代 寧

(淮北市體育中學(xué),安徽 淮北 235000)

初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較多,二次函數(shù)性質(zhì)不僅需要學(xué)生深入理解,牢固掌握,而且還需靈活應(yīng)用,尤其在解答二次函數(shù)最值問題時(shí)需具備靈活的頭腦,結(jié)合題目創(chuàng)設(shè)的情境,聯(lián)系所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí),尋找解題切入點(diǎn).

1 借助基本性質(zhì)解題

為更好地應(yīng)用二次函數(shù)基本性質(zhì)解答最值問題,切實(shí)打牢基礎(chǔ)尤為關(guān)鍵[1],解題時(shí)常用的知識(shí)點(diǎn)有:二次函數(shù)開口方向與a的關(guān)系、二次函數(shù)對(duì)稱軸、二次函數(shù)圖象等.教學(xué)實(shí)踐中既要做好合理的教學(xué)安排,幫助學(xué)生更好地突破相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí),使學(xué)生真正地理解與掌握二次函數(shù)函數(shù)基本性質(zhì),又要引導(dǎo)學(xué)生做好函數(shù)基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)歸納,以點(diǎn)帶面,在頭腦中形成系統(tǒng)清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),分析問題時(shí)能夠迅速應(yīng)用.

例1知拋物線y=ax2-3ax+a2+1(a≠0)圖象上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)x1

A.-1 B.-5 C.1或-5 D.-1或-5

思路剖析根據(jù)給出的拋物線表達(dá)式,確定拋物線的對(duì)稱軸.結(jié)合自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系描述,確定函數(shù)的開口方向.同時(shí)結(jié)合自變量與對(duì)稱軸確定函數(shù)取得最小值時(shí)的自變量,代入求解即可.

2 結(jié)合圖象平移規(guī)律解題

二次函數(shù)的圖象平移是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn).為提高學(xué)生運(yùn)用圖象平移解答最值問題的正確率以及靈活性,教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生動(dòng)態(tài)地展示二次函數(shù)圖象平移過(guò)程,要求學(xué)生積極思考,認(rèn)真討論,總結(jié)出二次函數(shù)圖象平移規(guī)律,理清平移前后二次函數(shù)表達(dá)式對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系,知其然更知其所以然,而非死記硬背平移結(jié)論[2].同時(shí),為學(xué)生展示如何運(yùn)用圖象平移解答二次函數(shù)最值問題,尤其要求學(xué)生認(rèn)真揣摩解題過(guò)程,把握運(yùn)用圖象平移解題的相關(guān)細(xì)節(jié).

例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx-1(a,b為常數(shù),a≠0)的圖象過(guò)A(2,1),B(4,3),C(4,-1)中的其中兩點(diǎn),平移該函數(shù)圖象,使其頂點(diǎn)始終落在直線y=x-1上,則平移后所得拋物線和y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為( ).

A.最大值為-1 B.最小值為-1

思路剖析結(jié)合平面直角坐標(biāo)系以及二次函數(shù)圖象特點(diǎn),判斷二次函數(shù)所經(jīng)過(guò)的兩點(diǎn),求解出二次函數(shù)的具體表達(dá)式.結(jié)合頂點(diǎn)的平移運(yùn)用平移規(guī)律,表示出平移后二次函數(shù)表達(dá)式,求出與y軸的交點(diǎn),借助二次函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

3 通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化解題

部分二次函數(shù)最值問題難度較大,需要學(xué)生充分挖掘題干中的隱含條件,通過(guò)針對(duì)性轉(zhuǎn)化與處理,構(gòu)造二次函數(shù),化陌生為熟悉[3].教學(xué)實(shí)踐中為使學(xué)生掌握運(yùn)用構(gòu)造法解答二次函數(shù)最值問題的解題思路,增加其解題自信,應(yīng)結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做好相關(guān)技巧的講解,使學(xué)生掌握不同習(xí)題類型的構(gòu)造、轉(zhuǎn)化方法,把握相關(guān)細(xì)節(jié).同時(shí),為更好地加深學(xué)生印象,講解相關(guān)例題時(shí)應(yīng)注重在課堂上與學(xué)生互動(dòng),使學(xué)生在問題的驅(qū)使下主動(dòng)思考,積極探尋解題的正確思路,尤其當(dāng)學(xué)生找到正確解題思路時(shí)應(yīng)給予肯定與鼓勵(lì),使其感受到積極思考的成就感,更好地挖掘其運(yùn)用構(gòu)造轉(zhuǎn)化法解答二次函數(shù)最值問題的潛力.

