī)數(shù)(左)與低偏差序列(右)在高維度情況下的投影散點(diǎn)圖。可以比較明顯地看到，在高維度下，均勻分布隨機(jī)數(shù)對(duì)空間的覆蓋度遠(yuǎn)不如Halton序列。

圖8 均勻分布隨機(jī)數(shù)(左)與低偏差序列(右)在高維度情況下的投影散點(diǎn)圖

總的來說，利用低差異序列與反函數(shù)法等算法生成高維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而對(duì)高維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬，可以作為BSDE深度模型的一個(gè)改進(jìn)思路。

(二)籃子期權(quán)定價(jià)

以下將深度BSDE模型應(yīng)用于籃子期權(quán)的定價(jià)中，首先構(gòu)造一個(gè)包含5個(gè)資產(chǎn)的高維問題場(chǎng)景，進(jìn)行數(shù)值模擬，隨后采用前面提到的改進(jìn)思路，再分別進(jìn)行模擬。最后，將用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行模擬，并將兩種算法在均勻分布隨機(jī)數(shù)與低差異序列兩種設(shè)定下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)對(duì)深度BSDE模型是否具有更高的時(shí)間效率這一問題進(jìn)行驗(yàn)證。

1.深度BSDE模型定價(jià)數(shù)值結(jié)果。

首先給出籃子期權(quán)的BS模型：

對(duì)照深度BSDE模型的通式，得到如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

μ(t,S(t))=(rS1(t),rS2(t),…,rSd(t))T

f=-rV

其中：

S(t)=(S1(t),S2(t),…,Sd(t))

且ΛΛT=Σ。

隨后對(duì)問題所涉及的數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)定，5個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的初始價(jià)格分別為50、46、51、48以及55，波動(dòng)率分別為0.1、0.2、0.16、0.22、0.18，協(xié)方差矩陣∑為：

籃子內(nèi)每個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重ωi=1/d=0.2，交割價(jià)格K=50，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.08，時(shí)間區(qū)間設(shè)定為[0，1]，并將其分解為8份。

數(shù)值實(shí)踐上，仍然利用Python中的Pytorch機(jī)器學(xué)習(xí)庫，搭建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行求解。訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和測(cè)試數(shù)據(jù)集分別為256組和64組隨機(jī)生成的幾何布朗運(yùn)動(dòng)路徑，每一個(gè)子網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)3個(gè)隱藏層，每一層的神經(jīng)元數(shù)目設(shè)為d+10=15，每經(jīng)過一層網(wǎng)絡(luò)，先進(jìn)行批標(biāo)準(zhǔn)化(Batch Normalization)，隨后經(jīng)激活函數(shù)線性整流函數(shù)(ReLU)進(jìn)入下一層。整體后向傳播中，優(yōu)化函數(shù)選取Adam算法。迭代過程持續(xù)6 000次，依舊每隔100次訓(xùn)練，便在驗(yàn)證集上進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，主要觀察損失函數(shù)和收斂值的變化，給出輸出結(jié)果以及損失函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖9和圖10所示。從圖中可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于4.035 5，數(shù)值解的值趨近于7.929 4±0.025 148，整個(gè)運(yùn)算過程耗時(shí)1 243秒。

圖9 常規(guī)BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖10 常規(guī)BSDE模型數(shù)值解估計(jì)值變化

2.更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值。

圖11 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖12 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值的BSDE模型數(shù)值解估計(jì)值變化

對(duì)比更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的數(shù)值解擬合情況(圖13、圖14)，發(fā)現(xiàn)這樣的改動(dòng)并未對(duì)其產(chǎn)生過多影響，但卻大大提高了模型訓(xùn)練的速度，時(shí)間縮短了4.5倍，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了前文提出的猜想。

圖13 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的BSDE模型數(shù)值解擬合情況對(duì)比

圖14 更改神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值前后的模型訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)度對(duì)比

3.Halton序列模擬資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)。

基于Halton序列，借助反函數(shù)法生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而模擬資產(chǎn)價(jià)格的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，依照此思路對(duì)初始的常規(guī)BSDE模型進(jìn)行改進(jìn)。在神經(jīng)元數(shù)等超參數(shù)、優(yōu)化函數(shù)的選取、迭代次數(shù)的設(shè)置等均不變的情況下，每隔100次訓(xùn)練，便在驗(yàn)證集上進(jìn)行結(jié)果驗(yàn)證，給出輸出結(jié)果以及損失函數(shù)隨迭代次數(shù)變化情況如圖15、圖16所示。

圖15 Halton序列的BSDE模型損失函數(shù)值變化

圖16 Halton序列的BSDE模型數(shù)值解估計(jì)值變化

從圖17可以看到，隨著迭代次數(shù)的增加，損失函數(shù)值趨近于3.687 5，數(shù)值解的值趨近于7.793 0±0.016。可見，一方面，損失函數(shù)最終趨于穩(wěn)定后的值較常規(guī)BSDE模型略低；另一方面，數(shù)值解的估計(jì)值較常規(guī)BSDE模型略低，但波動(dòng)更小。這說明，在d=5的情況下，低差異序列的確可以得到更加穩(wěn)定的定價(jià)結(jié)果。

