楊燁, 袁宏俊, 胡凌云

( 1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院; 2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院: 安徽 蚌埠 233030 )

0 引言

由于組合預(yù)測方法比單項(xiàng)預(yù)測方法更能全面地提取數(shù)據(jù)中的信息和提高預(yù)測精度,因此近年來國內(nèi)外一些學(xué)者對組合預(yù)測模型進(jìn)行了較多研究,其研究數(shù)據(jù)也由實(shí)數(shù)型數(shù)據(jù)擴(kuò)展到了區(qū)間型數(shù)據(jù)(區(qū)間型數(shù)據(jù)更能真實(shí)地反映實(shí)際預(yù)測系統(tǒng)的模糊性和不確定性)[1-3].例如:袁宏俊等以三角模糊數(shù)相似度作為最優(yōu)準(zhǔn)則,通過引入廣義誘導(dǎo)有序信息集成算子構(gòu)建了一種基于三角模糊數(shù)相似度的GIOWA算子的變權(quán)系數(shù)區(qū)間型組合預(yù)測模型[4];杜康等以灰色趨勢關(guān)聯(lián)度作為最優(yōu)準(zhǔn)則,構(gòu)建了一種基于三角模糊數(shù)及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測模型[5];張娜等利用樣本的區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間半徑構(gòu)建了一種區(qū)間型組合預(yù)測模型,并利用人群搜索算法對組合預(yù)測模型的權(quán)系數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[6].基于上述研究,本文基于誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)多重平均(IGOWMA)算子,以改進(jìn)相關(guān)系數(shù)作為最優(yōu)準(zhǔn)則構(gòu)建了一種基于區(qū)間數(shù)中心和半徑的多目標(biāo)非線性規(guī)劃模型,同時(shí)通過引入偏好系數(shù)將該模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型.通過實(shí)例驗(yàn)證和對參數(shù)λ進(jìn)行靈敏度分析表明,該模型的預(yù)測精度顯著優(yōu)于文獻(xiàn)[7]中的3種單項(xiàng)預(yù)測方法及文獻(xiàn)[8]中提出的組合預(yù)測方法,參數(shù)λ對權(quán)系數(shù)w1和w2、最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值以及平均區(qū)間中心誤差平方和(MSEP)和加權(quán)平均誤差平方和(TWSSE)有明顯影響,其較優(yōu)取值范圍為(0.5,1.5).

1 基本概念

定義1[4]若實(shí)數(shù)滿足aL≤aU,則稱a= [aL,aU]為一個(gè)區(qū)間數(shù).當(dāng)aL>0時(shí),則稱a為正區(qū)間數(shù).其中aL和aU分別為區(qū)間數(shù)的左右端點(diǎn).若aL=aU,則稱a等價(jià)于普通實(shí)數(shù).記m=(aL+aU)/2,r=(aU-aL)/2,則稱m為區(qū)間中心,r為區(qū)間半徑.將區(qū)間數(shù)記為a= [aL,aU]=(m,r).若有2個(gè)區(qū)間數(shù)分別為a= [aL,aU]=(m1,r1),b= [bL,bU]=(m2,r2),則存在以下運(yùn)算規(guī)則:

1)a=b?aL=bL,aU=bU,m1=m2,r1=r2.

2)a+b= [aL+bL,aU+bU]=(m1+m2,r1+r2).

定義2[9]設(shè)(〈δ1,a1〉,〈δ2,a2〉,…,〈δn,an〉)是n個(gè)二維數(shù)組,若函數(shù)IGOWMAW滿足:

2 基于改進(jìn)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間型組合預(yù)測模型

定義3[10]設(shè)有兩組序列x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn),則稱

為序列x與序列y之間的改進(jìn)相關(guān)系數(shù).

定義3中的改進(jìn)相關(guān)系數(shù)是利用Erdem對Pearson相關(guān)系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)得到的,該改進(jìn)相關(guān)系數(shù)比原Pearson相關(guān)系數(shù)能更好地捕捉序列x與序列y隨時(shí)間的改變方向.

