趙安婷, 方明, 陶元紅

( 1.延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002; 2.浙江科技學(xué)院 理學(xué)院, 杭州 310023 )

0 引言

量子相干性是量子力學(xué)的基本特征之一,也是量子信息學(xué)中的重要組成部分.研究表明,量子相干性在量子信息處理[1]、量子生物學(xué)[2]等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.2014年,Baumgratz等[3]提出了一個(gè)量化相干性的數(shù)學(xué)框架(BCP框架).由于該框架中的一個(gè)量化相干性條件(強(qiáng)單調(diào)性)難以驗(yàn)證,因此2016年于曉東等[4]提出了一個(gè)與BCP框架等價(jià)的YZX框架.基礎(chǔ)YZX框架,學(xué)者們提出了大量的相干度量,如l1范數(shù)相干度量[3]、lp范數(shù)相干度量[5]、相對(duì)熵相干度量[3]、α-親和度相干度量[6]、Tsallis-α相對(duì)熵相干度量[7]、Rényi-α相對(duì)熵相干度量[8]和斜信息相干度量[9]等.

近年來(lái),學(xué)者們?cè)诓煌喔啥攘肯聦?duì)量子態(tài)的相干性值的解析表達(dá)式進(jìn)行了較多研究.對(duì)于單量子比特態(tài),已有學(xué)者給出了其在幾何相干度量[2]、跡距離相干度量[10]、保真度相干度量[10]、改進(jìn)的保真度相干度量[11]以及其他7種常見(jiàn)的相干度量(l1范數(shù)相干度量、lp范數(shù)相干度量(p≥2)、相對(duì)熵相干度量、Tsallis-α相對(duì)熵相干度量、Rényi-α相對(duì)熵相干度量、α-親和度相干度量和斜信息相干度量)[12]下的相干性值的解析式.針對(duì)高維最大相干混合態(tài),有學(xué)者給出了其在幾何相干度量[13]、跡距離相干度量[14]以及其他6種常見(jiàn)相干度量(l1范數(shù)相干度量、lp范數(shù)相干度量(p≥2)、相對(duì)熵相干度量、保真度相干度量、跡距離相干度量和斜信息相干度量)[15]下的相干性值的解析式.目前,大部分學(xué)者研究的多為兩量子比特X型態(tài),而對(duì)三維X型態(tài)的研究較少,如王耀坤等[16]只在無(wú)偏基下對(duì)這類(lèi)態(tài)的l1范數(shù)相干值進(jìn)行了研究;因此,本文研究如下三維X型態(tài)[16]的相干度量的解析表達(dá)式:

(1)

其中x、y、z均為非0實(shí)數(shù).

1 基于范數(shù)的相干度量下的解析式

1)l1范數(shù)相干度量.本文記I為非相干態(tài)集合.量子態(tài)ρ的l1范數(shù)相干度量的表達(dá)式[3]為:

由l1范數(shù)相干度量的定義可知,Cl1(ρ)只與密度算子ρ的非對(duì)角線(xiàn)元素有關(guān),因此顯然有:

Cl1(ρX)= 2|z|.

2)lp范數(shù)相干度量.量子態(tài)ρ的lp范數(shù)相干度量的表達(dá)式[5]為:

由lp范數(shù)相干度量的定義可知,Clp(ρX)等于密度算子的所有非對(duì)角元素模的p次冪之和,因此有:

由上式可知,在lp范數(shù)相干度量下三維X型態(tài)(式(1))的相干性值的解析表達(dá)式為:

3)α-親和度相干度量.對(duì)任意的量子態(tài)ρ和δ,其α-親和度可定義[6]為:

量子態(tài)ρ的α-親和度相干度量表達(dá)式[6]為:

(2)

(3)

對(duì)于三維X型態(tài)(式(1)),若記

(4)

則有

(5)

再由式(2)可知,在α-親和度相干度量下三維X型態(tài)(式(1))的相干性值的解析表達(dá)式為:

2 基于熵的相干度量下的解析式

2.1 相對(duì)熵相干度量

量子態(tài)ρ的相對(duì)熵相干度量的定義[3]為:

(6)

其中S(ρ)=-tr(ρlog2ρ)為馮諾依曼熵.為了方便計(jì)算ρX(式(1))的馮諾依曼熵,本文首先計(jì)算X型態(tài)ρX(式(1))的3個(gè)特征值.經(jīng)計(jì)算,這3個(gè)特征值分別為:

基于上述計(jì)算結(jié)果和S(ρX)、S(ρXdiag)的定義可得:

S(ρX)=-tr(ρXlog2ρX)=(x+y-1)log2(1-x-y)-

S(ρXdiag)=-tr(ρXdiaglog2ρXdiag)=-xlog2x-ylog2y-(1-x-y)log2(1-x-y).

于是再由式(6)可得:

綜上可得,相對(duì)熵相干度量下三維X型態(tài)(式(1))的相干性值的解析表達(dá)式為:

Cr(ρX)=xlog2x+ylog2y-

2.2 Tsallis-α相對(duì)熵相干度量

2.3 Rényi-α相對(duì)熵相干度量

3 基于斜信息的相干度量下的解析式

量子態(tài)ρ的斜信息相干度量的表達(dá)式[17]為:

(7)

為了便于相關(guān)研究人員對(duì)三維X型態(tài)的相干值進(jìn)行學(xué)習(xí)與查閱,本文將上述3類(lèi)相干度量下的三維X型態(tài)(式(1))的相干值的解析表達(dá)式列于表1中.在今后的研究中,我們將繼續(xù)討論高維量子態(tài)在不同相干度量下的解析表達(dá)式,以為相干性值的計(jì)算提供便利.

表1 三維X型態(tài)的相干度量的解析表達(dá)式