張志揚, 李忠

( 福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 福州 350108 )

0 引言

由于研究具有捕獲的捕食-食餌模型對資源的可持續(xù)發(fā)展和合理利用具有重要的指導(dǎo)意義,因此近年來許多學(xué)者對具有捕獲的捕食-食餌模型進行了研究,并取得了良好成果.目前大部分的相關(guān)研究是針對唯一食物來源進行的,如:Shang等[1]研究了一類具有常數(shù)捕獲的Gause型捕食-食餌模型,并分析了模型的穩(wěn)定性和一些分支現(xiàn)象;Christian[2]提出了一類不連續(xù)的具有線性捕獲的捕食-食餌模型,并以線性捕獲和環(huán)境容納量為參數(shù)討論了模型的分支和穩(wěn)定性;Mortuja等[3]研究了一類具有非線性捕獲和平方根功能性反應(yīng)的捕食-食餌模型,結(jié)果顯示當(dāng)捕獲較小時,捕食者群和食餌群將共存并保持平衡;Hu等[4]討論了一類具有非線性捕獲的捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性,研究表明該系統(tǒng)會產(chǎn)生Hopf分支和Bogdanov-Takens分支.但在實際中,由于有些捕食者還會具有其他食物來源,因此一些學(xué)者研究了具有其他食物來源的捕食-食餌模型的動力學(xué)性質(zhì).例如:Sen等[5]研究了一種具有Allee效應(yīng)和其他食物來源的捕食-食餌系統(tǒng),研究結(jié)果顯示該模型具有雙穩(wěn)定性和三穩(wěn)定性;Arancibia等[6]討論了一類具有其他食物來源的Leslie-Gower捕食-食餌模型,并分析了Allee效應(yīng)和其他食物來源對系統(tǒng)穩(wěn)定性和分支的影響;Mondal等[7]研究了一種具有常數(shù)捕獲和其他食物來源的捕食-食餌模型,并分析了模型的平衡點穩(wěn)定性和Hopf分支以及時滯對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響.基于上述研究,本文研究模型(1)平衡點的局部和全局漸近穩(wěn)定性,并討論其他食物來源和捕獲對種群穩(wěn)定性的影響.

(1)

其中:x和y分別表示食餌和捕食者種群的種群密度,r表示食餌種群的內(nèi)稟增長率,k表示食餌種群的環(huán)境容納量,e表示捕食者種群的捕食率,h0表示捕撈系數(shù),c表示捕食者在種間競爭的能量轉(zhuǎn)化率,n表示捕食者對其他食物來源的能量轉(zhuǎn)化率,d表示捕食者種群的種內(nèi)競爭強度.

(2)

1 平衡點的局部穩(wěn)定性及其證明

若系統(tǒng)(2)中的(x(t),y(t))滿足初值條件x(0)≥0和y(0)≥0,則有如下定理:

定理1系統(tǒng)(2)的解是恒正和有界的.

令P(x,y)=x(1-x-py)-hx和Q(x,y)=y(m+bx-y),于是由P(x,y)= 0,Q(x,y)= 0可得如下引理:

引理2當(dāng)h≤1時,E0(0,0)是不穩(wěn)定的.當(dāng)h>1時,E0(0,0)是鞍點.

為了討論E0的穩(wěn)定性,將系統(tǒng)(2)在平衡點E0處展開可得:

(3)

由于系統(tǒng)(3)中x2項的系數(shù)是負的,所以由文獻[8]中的定理7.1可知:E0(0,0)是排斥的鞍結(jié)點;當(dāng)h= 1時,平衡點E0是不穩(wěn)定的.證畢.

引理3①若pm≥1,則E1(0,m)是局部穩(wěn)定的.②若pm<1,則:當(dāng)h<1-pm時,E1(0,m)是鞍點;當(dāng)h= 1-pm時,E1(0,m)是吸引的鞍結(jié)點;當(dāng)h>1-pm時,E1(0,m)是局部穩(wěn)定的.

下面討論退化平衡點E1(0,m)的穩(wěn)定性.對系統(tǒng)(2)作變換,即令x=X,y=Y+m,則系統(tǒng)(2)可變?yōu)?

(4)

(5)

由于系統(tǒng)(5)中的負向時間變換和u2項的系數(shù)是正的,因此當(dāng)h= 1-pm時,根據(jù)文獻[8]中的定理7.1可知E1(0,m)是吸引的鞍結(jié)點,即在第一象限內(nèi)E1(0,m)是穩(wěn)定的.證畢.

引理4當(dāng)h<1時,E2(1-h,0)是鞍點.

引理5當(dāng)h<1-pm時,正平衡點E*(x*,y*)是局部穩(wěn)定的.

