重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 譚鈺涵 鄧婭 宋貝寧

1 問(wèn)題提出

如一批用戶(hù)變壓器（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“用戶(hù)”）僅有一個(gè)電源變電站（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“電源”）供電（單供），一些電力用戶(hù)發(fā)生停電會(huì)帶來(lái)?yè)p失，降低用電滿(mǎn)意度[1]。為了提升用戶(hù)用電可靠性[2]，本文利用Python生成兩個(gè)電源和50個(gè)用戶(hù)的隨機(jī)平面坐標(biāo)，在兩個(gè)電源的單供配電網(wǎng)之間建立聯(lián)絡(luò)線(xiàn)，增設(shè)開(kāi)關(guān)和擴(kuò)充電源可供電功率，形成雙電源供電配電網(wǎng)，提高用戶(hù)的用電可靠性。

2 建造費(fèi)用最低的兩個(gè)單供配電網(wǎng)

配電網(wǎng)設(shè)施可靠性單元?jiǎng)澐旨捌淇煽啃詾椋汉雎噪娫粗疗浜蠖说谝粋€(gè)開(kāi)關(guān)部分，忽略用戶(hù)至其第一個(gè)前端開(kāi)關(guān)部分；配電網(wǎng)設(shè)備可靠性（故障）單元由電源、用戶(hù)、開(kāi)關(guān)，以及僅含兩個(gè)開(kāi)關(guān)之間的路構(gòu)成。參數(shù)取值見(jiàn)表1。

表1 參數(shù)取值

首先，本文將建造費(fèi)用分為電源價(jià)格、電配網(wǎng)主線(xiàn)、支線(xiàn)、開(kāi)關(guān)造價(jià)四部分，分別設(shè)為S1、S2、S3、S4。因?yàn)橹Ь€(xiàn)分為A、B兩種，所以S3為A、B型支線(xiàn)每千米單價(jià)與支線(xiàn)長(zhǎng)度總和的乘積之和，S4為主線(xiàn)、支線(xiàn)開(kāi)關(guān)單價(jià)與個(gè)數(shù)的乘積之和。S2、S3、S4具體計(jì)算式為：

式中：p1、pa、pb分別表示主線(xiàn)、A型支線(xiàn)、B型支線(xiàn)每千米單價(jià)；l1、la、lb分別表示主線(xiàn)、A型支線(xiàn)、B型支線(xiàn)總長(zhǎng)度；p2、p3分別表示主、支線(xiàn)開(kāi)關(guān)單價(jià)；n1、n2分別表示主、支線(xiàn)開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)。

為了使支線(xiàn)造價(jià)最低，即支線(xiàn)上用戶(hù)距離最短，要求同一類(lèi)用戶(hù)位于一條支線(xiàn)上。每一類(lèi)用戶(hù)的質(zhì)心坐標(biāo)即為主線(xiàn)的分叉點(diǎn)坐標(biāo)，則交叉點(diǎn)的坐標(biāo)為：

式中：xj(i)表示第i類(lèi)第j個(gè)用戶(hù)；ni表示第i類(lèi)用戶(hù)總數(shù)(i = 1,2)。利用K-均值算法將用戶(hù)分為兩類(lèi)，其中第1、2 類(lèi)分叉點(diǎn)坐標(biāo)分別為[137，284]、[386，294]。由此，得到基于0-1 整數(shù)規(guī)劃的單供配電網(wǎng)最低建造價(jià)格模型：

為保證主線(xiàn)造價(jià)最低，需要主線(xiàn)的長(zhǎng)度最短。同時(shí)，需要保證在點(diǎn)i處只選取一條邊，同一邊只被選取一次，且每個(gè)點(diǎn)只能被選取兩次，則有如下以主線(xiàn)路徑最短為目標(biāo)的優(yōu)化模型：

其中：xij、xit、xtj分別表示i點(diǎn)到j(luò)點(diǎn)、i點(diǎn)到t點(diǎn)、t點(diǎn)到j(luò)點(diǎn)的連線(xiàn)（取1表示選取該邊，取0表示不選取）；dij表示i點(diǎn)到j(luò)點(diǎn)的距離。為保證支線(xiàn)造價(jià)最小，需要支線(xiàn)長(zhǎng)度最短，采用長(zhǎng)度最短為目標(biāo)的優(yōu)化模型。假設(shè)電源的坐標(biāo)為(0，0)，得到第1 類(lèi)的用戶(hù)人數(shù)N1= 27，第2類(lèi)的用戶(hù)人數(shù)為N2= 23。

3 設(shè)計(jì)兩個(gè)費(fèi)用最低的單供配電網(wǎng)設(shè)計(jì)

首先，因?yàn)榕潆娋W(wǎng)的造價(jià)和支線(xiàn)分類(lèi)的個(gè)數(shù)k有關(guān)，因此本文不固定k值，對(duì)于兩類(lèi)分別選取k1=1，2，…，N1，k2= 1，2，…，N2。不同取值下的配電網(wǎng)總造價(jià)為Sk1和Sk2，總造價(jià)S，其計(jì)算式為：

