陸求賜, 王學彬, 張宋傳, 徐瑞標

( 1.武夷學院 人文與教師教育學院, 福建 武夷山 354300;2.武夷學院 數學與計算機學院, 福建 武夷山 354300 )

0 引言

由于分數階Klein-Gordon偏微分方程在流體力學、電學、信號處理、系統(tǒng)辨識以及經濟學等領域有著廣泛的應用[1-2],因此尋求分數階Klein-Gordon方程的解具有重要意義.本文考慮如下一類時間-空間分數階Klein-Gordon方程的孤立波解:

(1)

其中x∈Rn,n∈Z+,t>0, 0<α≤1,d,e∈R為參數.

式(1)是一類重要的分數階偏微分方程(薛定諤方程的一種相對論形式),最初是由瑞典理論物理學家O.Klein和德國物理學家W.Gordon分別獨立推導得出的[3].在式(1)中當α=1時,式(1)為整數階Klein-Gordon方程[4].目前,已經有很多學者借助不同的求解方法對方程(1)或與其相關的整數階及時間分數階Klein-Gordon方程進行了研究,并得到了豐富的精確行波解.這些研究采用的主要方法有橢圓方程輔助方法[4-5]、修正簡單方程法[6]、首次積分法[7]、G′/G展開法[8]、同倫攝動方法[9]、Jacobi譜配置方法[10]、平面動力系統(tǒng)分支理論方法[11]等.但目前大部分學者研究的多為時間分數階Klein-Gordon方程[7-11],而對于時間-空間分數階Klein-Gordon方程研究得較少:郭琳等利用修正的黎曼-劉維爾導數及其性質以及一般橢圓方程(作為輔助方程)給出了方程(1)的部分精確解[5];M.Kaplan等利用一種修正的簡單方程法求得了方程(1)的諸多行波解[6].本文針對文獻[5]缺少圖形支撐和文獻[6]存在解法較為繁瑣的問題,利用保形分數階導數的性質和1/G展開法[12-13]對方程(1)進行求解,得到了較為豐富的孤立波解和扭曲波解.

1 1/G展開法求解分數階方程的應用

1.1 預備知識

求解分數階方程的方法通常是將其化為整數階方程后再求解.由于傳統(tǒng)的Riemann-Liouville分數階導數定義[5]和Caputo[9]分數階導數定義均帶有積分形式,而保形分數階導數的定義不帶有積分形式(應用更為方便),因此本文采用保形分數階導數將方程(1)變換為整數階微分方程后再進行求解.保形分數階導數的定義[11]為:

(2)

其中f:(0,∞)→R,t>0.

當α= 1時,保形分數階導數為一階導數.一般情況下,當0<α≤1且f(t)為含變量t的單項式分數階函數時,保形分數階導數的表達式為:

(3)

(4)

利用中值定理可證明式(4)成立,即:

1.2 G′/G展開法及其求解步驟

G′/G展開法[14]是一種借助輔助函數求解方程孤立波解的方法,其不僅具有求解步驟清晰的優(yōu)點,而且得到的解的種類和數量較多.為了進一步提高G′/G展開法的應用,近年來一些學者對其進行了改進,如提出了修正的G′/G展開法[15]、擴展的G′/G展開法[16]和1/G展開法[12-13]等.由于1/G展開法在求解非線性偏微分方程時具有求解步驟簡潔以及求解效果相對更好的優(yōu)點,因此本文采用該方法來求解時間-空間分數階Klein-Gordon方程(1)的解.

考慮如下具有變量x=(x1,x2,…,xl,t)的非線性分數階偏微分方程:

(5)

(6)

其中m1,m2,…,ml∈R為任意常數,c為波速.根據式(6)可將式(5)變換為如下常微分方程:

F1(φ,φ′ξ,φ″ξξ,…)= 0,

(7)

其中φ′ξ、φ″ξξ等分別表示對共同變量ξ的求導.設方程(7)的解為1/G(ξ)的有限次冪級數,即:

(8)

其中:系數ai(i= 0,1,2,…,n)為待定常數,且an≠0,正整數n由平衡式(7)中含最高階偏導數的項和具支配地位的非線性項的次數來確定;G(ξ)由方程(9)來確定.