定義4[11]設(shè)ηit和μit(i=1,2,…,s;t=1,2,…,n)分別是第i種單項(xiàng)預(yù)測方法在t時(shí)刻的中心精度和半徑精度:

根據(jù)定義2中的IGOWMA算子知,可將第i種單項(xiàng)預(yù)測方法在t時(shí)刻的中心精度作為誘導(dǎo)值,并以此可構(gòu)造出t時(shí)刻中心的s個(gè)二維數(shù)組{〈η1t,m1t〉,〈η2t,m2t〉,…,〈ηst,mst〉}.同理,以半徑精度為誘導(dǎo)值可構(gòu)造出t時(shí)刻半徑的二維數(shù)組{〈μ1t,r1t〉,〈μ2t,r2t〉,…,〈μst,rst〉}.

為了求解模型(1),本文通過引入偏好系數(shù)α∈[0,1]將多目標(biāo)非線性最優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)最優(yōu)化模型,并以此建立了組合預(yù)測模型(2):

在模型(2)中,α和(1-α)分別表示區(qū)間數(shù)的中心和半徑對組合預(yù)測的重要程度.模型(1)和(2)均可以通過Matlab的優(yōu)化工具箱或Lingo軟件進(jìn)行求解.

3 實(shí)例分析

為了證明基于IGOWMA算子和改進(jìn)相關(guān)系數(shù)的區(qū)間型組合預(yù)測模型的可行性,本文選取基于區(qū)間數(shù)中心和半徑的平均區(qū)間中心誤差平方和(MSEP)、平均區(qū)間半徑誤差平方和(MSEL)、加權(quán)平均誤差平方和(TWSSE)、加權(quán)平均均方百分比誤差(TWMSPE)作為評價(jià)預(yù)測結(jié)果的指標(biāo).各指標(biāo)的計(jì)算公式為:

本文利用文獻(xiàn)[7]中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析(數(shù)據(jù)見表1),并將原始數(shù)據(jù)按照定義1轉(zhuǎn)換為等量信息的中心序列和半徑序列(數(shù)據(jù)見表2).根據(jù)定義4計(jì)算得到的各單項(xiàng)預(yù)測方法的中心和半徑的誘導(dǎo)因子序列見表3.

表1 實(shí)際區(qū)間數(shù)序列和各單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測序列

表2 實(shí)際區(qū)間數(shù)和各單項(xiàng)預(yù)測方法的中心和半徑序列

表3 3種單項(xiàng)預(yù)測方法的中心和半徑的誘導(dǎo)因子序列

由單目標(biāo)最優(yōu)準(zhǔn)則模型(2)可以看出,誘導(dǎo)有序加權(quán)算子隨λ和α的取值不同而不同,權(quán)重大小也隨之不同,進(jìn)而出現(xiàn)了不同的組合方式和最優(yōu)值.為計(jì)算方便,分別選取λ=-3、-1、0.1、1、4以及α= 0.5和α= 0.8進(jìn)行組合,并由此建立了不同的組合預(yù)測模型.利用Lingo軟件求得的各組合預(yù)測模型的權(quán)重系數(shù)如表4所示.利用表4中的結(jié)果求得的各時(shí)點(diǎn)處的組合預(yù)測結(jié)果見表5和表6.

表4 各參數(shù)取值及其對應(yīng)的權(quán)系數(shù)值

表5 λ取不同值時(shí)等價(jià)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測值(α=0.5)

表6 λ取不同值時(shí)等價(jià)區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測值(α=0.8)

根據(jù)表5和表6中的預(yù)測結(jié)果及各誤差計(jì)算公式計(jì)算得出的各單項(xiàng)預(yù)測方法和組合預(yù)測方法的MSEP、MSEL、TWSSE、TWMSPE值見表7.

表7 各單項(xiàng)預(yù)測和各組合預(yù)測方法的誤差值

由表7中的數(shù)據(jù)可看出,本文所提出的組合預(yù)測模型的預(yù)測誤差指標(biāo)值均明顯小于文獻(xiàn)[7]中的3種單項(xiàng)預(yù)測方法及文獻(xiàn)[8]中給出的組合預(yù)測方法的預(yù)測誤差指標(biāo)值,由此表明本文提出的組合預(yù)測模型的預(yù)測精度顯著優(yōu)于上述幾種預(yù)測模型.

