李欣悅, 歐孝飛, 董婷婷, 佟雨潞, 朱愛東

( 延邊大學 理學院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

由于釔鐵石榴石(yttrium iron garnet,YIG)具有較高的自旋密度和較低的阻尼率,易于實現(xiàn)不同模式之間的強耦合(甚至超強耦合),因此其適合作為量子信息的載體,同時其也為研究量子的糾纏[1]、壓縮[2]、雙穩(wěn)[3]和阻塞[4]等非經(jīng)典效應(yīng)提供了一個新的平臺.2018年,Harder等[5]發(fā)現(xiàn)了一種由腔楞次效應(yīng)引起的耗散磁振子-光子耦合現(xiàn)象,并提出了一種控制相干和耗散磁振子-光子耦合的方法;Xu等[6]從控制耦合機制的角度研究了由腔介導(dǎo)的2個磁子之間的遠距離相互作用,并研究了2個釔鐵石榴石球在腔中不同位置(分別對應(yīng)于相干耦合或耗散耦合)時磁振子和腔模之間的間接耦合強度與頻率失諧的關(guān)系.Wang等[7]和Guan等[8]分別提出了一種磁振子與光子之間通過熱庫發(fā)生間接耦合的方案.受以上研究的啟發(fā),本文構(gòu)建了一個包含光子和磁振子模的非厄米腔磁系統(tǒng),并研究了相干耦合、耗散耦合以及不同相位對哈密頓本征能譜的影響.

1 系統(tǒng)模型與哈密頓量

圖1為系統(tǒng)模型的示意圖.其中:左圖為磁振子與微波腔組成的腔磁學系統(tǒng)的物理模型,該系統(tǒng)的微波電路可以同時支持駐波(相干耦合)和行波(耗散耦合),且通過改變YIG球的位置可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的耗散耦合和相干耦合強度.右圖是系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的示意圖,它表示微波腔模與磁振子模通過一個共同熱庫發(fā)生間接耗散耦合.本文將系統(tǒng)置于溫度為20 mK的均勻磁場中,并將微波腔的外部耗散率設(shè)置為遠大于其固有阻尼率.

圖1 系統(tǒng)模型示意圖

當腔模和磁振子模之間只存在相干耦合時,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為:

H/?=ωca?a+ωmb?b+J(a+a?)(b+b?).

(1)

其中:a?和b?(a和b)分別是頻率ωc的腔模和頻率ωm的磁振子模的產(chǎn)生(湮滅)算符;J為腔模和磁振子模之間的相干耦合強度;磁振子頻率ωm由外部偏置磁場B和旋磁比γ0調(diào)控,即ωm=γ0B.在旋波近似下,即當ωc,ωm?J,κ,γ時,式(1)可以寫為:

HRWA/?=ωca?a+ωmb?b+J(a?b+ab?).

(2)

當考慮腔模和磁振子模的集體耗散時,系統(tǒng)的演化可用如下的Lindblad主方程來描述:

(3)

其中:L[s]為標準耗散超算子,L[s]ρ=2sρs?-s?sρ-ρs?s,s={a,b,c};第2項描述的是腔模和磁振子模以η的速率集體耗散到行波中;第3項和第4項分別表示腔模和磁振子模的固有阻尼(阻尼率分別為α和β);c為腔算符和磁子算符的疊加算符(跳躍算符).為了描述不同方向微波場的驅(qū)動作用,本文引入相位θ表示不同端口的輸入.不失一般性,當微波分別從端口1和端口2加載時,相干耦合和耗散耦合之間的相對相位θ分別為0和π.當微波驅(qū)動場分別從端口1和端口2加載時,跳躍算符c可表示為:

c≡λa±ξb,

(4)

系統(tǒng)的動力學行為可以用如下量子朗之萬方程描述:

(5)

(6)

(7)

H=-iαa?a-Δmb?b+(J-iΓeiθ)(a?b+b?a),

(8)

式中Δm是磁振子頻率與腔模之間的頻率失諧,即Δm=ωm-ωc.式(8)中的哈密頓可表示為如下矩陣形式:

(9)

由式(9)可知,在系統(tǒng)中引入耗散耦合后可使原來的厄米系統(tǒng)變?yōu)镻T對稱的非厄米體系.于是由薛定諤方程可以得式(9)中哈密頓量的本征值為:

(10)

式(10)中,實部和虛部分別表示腔磁極化子的本征頻率和耗散頻率.