G′(ξ)+λG(ξ)+1= 0,

(9)

其中λ是常數(λ≠0).

將式(8)代入式(7)后利用式(9)將式子左邊化為1/G(ξ)的多項式形式,再通過合并[1/G(ξ)]i的同類項(i= 1,2,…,n)和令1/G(ξ)的各次冪項的系數為0即可得a0,a1,a2,…,an,c,λ的代數方程組.解該代數方程組后,將其結果代入式(8)中即可得到用1/G(ξ)表示的方程(5)行波解的一般形式.

2 方程(1)的孤立波解

(10)

通過平衡式(10)中的最高階導數項φ″ξξ和最高階非線性項φ2的次數可知,式(8)中的n= 2.由此可知方程(10)的解等價于方程(1)的解,即:

(11)

于是再由式(9)可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

由于a2≠0,λ≠0,因此通過求解由式(14)—(18)聯立的方程組可得如下幾組解:

(19)

(20)

(21)

(22)

其中:解(19)、(20)需d與c2-m2為同號且都不為0,解(21)、(22)需d與c2-m2為異號且都不為0.

將解(19)代入式(11)后再結合式(9)可得方程(1)的解為:

(23)

(24)

由于雙曲正切、雙曲余切函數是奇函數,因此將解(20)代入式(11)后再結合式(9)可得到與式(23)、(24)分別相同的方程(1)的2個解.將解(21)代入式(11)后再結合式(9)可得到方程(1)的如下2個解:

(25)

(26)

類似于上述方法,將解(22)代入式(11)后再結合式(9)可得到方程(1)的如下2個解:

(27)

(28)

注1在解(23)、(24)中,x、t是變量,參數d、e、c、m為非0的任意常數,d與c2-m2為同號;在解(25)—(28)中,參數d、e、c、m為非0的任意常數,d與c2-m2為異號;0<α≤1.

3 解的相圖分析

由上述求解方程(1)的過程可知,本文利用1/G展開法得到了8個孤立波解.但由于雙曲正切、雙曲余切函數是奇函數,因此使得其中的2個解(通過奇偶變換后所得的解)與式(23)、(24)所表示的解相同,所以在結果中只顯示了6個解.將本文所得的解與文獻[5-11]中的解進行對比可知,其結果是不同的.為了驗證本文所得解的有效性,本文給出了解的相圖.由于解(23)、(25)的圖形類似于解(27)的圖形,解(24)、(26)的圖形類似于解(28)的圖形,因此本文在此僅給出解(27)和(28)的圖形(見圖1和圖2).

(a) x∈(-3,3), t∈(0,3) (b) x∈(-10,10), t∈(0,10)圖1 參數d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時解(27)在不同區(qū)間下的三維圖像

(a) x∈(0,3), t∈(0,3) (b) x∈(0,30), t∈(0,30)圖2 參數d=8、e=4、c= 1、m=3、α= 1/2時解(28)在不同區(qū)間下的三維圖像

由圖1(孤立波圖)可以看出,圖中的“孤立子”數量隨變量區(qū)間的增大而減少,其原因是當區(qū)間變大時許多小的“孤立子”在高大的“孤立子”的襯托下不易顯現(但當區(qū)間縮小和圖形放大時,“孤立子”會明顯顯現).由圖2(扭曲波圖)可以看出,扭曲波并未隨變量區(qū)間的增大而發(fā)生明顯的變化(除圖形“變陡”外),其原因是扭曲波在傳播時具有較好的穩(wěn)定性.

4 結論

本文利用1/G展開法和保形分數階導數的定義對一類時間-空間分數階Klein-Gordon方程進行了求解,并得到了該方程的一些精確行波解(包含孤立波解和扭曲波解).利用Maple軟件對部分解的不同大小區(qū)間的三維圖進行分析及數值模擬表明,所求得的這些解都是有效的.本文研究表明,1/G展開法是一種較為有效的求解非線性偏微分方程的方法,它可以求得方程的孤立波解和扭曲波解等行波解.