根據(jù)定義5求出了實(shí)際區(qū)間數(shù)與各種預(yù)測方法的中心和半徑的改進(jìn)相關(guān)系數(shù)R(W),結(jié)果見表8.由表8可以看出,在不同偏好系數(shù)下,組合預(yù)測模型預(yù)測的改進(jìn)相關(guān)系數(shù)均優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果.由此表明,本文提出的組合預(yù)測模型(2)是優(yōu)性區(qū)間型組合預(yù)測模型.

表8 實(shí)際區(qū)間數(shù)與各預(yù)測方法區(qū)間數(shù)的改進(jìn)相關(guān)系數(shù)

4 靈敏度分析

為進(jìn)一步探究不同參數(shù)對權(quán)系數(shù)、改進(jìn)相關(guān)系數(shù)以及各誤差指標(biāo)的影響,本文對不同參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析,結(jié)果見圖1—圖4.為直觀了解不同λ取值對權(quán)系數(shù)、最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值以及誤差指標(biāo)的影響,本文固定了α的取值.由圖1和圖2可以看出:參數(shù)λ對w1和w2的影響較大,其中w1的取值隨著參數(shù)λ的增加表現(xiàn)出先下降后上升的趨勢,w2的取值隨著參數(shù)λ的增加表現(xiàn)出先上升后下降的趨勢;參數(shù)λ對w3的取值影響較少;R(W)的取值隨λ的增加表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢,并且當(dāng)λ∈(-2,2)時(shí)R(W)值相對最大.

圖1 不同λ值對wi和R(W)的影響(α=0.5) 圖2 不同λ值對wi和R(W)的影響(α=0.8)

圖3 不同λ值對誤差指標(biāo)的影響(α=0.5) 圖4 不同λ值對誤差指標(biāo)的影響(α=0.8)

由圖3和圖4可以看出:參數(shù)λ的取值對誤差指標(biāo)MSEP和TWSSE的影響較大,且隨λ取值的增加,曲線的波動(dòng)性明顯增強(qiáng);參數(shù)λ的取值對誤差指標(biāo)MSEL和TWMSPE的影響很小.出現(xiàn)該結(jié)果的原因是,本文所用數(shù)據(jù)的區(qū)間中心遠(yuǎn)大于半徑.當(dāng)λ∈(0.5,1.5)時(shí),各誤差指標(biāo)的數(shù)值均相對較小,說明此時(shí)的組合預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值最為接近.另外,對參數(shù)λ進(jìn)行靈敏度分析顯示,不同α值(0.5和0.8)對權(quán)系數(shù)、改進(jìn)相關(guān)系數(shù)和誤差指標(biāo)的影響較小,這說明參數(shù)α對組合預(yù)測模型的影響較小.綜合圖1—圖4中的曲線變化,以及根據(jù)參數(shù)的選取原則(誤差值盡量小和最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值盡量大)可得,λ的較優(yōu)取值范圍為(0.5,1.5).

5 結(jié)語

研究表明,本文提出的基于改進(jìn)相關(guān)系數(shù)及IGOWMA算子構(gòu)建的區(qū)間型組合預(yù)測模型(2)是一種優(yōu)性區(qū)間型組合預(yù)測模型,其預(yù)測精度顯著優(yōu)于文獻(xiàn)[7]中的3種單項(xiàng)預(yù)測方法及文獻(xiàn)[8]中給出的組合預(yù)測方法;因此該模型可應(yīng)用于模糊預(yù)測中,并可為構(gòu)建其他高精度區(qū)間型預(yù)測模型提供參考.本文在構(gòu)建組合預(yù)測模型(2)時(shí)僅是將中心和半徑預(yù)測精度作為誘導(dǎo)值對模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了分析,因此在今后的研究中我們將探究其他不同誘導(dǎo)值對模型預(yù)測精度的影響,以完善本文模型.