2 平衡點的全局漸近穩(wěn)定性及其證明

定理2當(dāng)pm≥1時,邊界平衡點E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由引理1可知:當(dāng)pm≥1時,系統(tǒng)(2)不存在正平衡點E*,因此系統(tǒng)(2)在第一象限內(nèi)不存在極限環(huán);當(dāng)pm≥1且h<1時,系統(tǒng)(2)存在3個邊界平衡點E0、E1和E2.于是由引理2—4可知,E0(0,0)是不穩(wěn)定的,E1(0,m)是局部穩(wěn)定的,E2(1-h,0)是鞍點.再由定理1進一步可知,系統(tǒng)(2)的解是有界的.由于第一象限內(nèi)不存在極限環(huán),所以可得邊界平衡點E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的.

另外,由引理1還可知,當(dāng)pm≥1且h≥1時,系統(tǒng)(2)存在2個邊界平衡點E0和E1.于是由引理2和引理3可知:E0(0,0)是不穩(wěn)定的,E1(0,m)是局部穩(wěn)定的.類似上面的分析可知,邊界平衡點E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的,證畢.

定理3①當(dāng)pm<1和h<1-pm時,正平衡點E*(x*,y*)是全局漸近穩(wěn)定的.②當(dāng)pm<1和h≥1-pm時,邊界平衡點E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的.

2)由引理1可知,當(dāng)pm<1和1-pm≤h<1時,系統(tǒng)(2)存在3個邊界平衡點E0、E1和E2,其中E0(0,0)是不穩(wěn)定的,E1(0,m)是局部穩(wěn)定的,E2(1-h,0)是鞍點.由定理1可知,此時系統(tǒng)(2)的解是有界的,且在第一象限內(nèi)不存在極限環(huán),所以邊界平衡點E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的.另外,由引理1還可知,當(dāng)pm<1和h≥1時,系統(tǒng)(2)存在2個邊界平衡點E0和E1,其中E0(0,0)是鞍點,E1(0,m)是局部穩(wěn)定的.于是類似于pm<1和1-pm≤h<1時的分析可知,E1(0,m)是全局漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

例1考慮如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

(6)

其中p= 1,b= 1,m= 1.5,h= 0.5.由于h= 0.5<1,因此由引理1可知:系統(tǒng)(6)有3個邊界平衡點,分別為E0(0,0)、E1(0,1.5)和E2(0.5,0).

對系統(tǒng)(6)的系數(shù)進行計算可得pm= 1.5>1,于是由引理2—4和定理2可知:E0(0,0)是不穩(wěn)定的,E2(0.5,0)是鞍點,E1(0,1.5)是全局漸近穩(wěn)定的.圖1為系統(tǒng)(6)的相圖.由圖1可以看出,系統(tǒng)(6)的解均趨向于平衡點E1(0,1.5),即食餌絕滅,捕食者生存.

圖1 系統(tǒng)(6)的相圖

例2考慮如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性:

(7)

其中p= 1,b= 1,m= 0.5,且pm= 0.5<1.

1)在式(7)中取h= 0.3,并對系統(tǒng)(7)的系數(shù)進行計算可得h<1-pm= 0.5.于是由引理1可知,系統(tǒng)(7)有3個邊界平衡點(E0(0,0)、E1(0,0.5)、E2(0.7,0))和1個正平衡點(E*(0.1,0.6)).再由引理2—5和定理3可知:E0(0,0)是不穩(wěn)定的,E1(0,0.5)是鞍點,E2(0.7,0)是鞍點,E*(0.1,0.6)是全局漸近穩(wěn)定的.圖2為h= 0.3時系統(tǒng)(7)的相圖.由圖2可以看出,系統(tǒng)(7)的解均趨向于平衡點E*(0.1,0.6),即食餌和捕食者共存.

2)在式(7)中取h= 0.7,并對系統(tǒng)(7)的系數(shù)進行計算可得1-pm= 0.5

圖2 h= 0.3時系統(tǒng)(7)的相圖 圖3 h= 0.7時系統(tǒng)(7)的相圖

4 結(jié)論

本文對一類具有線性捕獲和其他食物來源的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性進行研究表明:當(dāng)捕食者的其他食物來源較多時,捕食者的種群數(shù)量會增多,從而導(dǎo)致食餌種群絕滅;當(dāng)捕食者的其他食物來源較少時,食餌種群的捕獲率會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性,即少量的捕獲會保持食餌和捕食者種群的共存,而過度捕獲則會導(dǎo)致食餌種群的絕滅.本文僅對系統(tǒng)(1)線性捕獲的情形進行了研究,在今后研究中我們將對系統(tǒng)(1)的常數(shù)捕獲及非線性捕獲情形進行研究.