圖17 選用Halton序列生成隨機(jī)數(shù)前后的BSDE模型數(shù)值解擬合情況對(duì)比(趨于穩(wěn)定后)

4.蒙特卡洛模擬。

為了說明BSDE深度模型的優(yōu)越性，在這里本文使用蒙特卡洛模擬對(duì)籃子期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并與BSDE深度模型進(jìn)行對(duì)比。

籃子期權(quán)中的每個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)滿足式(26)隨機(jī)微分方程。將時(shí)間區(qū)間[0，T]等分為n份，有0=t0

dSi(t)=μiSi(t)dt+Si(t)ΛidB(t)

(26)

令Gi=G(t，Si)=lnSi，根據(jù)伊藤引理，Gi也是伊藤過程，則有如下伊藤公式：

(27)

為了便于進(jìn)行蒙特卡洛模擬，這里將標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了展開，其中Zj～N(0，1)。將Gi=G(t，Si)=lnSi代入式(27)，并在方程兩邊對(duì)t在(tk，tk+1)上積分，有：

(28)

經(jīng)過整理得到：

(29)

本文以式(29)作為依據(jù)進(jìn)行蒙特卡洛模擬，分別選用均勻分布和Halton序列，使用反函數(shù)法進(jìn)行隨機(jī)數(shù)的生成(選取Halton序列進(jìn)行隨機(jī)數(shù)的生成時(shí)的蒙特卡洛法常被稱作擬蒙特卡羅模擬法)。這里同樣將時(shí)間區(qū)間[0，1]劃分為8等份，與深度BSDE做同樣處理。經(jīng)過20 000次模擬，當(dāng)選用均勻分布進(jìn)行隨機(jī)數(shù)生成時(shí)，估計(jì)值為7.911 4，標(biāo)準(zhǔn)差高達(dá)11上下；當(dāng)選用Halton序列進(jìn)行隨機(jī)數(shù)生成時(shí)，估計(jì)值為7.884 2，標(biāo)準(zhǔn)差為9上下。可見，在數(shù)值估計(jì)的結(jié)果上，深度BSDE模型與蒙特卡洛數(shù)值模擬得到的結(jié)果相近，卻更穩(wěn)定(圖18)。

圖18 兩種模型在不同情況下的估計(jì)值對(duì)比

四、結(jié)論

本文將傳統(tǒng)BS模型置于高維情境下，自然地引入高維期權(quán)定價(jià)的典型模型、籃子期權(quán)定價(jià)的BS模型，并詳細(xì)指出高維情境下BS模型存在的問題：如籃子期權(quán)不同于一維情況下的BS模型，需要考慮期權(quán)中每個(gè)資產(chǎn)價(jià)格變化路徑之間的相關(guān)性；且雖然籃子期權(quán)價(jià)值取決于所有資產(chǎn)的價(jià)格算術(shù)平均加權(quán)，但加權(quán)之后的價(jià)值變動(dòng)不再滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)定義，無法套用一維情況的BS定價(jià)公式對(duì)其進(jìn)行定價(jià)，更難以像一維期權(quán)那樣繞開偏微分方程的求解問題?；谶@些問題，本文利用BSDE的解與偏微分方程的解之間存在唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系的事實(shí)，引出借助離散BSDE迭代式來對(duì)問題進(jìn)行求解的思路；隨后本文引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，解決了迭代式目標(biāo)函數(shù)梯度值不可得的問題，同時(shí)將期權(quán)價(jià)格作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)參與到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，并利用終值條件構(gòu)造損失函數(shù)，在模型訓(xùn)練結(jié)束的同時(shí)得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的期權(quán)價(jià)格，從而完成問題求解。

接下來本文應(yīng)用上述深度BSDE模型對(duì)籃子期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行求解，同時(shí)利用實(shí)證結(jié)果證明該算法具備一定的精度，以及較高的求解效率：一方面，本文從初始參數(shù)設(shè)置、子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出值調(diào)整，以及隨機(jī)數(shù)生成三個(gè)方向，提出已有模型的改進(jìn)思路，且在計(jì)算以包含5個(gè)無分紅資產(chǎn)的資產(chǎn)組合為標(biāo)的資產(chǎn)的籃子期權(quán)價(jià)格的實(shí)證中加以驗(yàn)證，表明這三個(gè)方向確實(shí)能夠提高計(jì)算效率；另一方面，本文將基于深度BSDE模型的數(shù)值結(jié)果與蒙特卡洛模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，驗(yàn)證了前者的有效性以及一定的精度。

本文研究還表明，深度BSDE模型除了可以解決基本假設(shè)下的籃子期權(quán)定價(jià)問題，還可以對(duì)其他假設(shè)下的，如帶跳擴(kuò)散過程、隨機(jī)波動(dòng)率、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下等的籃子期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行求解，具有在更廣范圍使用的潛力。