陳薈鍵, 朱清鋒, 苗鴻臣, 馮志強(qiáng)

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院, 成都 611756)

0 引 言

超聲導(dǎo)波具有傳播距離遠(yuǎn)、能量衰減小、對(duì)結(jié)構(gòu)損傷敏感等優(yōu)點(diǎn),在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和無損檢測(cè)領(lǐng)域被廣泛關(guān)注[1]．傳統(tǒng)的線性導(dǎo)波技術(shù)基于導(dǎo)波的線性效應(yīng),主要通過測(cè)試聲速、衰減、反射率和透射率等參數(shù)來檢測(cè)缺陷．然而,線性導(dǎo)波通常僅能檢測(cè)與波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)娜毕?如孔洞、宏觀裂紋等,而對(duì)材料中的初期損傷不敏感．非線性超聲導(dǎo)波兼具線性導(dǎo)波快速檢測(cè)和非線性超聲對(duì)材料初始損傷高靈敏度識(shí)別的雙重優(yōu)點(diǎn)[2]．以接觸聲非線性效應(yīng)為例,超聲導(dǎo)波與微裂紋作用過程中的接觸聲非線性效應(yīng)可以引起高次諧波、零頻響應(yīng)等非線性超聲特征[3],這些特征可以用于識(shí)別線性超聲無法識(shí)別的微裂紋．

板殼結(jié)構(gòu)中的零階水平剪切波(SH0波)因其獨(dú)特的非頻散特性,在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和無損檢測(cè)中具有重要的應(yīng)用前景[4]．洞悉SH0波與裂紋的作用規(guī)律對(duì)于發(fā)展基于SH0波的裂紋檢測(cè)技術(shù)具有重要的意義．當(dāng)前SH0波與裂紋的線性散射規(guī)律已經(jīng)得到了較為深入的研究[5-8],而關(guān)于SH0波與微裂紋的接觸聲非線性散射規(guī)律的研究成果還比較匱乏,特別是結(jié)構(gòu)外部荷載對(duì)SH0波非線性散射特征的影響規(guī)律尚未見報(bào)道．因此,有必要研究受載條件下SH0波與微裂紋作用的非線性散射規(guī)律．由于此時(shí)結(jié)構(gòu)中存在初始應(yīng)力場(chǎng)和聲場(chǎng)的耦合,使得SH0波與微裂紋作用時(shí)的接觸聲非線性作用十分復(fù)雜,因此需要借助數(shù)值仿真對(duì)該問題進(jìn)行分析．有限元法[9]具有易實(shí)現(xiàn)、靈活性高等優(yōu)點(diǎn),是模擬結(jié)構(gòu)中導(dǎo)波傳播最常用的方法之一．然而,由于導(dǎo)波具有頻率高、波長(zhǎng)短的特點(diǎn),使得傳統(tǒng)有限元法在求解此問題時(shí),對(duì)網(wǎng)格密度的要求高,計(jì)算效率較低．時(shí)域譜元法[10]結(jié)合了偽譜法高階多項(xiàng)式快速收斂性和有限元法復(fù)雜幾何適應(yīng)性的優(yōu)點(diǎn),能夠以較小的計(jì)算代價(jià)求解導(dǎo)波傳播問題．然而,譜單元對(duì)復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的離散能力不如有限元法．

