王明靖

（貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 貴州貴陽 550025）

脈沖微分方程不僅可以刻畫生物種群中許多的自然現(xiàn)象，如漁業(yè)養(yǎng)殖中的脈沖投放食餌和脈沖收獲等，還被廣泛應(yīng)用于種群動力學(xué)中的資源管理研究，已經(jīng)形成了較完整的理論[1-3]。1798年Malthus提出人口模型之后，荷蘭生物學(xué)家Verhulst引入環(huán)境最大容納量，人口增長方程就被改進(jìn)為Logistic模型[4-7]。

近十年來，有學(xué)者將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于漁業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐，在漁業(yè)資源開發(fā)過程中，脈沖微分方程能夠更準(zhǔn)確地描述和刻畫魚種群的動力學(xué)行為，根據(jù)水中魚的密度大小（魚數(shù)量）實(shí)施控制，稱之為“脈沖狀態(tài)反饋控制”[8]。但很少有學(xué)者考慮利用脈沖微分方程系統(tǒng)切換的方法研究漁業(yè)資源管理。

本文以Logistic模型為基礎(chǔ)，其中的環(huán)境容納量是一個變量，它是關(guān)于時間t的函數(shù)，通過建立脈沖收獲和擴(kuò)大環(huán)境容納量的系統(tǒng)切換來研究單種群漁業(yè)管理問題，從而為魚種群的可持續(xù)生存提供有利條件，也為漁業(yè)資源管理提供有效的理論參考。

1 模型

考慮到魚種群成體帶來的經(jīng)濟(jì)價值，本文構(gòu)建模型如下式（1）。文中內(nèi)稟增長率是指在最佳的生存環(huán)境條件下，維持最適生活水平的魚種群所具有的最大增長能力。此外，環(huán)境容納量是指魚種群在最佳的生存環(huán)境下所能維持的最大數(shù)量。環(huán)境容納量的衰減系數(shù)是指水質(zhì)惡化或魚類小面積死亡對生存環(huán)境的影響。同時引入脈沖，對魚種群進(jìn)行脈沖投放食餌μ（并不是一直連續(xù)對魚投放食餌），以此擴(kuò)大魚種群的環(huán)境容納量，使得魚種群數(shù)量在最佳生存環(huán)境中盡可能增長。經(jīng)過一段時間的飼養(yǎng)后，小魚會快速成長為成魚，然后適時進(jìn)行脈沖收獲（類似捕大留小，而非竭澤而漁），這樣就既創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)價值，也不會破壞生態(tài)環(huán)境，從而促進(jìn)漁業(yè)高質(zhì)量發(fā)展。

其中，為魚種群的密度；為魚種群的環(huán)境容納量；分別表示魚種群在的內(nèi)稟增長率；為種群在和的環(huán)境容納量的衰減系數(shù)；表示在時投放食餌以擴(kuò)大環(huán)境容納量的量；h表示魚種群在時的收獲系數(shù)n表示正整數(shù)，表示種群的脈沖收獲周期，也就是脈沖投放食餌以擴(kuò)大環(huán)境容納量的周期。

2 動力學(xué)分析

由陳蘭蓀的研究[3]，容易得到以下引理：

引理1假設(shè)是式（1）的解，即如果，那么當(dāng)時，有

引理2式（1）的解為當(dāng)t充分大時，存在一個常數(shù)使得

首先，研究式（1）的子系統(tǒng)：

引理3式（2）有全局漸近穩(wěn)定的周期解。

證明：由式（2）的第1個方程和第3個方程，容易得到在脈沖點(diǎn)之間的解析解，即

頻閃映射為

因此計(jì)算得到式（4）的唯一不動點(diǎn)

定理1如果滿足那么式（1）的周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：定義變換則式（1）對應(yīng)的線性系統(tǒng)為

得到基解矩陣為

式（1）的第3個和第4個方程對應(yīng)的線性化矩陣為

同理可得

基解矩陣為

式（1）的第7個和第8個方程對應(yīng)的線性化矩陣為

由此可知矩陣M的特征值為

通過式（1）可得

另外，考慮比較方程

易求其線性系統(tǒng)的唯一全局漸近穩(wěn)定的周期解為

定理2如果成立，那么式（1）是持久的。

證明：設(shè)是式（1）的解，由引理2可知，當(dāng)時，有由式（1）有因此

由此可得

由式（1）可得

考慮脈沖微分方程

3 結(jié)論

本文通過種群動力學(xué)分析，驗(yàn)證了脈沖投放食餌擴(kuò)大環(huán)境容納量的切換單種群漁業(yè)管理模型，利用脈沖微分方程以及離散動力系統(tǒng)頻閃映射理論，得出了漁業(yè)資源管理控制閾值的充分條件：

結(jié)論表明：適當(dāng)?shù)拿}沖投放食餌擴(kuò)大環(huán)境容納量和脈沖收獲對魚種群的持續(xù)生存具有重要的促進(jìn)作用，從而能夠保護(hù)漁業(yè)資源。顯而易見，脈沖投放食餌和脈沖收獲的確比連續(xù)投食和連續(xù)捕撈效果好，其不僅能夠降低成本，而且促進(jìn)了漁業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。