為了簡(jiǎn)便計(jì)算并結(jié)合實(shí)際情況，將50名用戶(hù)按照2～5 個(gè)分類(lèi)，得到每一類(lèi)用戶(hù)的質(zhì)心坐標(biāo)為主線(xiàn)的分叉點(diǎn)坐標(biāo)，部分?jǐn)?shù)據(jù)分叉點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表2。

表2 分叉點(diǎn)坐標(biāo)

計(jì)算一、二大類(lèi)2～5 個(gè)分類(lèi)下電網(wǎng)造價(jià)，對(duì)于第一大類(lèi)用戶(hù)，結(jié)果分別約為709004 千元、739964 千元、796589 千元、760467 千元，故選取k值為2；對(duì)于第二大類(lèi)用戶(hù)，結(jié)果分別約為753424千元、776902千元、758342千元、739797千元，故選取k值為5。

假設(shè)用戶(hù)出現(xiàn)故障時(shí)不會(huì)影響其他用戶(hù)的供電，考慮到用戶(hù)用電可靠性為指定時(shí)間段內(nèi)不因配電網(wǎng)故障停電或限電的概率，而線(xiàn)路中發(fā)生故障的情況有電源、開(kāi)關(guān)、用戶(hù)、故障單元邊，故假設(shè)電源、開(kāi)關(guān)、用戶(hù)、故障單元邊發(fā)生故障是相互獨(dú)立的。因此可靠性等于上訴情況同時(shí)不發(fā)生故障時(shí)的概率，則第i個(gè)用戶(hù)的用電可靠性為：

式中：P電、P開(kāi)、P用分別表示電源、開(kāi)關(guān)、用戶(hù)發(fā)生故障的概率；n開(kāi)表示是開(kāi)關(guān)的總個(gè)數(shù)；n用表示包含第i個(gè)用戶(hù)在內(nèi)，從第i個(gè)用戶(hù)到電源的線(xiàn)路的用戶(hù)個(gè)數(shù)；li表示第i個(gè)用戶(hù)所屬單元邊長(zhǎng)度。

對(duì)于上式中的li，即第i個(gè)用戶(hù)到電源的總長(zhǎng)度，其具體計(jì)算式為：

式中：xi、yj為第i個(gè)用戶(hù)到電源通路之間分叉點(diǎn)及用戶(hù)的橫縱坐標(biāo)。計(jì)算得到第一大類(lèi)的第1、2小類(lèi)用戶(hù)用電可靠性分別在［0.64，0.82］、［0.65，0.85］之間，第二大類(lèi)下的第1、2、3、4、5 小類(lèi)用戶(hù)用電可靠性分別［0.82，0.86］、［0.73，0.88］、［0.88，0.89］、［0.80，0.81］、［0.67，0.88］之間。

4 形成雙供配電網(wǎng)

將配電網(wǎng)成本分為兩條單配電路1、2 的造價(jià)S1、S2，聯(lián)絡(luò)線(xiàn)的成本S3，增設(shè)開(kāi)關(guān)的成本S4，電源擴(kuò)充成本為S5四部分。假設(shè)聯(lián)絡(luò)線(xiàn)的單價(jià)和主線(xiàn)單價(jià)相同，兩條單配電路造價(jià)成本即上述所得的兩條電路造價(jià)S1和S2。聯(lián)絡(luò)線(xiàn)連接兩個(gè)單配電網(wǎng)分叉點(diǎn)，由于其連線(xiàn)方式有很多種，因此需要考慮所有聯(lián)絡(luò)線(xiàn)的連線(xiàn)可能，其造價(jià)計(jì)算式為：

式中：p聯(lián)表示聯(lián)絡(luò)線(xiàn)單價(jià)；l表示聯(lián)絡(luò)線(xiàn)長(zhǎng)度。聯(lián)絡(luò)線(xiàn)長(zhǎng)度計(jì)算公式為：

式中：（x1,y1）、（x2,y2） 分別為1、2 線(xiàn)路分叉點(diǎn)。

對(duì)于增設(shè)的開(kāi)關(guān)的成本，需要計(jì)算增加的不同類(lèi)型的開(kāi)關(guān)的成本，如增設(shè)主線(xiàn)開(kāi)關(guān)n1個(gè)，直線(xiàn)開(kāi)關(guān)n2個(gè)。對(duì)于電源擴(kuò)充成本，由于電源本身的額定供電量為負(fù)荷需求之和的1.1倍，假設(shè)兩個(gè)電源各自能擴(kuò)充可供電功率50%。因此增設(shè)開(kāi)關(guān)、電源擴(kuò)充成本公式分別為：