2 討論與分析

2.1 相干耦合和耗散耦合對腔磁極化子的影響

在不同耗散耦合強度Γ和相干耦合強度J的條件下,哈密頓本征值的實部和虛部與磁振子頻率失諧Δm的關(guān)系見圖2—圖7.圖中的參數(shù)值分別取α/(2π)=1 MHz,β/(2π)=1 MHz,θ=0.

圖2和圖3為純相干耦合機制下本征值的實部和虛部與頻率失諧之間的關(guān)系,圖中取J/(2π)=6 MHz,Γ/(2π)=0 MHz,其他參數(shù)的取值與上文所述的參數(shù)取值相同.由圖2和圖3可以看出,在只有相干耦合的情況下,系統(tǒng)本征值的實部發(fā)生了能級排斥現(xiàn)象,而虛部不發(fā)生劈裂.

圖2 相干耦合機制下本征值實部與頻率失諧的關(guān)系 圖3 相干耦合機制下本征值虛部與頻率失諧的關(guān)系

圖4和圖5為在只存在耗散耦合情況下本征值的實部和虛部與頻率失諧Δm之間的關(guān)系,圖中取Γ/(2π)= 6 MHz.當J= 0和θ= π時,由式(10)可得系統(tǒng)的本征值為:

(11)

圖4 耗散耦合機制下本征值實部隨失諧量的變化 圖5 耗散耦合機制下本征值虛部隨失諧量的變化

圖6和圖7為在相干耦合和耗散耦合的協(xié)同作用機制下本征值的實部和虛部與頻率失諧之間的關(guān)系.由圖6和圖7可以看出,在耗散耦合和相干耦合的協(xié)同作用機制下,系統(tǒng)本征值的實部再次發(fā)生能級排斥的現(xiàn)象(與只有相干耦合時的能級狀態(tài)相同).這說明,相干耦合在極化子的能譜分布中起主導(dǎo)作用.由圖6還可以看出,在耗散耦合和相干耦合的協(xié)同作用下,虛部的能級排斥超出了圖5中的異常點之間的范圍,這說明當極化子處于2個不同本征態(tài)時其具有不同的耗散率.

圖6 在相干耦合和耗散耦合的協(xié)同作用機制下本征值實部與頻率失諧的關(guān)系 圖7 在相干耦合和耗散耦合的協(xié)同作用機制下本征值虛部與頻率失諧的關(guān)系

2.2 相位對腔磁極化子的影響

圖8為耗散機制下本征值的實部隨相位的變化,其中左圖中的磁振子失諧量取Δm/(2π)=10 MHz,右圖中的磁振子失諧量取Δm/(2π)=30 MHz.由圖8可以看出:本征值的實部隨不同相位呈周期性變化;當調(diào)節(jié)磁振子失諧量時,本征值表現(xiàn)出周期性的能級吸引和排斥現(xiàn)象.

3 結(jié)論

本文在含有光子和磁振子的非厄米腔磁系統(tǒng)中研究了相干耦合和耗散耦合以及不同相位對腔磁極化子的影響.研究表明,相干耦合在此系統(tǒng)中起主導(dǎo)作用,且本征能譜隨相位的變化呈周期性變化,即可以通過調(diào)節(jié)相干耦合和耗散耦合系數(shù)以及相位實現(xiàn)對腔磁極化子狀態(tài)的操控.此外,在本征能譜的異常點兩側(cè),能級呈不同分布,這表明在異常點附近出現(xiàn)了不同的量子行為.本文的研究結(jié)果可為研究腔磁糾纏、量子單向?qū)б确墙?jīng)典效應(yīng)提供良好的理論參考.

圖8 耗散機制下本征值實部與相位的關(guān)系