耿利寅，孟恒輝，張傳強，彭方漢，童葉龍，韓東陽

（北京空間飛行器總體設(shè)計部 空間熱控技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100094）

0 引言

隨著航天技術(shù)發(fā)展，高分辨率光學(xué)和微波探測器、高精度原子鐘、高精度重力測量裝置等星載設(shè)備對溫度均勻性和穩(wěn)定性的要求越來越嚴(yán)苛[1]。因此，高精度、高穩(wěn)定度的主動控溫技術(shù)不可或缺[2]。航天器熱控系統(tǒng)的高精度控溫效果取決于有效的系統(tǒng)熱設(shè)計、高精度的測溫系統(tǒng)以及合理的控制算法與參數(shù)設(shè)定[3]。在測溫精度和分辨率滿足要求的前提下，控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即將被控對象的溫度穩(wěn)定地控制在預(yù)設(shè)目標(biāo)溫度上的能力，決定了系統(tǒng)的控溫效果[4]，同時也是衡量主動控溫系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)。

目前的航天器高精度、高穩(wěn)定度控溫系統(tǒng)設(shè)計，除了必要的提高測溫精度以外，主要側(cè)重于系統(tǒng)熱設(shè)計，其內(nèi)容主要包括通過對被控對象所處空間熱環(huán)境的分析，設(shè)計合理的散熱通道、設(shè)置有效的被動熱控措施和確定主動控溫加熱功率等；而對于控制部分，如控溫算法的選擇、相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化等，一般僅根據(jù)經(jīng)驗選取或直接繼承，再在熱試驗中視實際效果適當(dāng)調(diào)整，有一定的隨意性，缺乏系統(tǒng)、規(guī)范的理論指導(dǎo)[5]。從控制理論角度看，系統(tǒng)熱設(shè)計和控溫算法是緊密結(jié)合的，二者相互耦合成為控制模型的一部分，共同作用產(chǎn)生相應(yīng)的輸出結(jié)果。因此，面對高精度、高穩(wěn)定度的控溫需求，建立融合熱物理模型和控制算法的統(tǒng)一的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型[6]，開展系統(tǒng)層級的設(shè)計和分析，才能有效指導(dǎo)熱控方案設(shè)計和控溫參數(shù)的選定、優(yōu)化，獲得理想的控溫效果[7]。

然而，航天器熱控制系統(tǒng)是典型的非線性、大時滯、多隨機干擾的復(fù)雜系統(tǒng)，意味著幾乎不可能直接對其進行動態(tài)特性的理論分析[8]。同時，由于溫度采集和控制周期的存在，工程上實際采用的是時間上離散的控溫系統(tǒng)?？刂评碚揫9]和控溫設(shè)計的實踐[10]都已指出，離散控溫系統(tǒng)存在穩(wěn)定性問題。本文根據(jù)航天器主動控溫系統(tǒng)的典型應(yīng)用場景，建立融合其熱物理模型和控制算法的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型；再基于簡化的線性化模型，分別應(yīng)用數(shù)學(xué)分析和控制理論方法，對型號設(shè)計中實際采用的基于比例和PI 算法的離散控溫系統(tǒng)進行理論分析，獲得保持系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件；最后采用數(shù)值分析方法驗證穩(wěn)定性約束條件。

1 航天器主動控溫系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.1 模型建立

考慮航天器主動控溫系統(tǒng)應(yīng)用場景，為敘述方便，此處稱采取了主動控溫設(shè)計的設(shè)備或結(jié)構(gòu)為被控對象。考察被控對象所處的熱環(huán)境，首先在被控對象上施加控溫加熱功率，此為控制量；其次被控對象與散熱面（或其周圍的其他結(jié)構(gòu)、設(shè)備）之間有傳導(dǎo)和輻射換熱關(guān)系；同時被控對象內(nèi)部可能有隨時間變化的熱源，且散熱面的溫度會隨時間波動。