式中：ei表示第i個(gè)用戶(hù)需求電量；p擴(kuò)表示擴(kuò)展供電量?jī)r(jià)格。

對(duì)于用戶(hù)用電的可靠性計(jì)算，由于配電網(wǎng)中有兩個(gè)電源，因此第i個(gè)用戶(hù)的可靠性的計(jì)算式為：

式中：di表示第i個(gè)用戶(hù)到兩個(gè)電源的距離和。

假設(shè)建造雙供配電網(wǎng)總花費(fèi)上限為X，由于聯(lián)絡(luò)線(xiàn)設(shè)計(jì)不同，所以在第k種聯(lián)絡(luò)線(xiàn)設(shè)計(jì)下，最低用戶(hù)用電可靠性為Pk=min{Pi}，不同聯(lián)絡(luò)線(xiàn)最低用戶(hù)用電可靠性里面求取最大值Pk=maxP。以上述兩式為目標(biāo)函數(shù)，建立基于最低用戶(hù)可靠性的用電可靠性?xún)?yōu)化模型：

式中，Nl表示聯(lián)絡(luò)線(xiàn)分配類(lèi)型總數(shù)；k1、k2分別表示類(lèi)型1、2單配供電網(wǎng)分支點(diǎn)個(gè)數(shù)。

結(jié)合表1 參數(shù)的取值，聯(lián)絡(luò)線(xiàn)構(gòu)造情況及其價(jià)格見(jiàn)表3，其中(0，0)表示第一類(lèi)供電網(wǎng)第一個(gè)交叉點(diǎn)和第二類(lèi)供電網(wǎng)第一個(gè)交叉點(diǎn)連接形成連接線(xiàn)。根據(jù)不同聯(lián)絡(luò)線(xiàn)的情況，計(jì)算得到聯(lián)絡(luò)線(xiàn)最低用戶(hù)用電可靠性以及對(duì)應(yīng)增加的開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)見(jiàn)表4。

表3 聯(lián)絡(luò)線(xiàn)構(gòu)造情況及其價(jià)格

表4 聯(lián)絡(luò)線(xiàn)最低用戶(hù)用電可靠性以及對(duì)應(yīng)增加的開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)

最大的最低用電可靠性約為0.522，對(duì)應(yīng)的聯(lián)絡(luò)線(xiàn)組合情況為第一類(lèi)的第一個(gè)交叉點(diǎn)（136，399）和第二類(lèi)的第四個(gè)交叉點(diǎn)（444，38）連接成聯(lián)絡(luò)線(xiàn)，對(duì)應(yīng)主、支線(xiàn)開(kāi)關(guān)分別增加1 個(gè)、63 個(gè)。結(jié)合用戶(hù)用電可靠性計(jì)算公式，計(jì)算得到每個(gè)用戶(hù)的用電可靠性，均在［0.551，0.912］之間，比起兩個(gè)單供電配電網(wǎng)，整體的用戶(hù)滿(mǎn)意度有大幅度提升。

5 結(jié)語(yǔ)

將50 個(gè)用戶(hù)利用K-均值算法進(jìn)行聚類(lèi)，每一類(lèi)的質(zhì)心即為交叉點(diǎn)坐標(biāo)，利用主、支線(xiàn)長(zhǎng)度最短，得到最優(yōu)設(shè)計(jì)。利用上述聚類(lèi)結(jié)果，分別進(jìn)行分類(lèi)，發(fā)現(xiàn)將第一大類(lèi)用戶(hù)分為兩個(gè)類(lèi)的電網(wǎng)造價(jià)最低，約為709004千元，故將第一大類(lèi)用戶(hù)分為兩類(lèi)，且其各小類(lèi)用戶(hù)用電可靠性分別在［0.64，0.82］、［0.65，0.85］之間；第二大類(lèi)用戶(hù)分為五個(gè)類(lèi)的電網(wǎng)造價(jià)最低，約為739797千元，故將第二大類(lèi)用戶(hù)分為五類(lèi)，且其各小類(lèi)用戶(hù)用電可靠性分別在［0.82， 0.86］、［0.73， 0.88］、［0.88， 0.89］、［0.80，0.81］、［0.67，0.88］之間。

結(jié)合參數(shù)的取值，計(jì)算得到最大的最低用電可靠性約為0.522，聯(lián)絡(luò)線(xiàn)的組合情況為：第一類(lèi)的第一個(gè)交叉點(diǎn)（136，399）和第二類(lèi)的第四個(gè)交叉點(diǎn)（444，38）連接成聯(lián)絡(luò)線(xiàn)，主線(xiàn)開(kāi)關(guān)增加1 個(gè)，支線(xiàn)上開(kāi)關(guān)增加63個(gè)。再根據(jù)用戶(hù)用電可靠性計(jì)算公式，計(jì)算得到每個(gè)用戶(hù)的用電可靠性，均在［0.551，0.912］之間，相比兩個(gè)單供配電網(wǎng)的用戶(hù)用電可靠性有明顯提高。