A.0 B.-1 C.-2 D.-3

思路剖析通過(guò)對(duì)方程組的處理,減少方程參數(shù)個(gè)數(shù),尋找y與x之間的內(nèi)在聯(lián)系.同時(shí),將其代入到其中一個(gè)方程中表示出m,構(gòu)造出新的二次函數(shù),結(jié)合給出的自變量范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解答.

4 借助圖形關(guān)系解題

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問題創(chuàng)設(shè)的情境靈活多變,解題的思路靈活多樣[4].其中對(duì)于部分習(xí)題而言,不僅需要應(yīng)用二次函數(shù)基本性質(zhì),而且需要結(jié)合具體圖形做出正確的判斷,以降低解題難度,提高解題效率.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度重新認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象,以及圖象與其他幾何圖形之間可能存在的聯(lián)系,進(jìn)一步拓展學(xué)生視野,尋找與總結(jié)一些潛在的知識(shí).同時(shí),結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及學(xué)生實(shí)際情況,做好課堂練習(xí)的認(rèn)真篩選,尤其在講解例題的過(guò)程中靈活運(yùn)用多媒體技術(shù),通過(guò)直觀的圖形關(guān)系,幫助學(xué)生更好地把握參數(shù)之間的聯(lián)系,為使學(xué)生更好地理解與掌握解題思路奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

例4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè),頂點(diǎn)在△MNR上移動(dòng),MN、NR分別和y軸,x軸平行.M點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,-2),MN=2,NR=7.如圖1所示,若在拋物線移動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值為3,則a-b+c的最大值是( ).

圖1 二次函數(shù)圖象

A.15 B.18 C.23 D.32

思路剖析根據(jù)給出的已知條件求出N、R兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合拋物線開口大小之間的關(guān)系計(jì)算出a的值.由△MNR可確定當(dāng)頂點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí),x=-1,即此時(shí)y=a-b+c的值最大.得出二次函數(shù)表達(dá)式,將x=-1代入即可.

由M點(diǎn)坐標(biāo)為(-6,-2),MN=2,NR=7,可得N(-6,-4),R(1,-4).當(dāng)B點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為3時(shí),拋物線的頂點(diǎn)剛好為R點(diǎn),對(duì)應(yīng)二次函數(shù)可設(shè)為y=a(x-1)2-4,此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),代入得到:a=1.拋物線頂點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中開口的大小未發(fā)生改變,即對(duì)應(yīng)的a的值保持不變.y=a-b+c時(shí)對(duì)應(yīng)的x=-1.由圖象可知當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在M點(diǎn)時(shí),a-b+c的值最大,此時(shí)拋物線為y=(x+6)2-2,將x=-1代入得到:y=25-2=23,選擇C項(xiàng).

5 通過(guò)分類討論解題

解答二次函數(shù)最值問題常需要進(jìn)行分類討論.結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)可知產(chǎn)生分類討論的情境主要有:函數(shù)的對(duì)稱軸的確定,自變量范圍不確定;函數(shù)的自變量范圍確定,對(duì)稱軸不確定[5].

思路剖析根據(jù)給出的二次函數(shù)解析式確定其對(duì)稱軸.容易判斷對(duì)稱軸為b,其與所給區(qū)間的關(guān)系不確定,需要進(jìn)行分類討論,但需要注意的是討論時(shí)需滿足b≤1.

綜上所述,解答初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問題時(shí)應(yīng)具體問題具體分析,結(jié)合給出的已知條件采用針對(duì)性的解決思路.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識(shí)的講解,還要注重例題的精挑細(xì)選,在課堂上與學(xué)生一起剖析經(jīng)典例題的解題思路,展示解題步驟.