為求解接觸聲非線性問題,需要準(zhǔn)確描述在超聲波作用下裂紋面的張開、閉合以及滑移等接觸摩擦行為[3]．目前求解接觸問題主要的方法有罰函數(shù)法和Lagrange乘子法．罰函數(shù)方法[11-12]容易實(shí)現(xiàn)且收斂速度快,但是罰因子的選取較為困難．若選取的罰因子過小,則接觸穿透量較大,從而影響數(shù)值精度;若增大罰因子,雖然可以更加符合接觸條件,但是這樣又會(huì)引起局部接觸計(jì)算的不穩(wěn)定,同時(shí)時(shí)間步長(zhǎng)還需設(shè)置得非常?。送?罰函數(shù)法難以考慮接觸計(jì)算時(shí)的多點(diǎn)耦合效應(yīng),而在實(shí)際的接觸計(jì)算中,接觸點(diǎn)之間是相互影響的．Lagrange乘子法[13]能夠精確地滿足物體間的法向接觸邊界,但是系統(tǒng)中由于引入了Lagrange乘子,使得方程變量增多,從而增加了整個(gè)問題的計(jì)算量．由De Saxcé和Feng[14-15]提出的雙勢(shì)接觸方法,在不增加自由度的前提下,既能夠準(zhǔn)確地滿足法向的Signorini接觸條件,又能滿足切向的Coulomb摩擦定律,在處理接觸問題上具有較高的精度和效率．Chen等[16]結(jié)合譜元法和雙勢(shì)接觸方法,發(fā)展了可以高效計(jì)算接觸聲非線性問題的雙勢(shì)譜方法,證明了雙勢(shì)方法可以準(zhǔn)確處理波動(dòng)接觸問題．

本文在雙勢(shì)譜方法的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步通過mortar方法將譜單元和有限單元進(jìn)行耦合,以此研究了SH0波與裂紋作用的非線性散射規(guī)律．首先,介紹了處理有限單元/譜單元耦合界面的mortar方法的基本理論．其次,介紹了用于刻畫導(dǎo)波與微裂紋作用時(shí),裂紋面的接觸摩擦行為的雙勢(shì)接觸理論．接著,本文介紹了一種預(yù)處理半顯式算法,該算法囊括了包含附加界面力的局部接觸力的隱式求解與全局位移的顯式求解,其可以在保證計(jì)算效率的同時(shí)而不犧牲數(shù)值精度．最后,通過發(fā)展的數(shù)值方法計(jì)算了自由狀態(tài)和單軸受載狀態(tài)下SH0波與微裂紋作用的非線性散射規(guī)律,并分析了應(yīng)力大小對(duì)非線性散射場(chǎng)的影響．

1 數(shù)值方法的理論基礎(chǔ)

1.1 Mortar方法的基本理論

Mortar方法是一種非協(xié)調(diào)區(qū)域分解算法,它允許將求解區(qū)域分解為多個(gè)子區(qū)域,對(duì)各個(gè)子域分別進(jìn)行建模和剖分,然后在各個(gè)區(qū)域以最適合子域特征的方式進(jìn)行離散．在mortar方法中,各個(gè)子域交界面處的邊界節(jié)點(diǎn)不需要嚴(yán)格逐點(diǎn)匹配,而是通過約束方程弱形式建立具有最佳精度的mortar條件來使得界面處的場(chǎng)變量得以傳遞,以此來保證不同子域之間的連續(xù)性．Bernardi等[17]最先于1994年提出了mortar元法的概念．目前mortar方法已被成功應(yīng)用于處理彈性動(dòng)力學(xué)問題[18-19]、流體力學(xué)問題[20]、接觸摩擦問題[21-22]等．

如圖1所示,考慮由兩個(gè)互不重疊的子域ΩFE和ΩSFE構(gòu)成的域Ω,滿足Ω=ΩFE∪ΩSFE和ΩFE∩ΩSFE=?．其中Ω為研究總域;ΩFE采用有限單元離散,稱為有限元區(qū)域;ΩSFE采用譜單元離散,稱為譜單元區(qū)域．兩個(gè)子域之間的交界面用γ表示,即γ=?ΩFE∩?ΩSFE．由于兩個(gè)子域采用不同的單元類型進(jìn)行離散,因此在界面γ處存在不匹配性．這種不匹配性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是幾何上的不匹配．由于有限單元和譜單元在網(wǎng)格劃分以及單元類型上的差異,界面處兩個(gè)區(qū)域的單元節(jié)點(diǎn)往往是不重合的．二是插值函數(shù)上的不匹配．有限元采用的是低階的插值形函數(shù),而譜單元采用高階多項(xiàng)式作為插值形函數(shù),因此兩者在界面兩側(cè)擁有不同的形函數(shù)空間．

圖1 有限元和譜單元耦合示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the coupling of finite elements and spectral elements