本文研究的是控溫系統(tǒng)內(nèi)部的穩(wěn)定性，而從控制理論角度分析，被控對象的熱源、散熱面或周圍邊界節(jié)點的溫度波動均為外部擾動，對系統(tǒng)自身的穩(wěn)定性沒有影響[8]。因此，本文將航天器典型主動控溫系統(tǒng)抽象為如圖1 所示的模型。

圖1 航天器典型主動控溫系統(tǒng)模型Fig.1 Model of typical active thermal control system for spacecraft

圖1 中：被控對象的輻射面積為A，質(zhì)量為m，比熱容為c，表面紅外發(fā)射率為εh，溫度為T（初始溫度為T0）；主動控溫加熱的功率為P，在不同的控溫算法下，P都是T的函數(shù)。目前航天領(lǐng)域常用的控溫算法有通斷、比例、PI 及PID 控制等。Tb是與被控對象有換熱關(guān)系的邊界節(jié)點的溫度，當(dāng)Tb恒定時，邊界溫度對被控對象沒有擾動。系統(tǒng)的初始溫度及外界的擾動與控溫系統(tǒng)自身的穩(wěn)定性無關(guān)[8]，故僅需考慮Tb恒溫的情況。B1為被控對象與邊界節(jié)點之間的輻射換熱系數(shù)，K1為被控對象與邊界節(jié)點之間的傳導(dǎo)換熱系數(shù)。以上及本文后續(xù)使用的所有參數(shù)均采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位。

圖1 所示的航天器典型主動控溫系統(tǒng)的控制方程為

式中：σ0為Stefan-Boltzman 常量；t為系統(tǒng)時間。

若采用比例控溫，則式(1)成為

式中：Ph為控溫加熱回路的設(shè)計最大功率；Tu和Td為比例控溫閾值的上限和下限。當(dāng)T＜Td時，控溫加熱功率為Ph；當(dāng)T≥Tu時，控溫加熱功率為0；當(dāng)Td≤T＜Tu時，控溫加熱功率按比例輸出。

若采用PI 控溫算法，則式(1)成為

式中：i為PI 控溫算法的積分系數(shù)，s-1；Ts為設(shè)定的控溫目標(biāo)溫度。

顯然，當(dāng)i=0 時，式(3)退化為式(2)，說明比例控溫是PI 控溫算法的一種特殊情況。

1.2 模型的線性化

將式(3)中的微分項系數(shù)歸一化，并定義新系數(shù)替代復(fù)雜的常系數(shù)，可簡化為

式中：

式(4)實際是一個二階微分方程，由于輻射項中T4 的存在，方程非線性，無法求得解析解，也無法通過該方程對系統(tǒng)的動態(tài)特性進行分析。但考慮到問題的實際，可將式中的輻射項近似為傳導(dǎo)項，以實現(xiàn)模型的線性化，即令

式中b可視為將輻射項簡化為傳導(dǎo)項后的等效熱導(dǎo)，為常數(shù)?？紤]到所研究的溫度范圍和過程，尤其當(dāng)系統(tǒng)輸出逐漸接近目標(biāo)溫度時，主動控溫系統(tǒng)中被控對象的溫度T變化范圍不大，邊界溫度Tb保持恒定，則式(5)的簡化所帶來的誤差可以忽略[11]。

將式(5)代入式(4)，因b和k1均為傳導(dǎo)項，可將它們合并為k=b+k1，則式(4)可進一步簡化、整理為

式中：p代表控溫加熱比例系數(shù)，s-1，以降溫時加熱功率增加為正，反之為負；k可視作被控對象與邊界節(jié)點之間綜合了傳導(dǎo)項和輻射項的等效復(fù)合熱導(dǎo)系數(shù)，s-1。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理[12]，實際設(shè)計中，k可推廣為所有與被控對象有換熱關(guān)系的其他節(jié)點與被控對象之間的等效熱導(dǎo)系數(shù)之和。通常的設(shè)計場景下參數(shù)p、k均為正。