考慮界面γ處的位移連續(xù)性條件:

(1)

式中,uFE和uSFE分別為有限元區(qū)域和譜單元區(qū)域的位移場(chǎng);Ni是和界面節(jié)點(diǎn)相關(guān)的有限單元的形函數(shù);i表示界面的第i個(gè)節(jié)點(diǎn);Nf為有限元區(qū)域界面節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)．為了使用顯式時(shí)間積分,位移連續(xù)性條件用等價(jià)的速度連續(xù)性條件替代,即

(2)

上式約束條件一般可稱為mortar條件,關(guān)于mortar條件的數(shù)學(xué)描述可參考文獻(xiàn)[18,23]．

Mortar方法的目標(biāo)是在整個(gè)界面γ上滿足連續(xù)性條件和運(yùn)動(dòng)平衡方程．既要保證兩個(gè)子域在界面上不會(huì)發(fā)生分離和重疊,又要保證整個(gè)界面的動(dòng)力平衡．后者可以通過引入適當(dāng)?shù)慕缑嫦嗷プ饔昧韺?shí)現(xiàn),本文采用Lagrange乘子法求解該界面力．在不考慮接觸力和材料阻尼的條件下,系統(tǒng)的控制方程可以寫為[18]

(3)

(4)

其中,G為界面耦合矩陣,其只和界面上節(jié)點(diǎn)的初始位置相關(guān),在整個(gè)動(dòng)力學(xué)求解過程只需計(jì)算一次[19];Rγ為附加界面力矢量,可通過Lagrange乘子法求解得到

Rγ=GTλ,

(5)

式中,λ為L(zhǎng)agrange乘子,將式(5)代入式(3),并對(duì)等式兩邊同時(shí)乘以GM-1,可以得到

(6)

引入中心差分格式

(7)

(8)

與中間時(shí)刻速度表達(dá)式

(9)

上式兩端同時(shí)乘以G,并做等式變換可得

(10)

將上式代入式(6),并結(jié)合式(4)可得

(11)

至此,Lagrange乘子λ可按照常規(guī)線性方程組Ax=B的格式進(jìn)行求解．一旦求解得到λ,便可通過式(5)求解得到附加界面力矢量Rγ,然后將求解得到的Rγ代入式(3),再通過時(shí)間積分算法便可獲得位移場(chǎng)．

1.2 雙勢(shì)接觸理論

雙勢(shì)理論[14]由De Saxcé和Feng于1991年提出,該理論以Legendre定理為基礎(chǔ),通過Fenchel不等式變換,建立了一組能夠處理對(duì)偶變量的方程．通過對(duì)材料模型能量勢(shì)函數(shù)形式進(jìn)行分析,將材料分為顯式標(biāo)準(zhǔn)材料和隱式標(biāo)準(zhǔn)材料,在此基礎(chǔ)上,提出了雙勢(shì)函數(shù)的概念．

對(duì)于接觸問題,雙勢(shì)函數(shù)Fb可以寫成如下形式:

(12)

(13)

(14)

基于式(12),可以得到接觸問題中雙勢(shì)函數(shù)的次法向準(zhǔn)則,即

(15)

νFb(-xα,rα*)-νFb(-xα,rα)≥[(rα-νxα)-rα]·(rα*-rα),

(16)

式中,ν>0,其值的選擇確保了數(shù)值計(jì)算的收斂性,一般可由減縮的接觸柔度矩陣的最小特征值決定[25]．從上式的右端項(xiàng)可知,rα為增廣Lagrange接觸力rα*的臨近點(diǎn)．因此,可將增廣Lagrange接觸力rα*表示為

(17)

式中,rα*在接觸迭代計(jì)算中又被稱為預(yù)測(cè)接觸力．得到預(yù)測(cè)接觸力后再在Coulomb摩擦錐上進(jìn)行投影,從而得到真實(shí)接觸力,即

rα=PKμ(rα*)．

(18)

圖2 Coulomb摩擦錐示意圖Fig. 2 Schematic diagram of Coulomb’s frictional cone

(19)

該投影方程已被嚴(yán)格證明等效于不等式(16),并且在數(shù)值計(jì)算中,具有出良好的精確性和魯棒性[26]．

1.3 預(yù)處理半顯式算法

在考慮接觸力以及附加界面力的情況下,系統(tǒng)的控制方程可以寫為

(20)

引入有限差分格式:

(21)

將式(21)代入式(20),可以得到

(22)

對(duì)于線彈性材料,一般可取C=αM,其中α為質(zhì)量阻尼系數(shù)．代入式(22),可預(yù)定義以下參數(shù):

(23)

此時(shí)可將式(22)重寫為

ut+Δt=(ψ1+ψ2)-1·[(Fext)t-(Fint)t+(Rγ)t+(Rc)t+Δt+2ψ1ut-(ψ1-ψ2)ut-Δt]．

(24)

上式可進(jìn)一步寫成關(guān)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度i的顯式表達(dá)式:

(25)

從上式可以看出,即便在附加界面力通過Lagrange乘子法求解得到后,全局位移和全局接觸力仍為未知量,不能直接求解．本文采取分開求解的策略,先引入接觸映射關(guān)系,通過隱式迭代算法求解局部接觸力r,然后通過局部接觸力與全局接觸力的關(guān)系將局部接觸力轉(zhuǎn)換為全局接觸力Rc,最后將全局接觸力引入式(24)中,即可顯式地求解剩余的未知量u．

在接觸運(yùn)動(dòng)學(xué)中,局部接觸力r與全局接觸力Rc以及局部接觸位移x與全局接觸位移u之間的關(guān)系可寫為[16]

(26)

式中,g為接觸系統(tǒng)中的接觸點(diǎn)與投影點(diǎn)之間的初始間隙矢量．

結(jié)合式(24)和(26),有

x=T(ψ1+ψ2)-1TTrt+Δt+

T(ψ1+ψ2)-1[(Fext)t-(Fint)t+(Rγ)t+2ψ1ut-(ψ1-ψ2)ut-Δt]+g．

(27)

定義

(28)

式(27)可以進(jìn)一步寫為

(29)

其中,W是接觸系統(tǒng)中基于質(zhì)量矩陣構(gòu)建的Delassus算子．需要注意的是,由于質(zhì)量矩陣的對(duì)角性質(zhì),W的計(jì)算將會(huì)非常迅速．在包含Nc個(gè)接觸點(diǎn)的減縮接觸系統(tǒng)中,對(duì)每一個(gè)接觸點(diǎn)α而言,局部相對(duì)位移xα和局部接觸力rα之間有如下關(guān)系:

(30)

式中,Wαβ=Tα(ψ1+ψ2)-1(Tβ)T為影響矩陣,其描述了接觸點(diǎn)α和β之間的接觸耦合效應(yīng)．換言之,對(duì)于每一個(gè)接觸點(diǎn)α,都考慮了其他接觸點(diǎn)β(β≠α)對(duì)α的接觸力的貢獻(xiàn)．

結(jié)合式(18)和(30),減縮系統(tǒng)下接觸力的求解可以轉(zhuǎn)換為尋找χ以滿足f(χ)=0,即

(31)

其中

(32)

(33)

隱式方程(32)可采用Uzawa算法[27]進(jìn)行局部迭代求解,該算法主要包括“預(yù)測(cè)-修正”步驟,即

(34)

式中,i和i+1為迭代數(shù)．如前所述,通過Uzawa算法求得局部接觸力,然后通過局部接觸力與全局接觸力的關(guān)系式(26)將局部接觸力轉(zhuǎn)換為全局接觸力,最后將全局接觸力代入式(25)中,即可顯式地求解未知量u．