式(6)即為圖1 所示典型主動控溫系統(tǒng)在PI 控溫算法下的控制方程。當(dāng)i=0 時，PI 控溫退化為比例控溫，其控制方程為

式(6)和式(7)將航天器主動控溫系統(tǒng)復(fù)雜的非線性模型線性化，使基于數(shù)學(xué)模型的理論求解和分析成為可能。

2 離散控溫系統(tǒng)穩(wěn)定條件分析

式(6)的解析解可以證明，一個基于PI 算法的控溫系統(tǒng)自身總是穩(wěn)定的。這一結(jié)論的前提是系統(tǒng)在時間上連續(xù)，即控溫算法的作用總是實時施加在被控對象上的。這與經(jīng)典控制理論中二階連續(xù)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的結(jié)論一致。但航天器熱控工程中，由于測溫、計算及輸出等處理周期的存在，實際使用的是時間上離散的控溫系統(tǒng)。從這個角度理解，解析解可認為是一種控制周期無限小的離散控溫系統(tǒng)。理論研究和工程實踐均已表明，引入控制周期的離散控溫系統(tǒng)有可能變得不穩(wěn)定。

以下基于前文獲得的航天器主動控溫系統(tǒng)的線性化模型進行理論分析，研究離散控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。

2.1 離散比例控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定條件

先從相對簡單的比例控溫算法開始分析?？紤]式(7)描述的比例控溫系統(tǒng)，設(shè)被控對象最終的溫度可以穩(wěn)定在T∞，求解式(7)，有

設(shè)第n個控制周期被控對象的溫度為T(n)，下一周期其溫度為T(n+1)。將溫度T改寫成一個穩(wěn)定后的恒溫加一個偏差量Te的形式，即

將式(7)離散化，并設(shè)控制周期為Δt，則有

將式(8)、式(9)以及按式(9)改寫的T(n+1)代入式(10)，并整理可得

顯然，要使溫度結(jié)果最終趨于穩(wěn)定，必須使偏差量趨于0，則應(yīng)滿足

即

式(13)即為航天器熱控設(shè)計中應(yīng)用的離散比例控溫系統(tǒng)溫度能達到穩(wěn)定的條件。注意，此處p、k為式(7)中的參數(shù)，其物理意義已在前文說明。

2.2 離散PI 控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定條件

按2.1 節(jié)相同方法，將PI 控溫系統(tǒng)的控制方程（式(6)）離散化，改寫為差分方程形式，

整理，并將式(14)中各常數(shù)系數(shù)簡記，令：

則式(14)可改寫為

式(18)為一個二階常系數(shù)線性差分方程，可采用Z 變換方法求解。因系統(tǒng)穩(wěn)定性與初值無關(guān)，為方便演算，設(shè)T(0)=0，T(1)=0，即第0 和第1 周期的溫度均為0，則式(18)經(jīng)Z 變換轉(zhuǎn)化為

即

可通過求式(20)的反Z 變換獲得式(18)的解。按照分母多項式根的情況，有如下2 種情況：

1）當(dāng)a2?4b＞0 時

特征方程z2+az+b=0 有2 個不相等的實數(shù)根，設(shè)其分別為z1和z2，通過反Z 變換求得式(18)的解為

顯然，要使T(n)收斂于一個穩(wěn)定值，必須滿足

對式(22)進行不等式分析，并結(jié)合式(15)和式(16)，可得此時系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

2）當(dāng)a2?4b＜0 時

特征方程z2+az+b=0 有1 對共軛復(fù)根，令其分別為z1和z2，設(shè)兩根的模為r，輻角分別為±θ，則有

通過反Z 變換求得式(18)的解為

式中，r′、φ均為由r、θ決定的中間參數(shù)，為常數(shù)，對系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響，此處不再列出。

顯然，要使T(n)最后收斂于一個穩(wěn)定值，必須滿足|r|＜1。根據(jù)特征方程參數(shù)，解此不等式，并結(jié)合式(16)，可得此時系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

前文已述，航天器熱控領(lǐng)域通常的設(shè)計場景下p、k均＞0；Δt為控制周期，也＞0，故式(26)必然成立。也就是說，只要滿足條件a2?4b＜0，則控溫系統(tǒng)必然穩(wěn)定。