2 SH0波與微裂紋作用的非線性散射場(chǎng)研究

2.1 模型設(shè)置

圖3為SH0波與不同角度微裂紋作用的非線性散射場(chǎng)的計(jì)算模型．板的面內(nèi)尺寸為100 mm×100 mm,采用平面應(yīng)力模型進(jìn)行計(jì)算,所用材料為鋁,其彈性模量為70 GPa,Poisson比為0.3,質(zhì)量密度為2 700 kg/m3．在板的上下邊界施加預(yù)拉/壓應(yīng)力p,同時(shí)在板的四周布置長(zhǎng)度為10 mm的漸增阻尼邊界吸收層[28],最大阻尼系數(shù)αmax=107．坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)置在板中心位置．微裂紋角度θ為裂紋長(zhǎng)度方向與x軸正方向的夾角,微裂紋幾何中心與板中心重合,其長(zhǎng)度設(shè)置為6 mm．采用有限單元/譜單元混合單元對(duì)板進(jìn)行離散,其中含裂紋的圓形區(qū)域(半徑R=20 mm)采用有限單元離散,不含缺陷的外部區(qū)域采用譜單元離散．入射SH0波由板左邊界長(zhǎng)60 mm的對(duì)稱段上施加沿y方向的激勵(lì)力產(chǎn)生,激勵(lì)波形為Hanning窗調(diào)制的五周期正弦波,中心頻率為500 kHz,幅值為100 N．為方便提取散射場(chǎng)信號(hào),取有限元區(qū)域的外邊界節(jié)點(diǎn)作為散射場(chǎng)的響應(yīng)點(diǎn)．

圖3 SH0波與微裂紋作用的非線性散射場(chǎng)計(jì)算模型Fig. 3 The calculation model for the nonlinear scattering characteristics of the SH0 wave encountering cracks in prestressed plates

如圖4所示,得益于本文介紹的處理有限元/譜單元耦合界面的mortar方法,當(dāng)研究裂紋角度對(duì)SH0波散射特性的影響時(shí),可以把外部譜單元區(qū)域固定,然后將內(nèi)部包含微裂紋的有限元區(qū)域進(jìn)行整體旋轉(zhuǎn),即可得到新的裂紋模型,旋轉(zhuǎn)后該區(qū)域的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)可通過初始節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量做簡(jiǎn)單的張量變換求得．該策略只需要建立一次裂紋模型便可實(shí)現(xiàn)任意角度的裂紋建模,因而可以巧妙地避免傳統(tǒng)方法在處理此類問題時(shí)對(duì)裂紋進(jìn)行重復(fù)建模、網(wǎng)格重新劃分的麻煩．

圖4 不同角度裂紋建模原理圖Fig. 4 Schematic diagram of the crack modeling at different angles

2.2 自由板中的非線性散射場(chǎng)

本小節(jié)探究了自由板(p=0)中SH0波與微裂紋作用的非線性散射規(guī)律．取θ=60°,圖5展示了SH0波與微裂紋作用前后的總位移云圖．可以觀察到:① 有限元/譜單元交界面處網(wǎng)格不匹配對(duì)SH0波在結(jié)構(gòu)中的傳播沒有任何影響,驗(yàn)證了不同單元類型區(qū)域之間的連續(xù)性,證明了本文中mortar方法的有效性;② 當(dāng)SH0波傳到邊界時(shí),絕大部分能量被吸收掉,反射信號(hào)基本消失,證明了漸增阻尼邊界吸收層的有效性;③ 當(dāng)SH0波與微裂紋作用后,會(huì)向外輻射一個(gè)新的散射聲場(chǎng),該聲場(chǎng)在不同方向有不同的信號(hào)強(qiáng)度．

圖5 不同時(shí)刻的非線性散射總位移云圖Fig. 5 The nonlinear scattering fields at different moments