3）小結(jié)

繼續(xù)對上述2 種情況進行綜合，通過不等式分析，可知條件a2?4b＜0 等價于

由于p、k、i均＞0，即式(27)第1 項必＞0，故此時式(23)也成立，即a2-4b＜0 時式(23)必然成立。

繼續(xù)對式(23)成立與系統(tǒng)穩(wěn)定的邏輯關(guān)系進行分析：

①設(shè)式(23)成立：若式(27)成立，即a2?4b＜0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若式(27)不成立，即a2?4b＞0 時，符合本節(jié)情況1 下的穩(wěn)定條件，系統(tǒng)也穩(wěn)定。因此，式(23)成立可推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。

②設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定：若式(27)成立，即a2?4b＜0，則式(23)必然成立；若式(27)不成立，即a2?4b＞0時，根據(jù)本節(jié)情況1 下的穩(wěn)定條件，則可推導(dǎo)出式(23)，即式(23)成立。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定可推導(dǎo)出式(23)成立。

綜上，式(23)是離散PI 控溫系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。

3 離散控溫系統(tǒng)穩(wěn)定條件的驗證

3.1 離散比例與PI 控溫系統(tǒng)穩(wěn)定條件的比較說明

1.2 節(jié)已說明，當(dāng)積分系數(shù)i=0 時，PI 控溫退化為比例控溫。分析2.2 節(jié)有關(guān)PI 控溫系統(tǒng)穩(wěn)定條件的結(jié)論（式(23)），當(dāng)i=0 時，式(23)簡化為

式(28)與2.1 節(jié)推導(dǎo)出的離散比例控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定條件（式(13)）完全一致，這進一步說明比例控溫只是PI 控溫的一種特殊情況。故以下仿真驗證僅針對PI 控溫系統(tǒng)進行。

3.2 仿真驗證模型的說明

為驗證2.2 節(jié)通過理論分析獲得的離散控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，建立一個與圖1 所示熱物理模型完全一致的主動控溫系統(tǒng)數(shù)值仿真模型，設(shè)被控對象熱容mc=100 J/K，初始溫度T0=5 ℃，最大加熱功率Ph=10 W，比例控溫閾值上限Tu=20.5 ℃、下限Td=19.5 ℃，采取PI 算法的目標(biāo)溫度Ts=20.0 ℃，定溫邊界Tb=10.0 ℃，被控對象與邊界節(jié)點之間的等效復(fù)合熱導(dǎo)K=1.0 W/K；計算描述該系統(tǒng)的式(6)中的參數(shù)分別為p=0.1 s-1、k=0.01 s-1。如此，通過數(shù)值仿真計算即可模擬工程實際中采用的離散控溫系統(tǒng)的運行效果。

本文采用分別調(diào)整控制周期Δt和積分系數(shù)i的方式來改變系統(tǒng)條件參數(shù)，從而驗證系統(tǒng)穩(wěn)定性的效果。另外，由式(23)可知，控溫比例系數(shù)p和等效復(fù)合熱導(dǎo)系數(shù)k也將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但考慮到這2 個參數(shù)通常受熱設(shè)計的約束較大，可調(diào)范圍小，同時受文章篇幅所限，此處不選擇p、k作為調(diào)整驗證的參數(shù)。由式(4)可知，p由控溫閾值上下限范圍決定；為計算方便，仿真驗證模型中將閾值上下限取為±0.5 ℃，直接確定p=0.1 s-1。閾值上下限除通過比例系數(shù)p影響系統(tǒng)的自身穩(wěn)定性外，對系統(tǒng)的控溫精度沒有影響，對本文的結(jié)論也沒有影響。控溫系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，其實際溫度波動遠遠小于±0.5 ℃。

3.3 控制周期的影響

保持積分系數(shù)i=0.1 s-1不變，逐漸增長控制周期Δt，系統(tǒng)輸出的溫度結(jié)果和穩(wěn)定性情況見表1，對應(yīng)的溫度曲線見圖2。