圖6為提取含微裂紋結(jié)構(gòu)中M點(diǎn)的時(shí)域信號(hào)以及對(duì)應(yīng)的頻譜圖．作為對(duì)比,圖6中同時(shí)給出了對(duì)應(yīng)的不含裂紋即完整結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果．從圖6(a)可以看出,兩組信號(hào)僅在幅值上有所不同,但波形上的差異并不明顯．為進(jìn)一步區(qū)分這兩種情況,我們將兩組時(shí)域信號(hào)做快速Fourier變換,可以得到對(duì)應(yīng)的頻譜圖,如圖6(b)所示．從頻譜圖可以直觀地分辨出兩種工況存在不同的頻率分量．具體地,對(duì)于無損傷結(jié)構(gòu),頻譜圖中只包含500 kHz激勵(lì)頻率分量;而對(duì)于含微裂紋的結(jié)構(gòu),在頻譜圖中,除激勵(lì)頻率500 kHz之外,還產(chǎn)生了1 000 kHz,1 500 kHz,2 000 kHz等明顯的高次諧波分量．該結(jié)果表明,可以通過SH0波與微裂紋相互作用產(chǎn)生的高次諧波分量來對(duì)微裂紋進(jìn)行有效識(shí)別．

圖6 無損傷和含微裂紋損傷工況下,時(shí)域信號(hào)和對(duì)應(yīng)頻譜圖的比較Fig. 6 Comparison of time domain signals and corresponding frequency spectrums between the pristine case and the microcrack damaged case

實(shí)際情況下的微裂紋的取向往往是未知的,而工程中對(duì)裂紋擴(kuò)展方向的判斷又至關(guān)重要[29]．因此,建立非線性散射規(guī)律與微裂紋取向角之間的關(guān)系,對(duì)于裂紋檢測(cè)傳感器的布置以及傳感信號(hào)識(shí)別具有重要的意義．需要注意的是,由于SH0波僅有一個(gè)垂直于傳播方向的面內(nèi)位移分量,因此極坐標(biāo)系下的切向位移可以用來表示SH0波模態(tài)[4]．

圖7展示了SH0波與不同角度微裂紋作用后的切向位移時(shí)程對(duì)應(yīng)的二次諧波歸一化非線性散射場(chǎng)(SH0-SH0模式)．可以看出,二次諧波散射場(chǎng)隨著微裂紋取向的變化而敏感變化．具體地,對(duì)于0°微裂紋(圖7(a)),二次諧波散射場(chǎng)具有很好的對(duì)稱性,且只存在一個(gè)明顯的指向水平向左的主瓣,而微裂紋的取向角恰好與主瓣的對(duì)稱軸角度一致．對(duì)于20°,30°,40°,60°微裂紋(圖7(b)—7(e)),二次諧波散射場(chǎng)均呈現(xiàn)良好的對(duì)稱性,且微裂紋的取向角與散射場(chǎng)中分布于裂紋兩側(cè)的主瓣中軸線的角度幾乎一致．而對(duì)于80°微裂紋(圖7(f)),雖然二次諧波散射場(chǎng)依然呈現(xiàn)較好的對(duì)稱性,但是指向性相對(duì)于其他角度裂紋的散射場(chǎng)變?nèi)酰@是由于90°微裂紋的裂紋面平行于SH0波的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向,當(dāng)裂紋面處于自由應(yīng)力狀態(tài)時(shí),即不存在法向預(yù)應(yīng)力時(shí),不會(huì)發(fā)生接觸聲非線性效應(yīng)．因此,當(dāng)微裂紋角度接近于90°時(shí),接觸聲非線性效應(yīng)減弱,從而導(dǎo)致非線性散射場(chǎng)的指向性會(huì)在一定程度上被破壞．即便如此,仍然可以通過散射場(chǎng)的對(duì)稱性對(duì)微裂紋的取向進(jìn)行大致的判斷．由此可見,切向位移的二次諧波散射場(chǎng)可對(duì)微裂紋取向進(jìn)行定量表征．本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[30]吻合良好,證明了本文發(fā)展的數(shù)值方法的有效性和正確性．

圖7 不同微裂紋取向?qū)?yīng)的切向位移二次諧波歸一化散射場(chǎng)Fig. 7 Normalized scattering fields of the 2nd harmonics for different microcrack orientations

2.3 預(yù)應(yīng)力板中的非線性散射場(chǎng)

由2.2小節(jié)的結(jié)果可知,在結(jié)構(gòu)處于自由狀態(tài)時(shí),通過SH0波與微裂紋作用的二次諧波散射場(chǎng)的指向性和對(duì)稱性可以很好地對(duì)微裂紋的取向進(jìn)行表征．本小節(jié)繼續(xù)探討受載條件下SH0波的非線性散射場(chǎng)．需要注意的是,當(dāng)考慮受力狀態(tài)下的非線性散射場(chǎng)時(shí),整個(gè)計(jì)算過程可分為兩步進(jìn)行．第一步,計(jì)算外部載荷對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的初始應(yīng)力場(chǎng);第二步,在初始應(yīng)力場(chǎng)的基礎(chǔ)上計(jì)算SH0波與微裂紋的非線性作用．

圖8為單軸拉伸狀態(tài)下的SH0波與不同角度微裂紋作用后的切向位移二次諧波歸一化非線性散射場(chǎng)．從圖中可以看出,預(yù)拉應(yīng)力并不會(huì)破壞散射場(chǎng)的指向性和對(duì)稱性．這說明即使結(jié)構(gòu)處于預(yù)拉應(yīng)力狀態(tài)下,仍然可以通過二次諧波散射場(chǎng)來對(duì)結(jié)構(gòu)中微裂紋的取向進(jìn)行判斷．此外,還可以觀察到,拉應(yīng)力會(huì)對(duì)非線性散射場(chǎng)的幅值產(chǎn)生明顯的影響．具體來說,二次諧波幅值隨著拉應(yīng)力的增加呈下降趨勢(shì),這是因?yàn)槔瓚?yīng)力使微裂紋的兩個(gè)裂紋面產(chǎn)生初始間隙,拉應(yīng)力越大,初始間隙越大,SH0波與微裂紋作用時(shí),裂紋面周期性的接觸非線性效應(yīng)減弱,從而抑制了二次諧波的產(chǎn)生．當(dāng)拉應(yīng)力足夠大時(shí),激勵(lì)波的幅值大小無法克服此時(shí)拉應(yīng)力產(chǎn)生的裂紋面間隙,因此不會(huì)出現(xiàn)接觸聲非線性效應(yīng),即不會(huì)產(chǎn)生二次諧波．

圖8 單軸拉伸狀態(tài)下不同微裂紋取向時(shí)的切向位移二次諧波歸一化散射場(chǎng)Fig. 8 Normalized scattering fields of the 2nd harmonics under uniaxial tension for different microcrack orientations

上述現(xiàn)象可以通過提取非線性散射場(chǎng)中兩個(gè)主瓣方向響應(yīng)點(diǎn)的二次諧波幅值與拉應(yīng)力之間的關(guān)系曲線來進(jìn)一步說明．如圖9所示,以40°和60°微裂紋模型為例,隨著拉應(yīng)力值增加,二次諧波的幅值單調(diào)遞減．隨著拉應(yīng)力進(jìn)一步增大,二次諧波幅值為零,即出現(xiàn)明顯的閾值效應(yīng),原因在于當(dāng)SH0波的最大幅值小于該拉應(yīng)力值產(chǎn)生的最小裂紋面間隙,將不會(huì)產(chǎn)生接觸聲非線性效應(yīng)．

(a) 40°微裂紋 (b) 60°微裂紋(a) For the 40° microcrack (b) For the 60° microcrack圖9 主瓣方向的二次諧波幅值與拉應(yīng)力的關(guān)系曲線Fig. 9 Relationships between the 2nd harmonic amplitude and the tensile stress in the direction of the main lobe

圖10為單軸壓縮狀態(tài)下的SH0波與不同角度微裂紋作用的切向位移二次諧波歸一化非線性散射場(chǎng)．可以觀察到,和單軸拉伸情況一樣,壓應(yīng)力也不會(huì)破壞非線性散射場(chǎng)的指向性和對(duì)稱性,仍然可以通過散射場(chǎng)的對(duì)稱性來對(duì)微裂紋的取向進(jìn)行判斷．此外,壓應(yīng)力會(huì)對(duì)二次諧波的幅值產(chǎn)生顯著的影響,但是影響規(guī)律和拉應(yīng)力有所不同．