圖2 控制周期對控溫系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.2 Influence of control period on stability of the temperature control system

從表1 和圖2 可以看出：當(dāng)控制周期較短（Δt≤11.5 s）時，驗證的模型滿足式(23)，被控對象的溫度可以穩(wěn)定并最終收斂于控溫目標(biāo)溫度Ts；隨著控制周期逐漸增長，2(p+k)Δt+piΔt2的值越來越大，逐漸接近4，系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需的控制周期數(shù)越來越多，時間越來越長，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差，控制效果不佳；當(dāng)Δt=11.8 s 時，2(p+k)Δt+piΔt2=3.99，系統(tǒng)接近臨界狀態(tài)，輸出溫度需經(jīng)過長時間振蕩才能收斂；當(dāng)Δt=11.9 s 時，已不能滿足式(23)要求的條件，系統(tǒng)發(fā)散，不能將被控對象的溫度控制在目標(biāo)溫度，而且隨著Δt的增長，溫度發(fā)散的速度變快。

以上結(jié)果及分析驗證了當(dāng)系統(tǒng)控制周期變化時，式(23)作為離散PI 控溫系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的正確性。

3.4 積分系數(shù)的影響

仍采用3.2 節(jié)所定義模型進行數(shù)值仿真驗證，在保持控溫周期Δt=8.0 s 不變的前提下，調(diào)整積分系數(shù)i，驗證其對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。系統(tǒng)輸出的溫度結(jié)果和穩(wěn)定性情況見表2，對應(yīng)的溫度曲線見圖3。

從表2 和圖3 可以看出：隨著積分系數(shù)i的增大，2(p+k)Δt+piΔt2的值單調(diào)增大，當(dāng)i較小（i＜0.35）時，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定條件（式(23)），被控對象溫度迅速收斂，并最終穩(wěn)定在目標(biāo)溫度；積分系數(shù)i持續(xù)增大，2(p+k)Δt+piΔt2的值隨之逐漸增大，當(dāng)接近4時，系統(tǒng)收斂所需的時間變長、控制周期數(shù)變多，穩(wěn)定性變差；當(dāng)i=0.35 s-1時，2(p+k)Δt+piΔt2的值已超出穩(wěn)定條件的上限，系統(tǒng)輸出處于長期振蕩狀態(tài)，系統(tǒng)失穩(wěn)，且隨著i的繼續(xù)增大，系統(tǒng)迅速發(fā)散。

圖3 積分系數(shù)對控溫系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.3 Influence of integral coefficient on stability of the temperature control system

表2 積分系數(shù)對控溫系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Table 2 Influence of integral coefficient on stability of the temperature control system

以上結(jié)果及分析驗證了當(dāng)系統(tǒng)積分系數(shù)變化時，式(23)作為離散PI 控溫系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的正確性。

4 結(jié)束語

本文通過理論分析和仿真計算，對航天器高精度控溫系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行研究，根據(jù)航天器主動控溫系統(tǒng)設(shè)計的典型場景，建立了融合熱物理模型和控制算法的統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合航天器熱控的工程實際，對包含輻射項的復(fù)雜非線性方程進行合理簡化，實現(xiàn)了模型的線性化，使進一步理論分析成為可能?；谠摼€性化模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)分析及控制理論方法，對航天器熱控設(shè)計中實際采用的基于比例和PI 算法的離散控溫系統(tǒng)進行分析，獲得了保持系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，并通過分別調(diào)整控制周期Δt和積分系數(shù)i，改變穩(wěn)定性約束條件相關(guān)計算式的取值，同時考察系統(tǒng)輸出溫度的穩(wěn)定性情況，驗證了上述穩(wěn)定性約束條件的正確性。

本研究所得保持控溫系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件融合了熱物理模型參數(shù)與控溫算法中的控制參數(shù)，建立了這些參數(shù)之間規(guī)范的相互制約關(guān)系，可用于指導(dǎo)熱控方案以及系統(tǒng)控溫參數(shù)和控制周期的設(shè)計、選定和優(yōu)化。