圖10 單軸壓縮狀態(tài)下不同微裂紋取向?qū)?yīng)的切向位移二次諧波歸一化散射場(chǎng)Fig. 10 Normalized scattering fields of the 2nd harmonics under uniaxial compression for different microcrack orientations

如圖11所示,仍然以40°和60°微裂紋為例,分別繪制非線性散射場(chǎng)中兩個(gè)主瓣方向響應(yīng)點(diǎn)的二次諧波幅值與預(yù)壓應(yīng)力的關(guān)系曲線．從圖中可以看到,當(dāng)壓應(yīng)力值增長(zhǎng)處于較小范圍內(nèi)時(shí),二次諧波幅值隨壓應(yīng)力增大而增大．隨著壓應(yīng)力繼續(xù)增大,二次諧波幅值開始出現(xiàn)下降的趨勢(shì),這是因?yàn)閴簯?yīng)力增大使得在裂紋面產(chǎn)生的接觸應(yīng)力增大,因而當(dāng)SH0波與微裂紋作用時(shí),接觸聲非線性效應(yīng)逐漸減弱,從而使二次諧波滋生受到抑制．當(dāng)壓應(yīng)力值進(jìn)一步增大,SH0波的應(yīng)力分量無法克服接觸應(yīng)力,此時(shí)不再產(chǎn)生接觸聲非線性效應(yīng),二次諧波幅值變?yōu)榱悖傊?二次諧波幅值隨著壓應(yīng)力的增加呈先增加后減小最后保持為零的變化趨勢(shì),這一現(xiàn)象與二次諧波幅值隨拉應(yīng)力的變化趨勢(shì)明顯不同．

(a) 40°微裂紋 (b) 60°微裂紋(a) For the 40° microcrack (b) For the 60° microcrack圖11 主瓣方向的二次諧波幅值與壓應(yīng)力的關(guān)系曲線Fig. 11 Relationships between the 2nd harmonic amplitude and the compressive stress in the direction of the main lobe

3 結(jié) 論

本文針對(duì)SH0波與微裂紋作用的非線性散射場(chǎng)問題,發(fā)展了一種數(shù)值方法來處理此類問題．該方法結(jié)合了處理有限元/譜單元耦合界面的mortar方法和計(jì)算接觸摩擦問題的雙勢(shì)理論．利用mortar方法在處理非協(xié)調(diào)區(qū)域問題上的優(yōu)勢(shì),分別采用有限單元和譜單元來離散內(nèi)部的裂紋區(qū)域和外部的均勻區(qū)域,從而可以充分利用有限單元離散復(fù)雜結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)和譜單元計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)．在求解不同角度裂紋模型的散射場(chǎng)時(shí),只需要將外部區(qū)域固定,對(duì)裂紋區(qū)域進(jìn)行整體旋轉(zhuǎn),該策略可以極大地簡(jiǎn)化裂紋建模流程,提升建模效率,同時(shí)還保證了計(jì)算不同裂紋模型時(shí)網(wǎng)格的一致性．提出了一種預(yù)處理半顯式算法,該算法囊括了包含附加界面力的局部接觸力的隱式求解和全局位移的顯式求解,其可以在保證計(jì)算效率的同時(shí)不犧牲數(shù)值精度．本文的主要結(jié)論如下:

1) SH0波與微裂紋作用后的二次諧波散射場(chǎng)可以用于反演裂紋的取向．單軸預(yù)應(yīng)力不會(huì)改變二次諧波散射場(chǎng)的指向性．

2) 非線性散射場(chǎng)中二次諧波的幅值會(huì)隨著預(yù)拉應(yīng)力或預(yù)壓應(yīng)力的變化而敏感變化．當(dāng)結(jié)構(gòu)受拉時(shí),二次諧波幅值隨拉應(yīng)力增大而單調(diào)遞減;當(dāng)結(jié)構(gòu)受壓時(shí),二次諧波幅值隨壓應(yīng)力增大而先增加后減小．無論何種應(yīng)力狀態(tài),當(dāng)應(yīng)力過大時(shí),均會(huì)出現(xiàn)閾值現(xiàn)象,超過該閾值后將不再產(chǎn)生非線性效應(yīng)．