趙明翰，張艷，趙桂軍，周魯，包旭馨

（1.上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 201109；2.海軍裝備部駐上海地區(qū)第六軍事代表室，上海 201109）

0 引言

隨著信息化與控制技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)代化武器對(duì)于導(dǎo)引頭精度提出了更高的要求［1-2］。對(duì)于現(xiàn)代化導(dǎo)彈而言，其精度除了受到制導(dǎo)律及其固有結(jié)構(gòu)特性的影響外，很大程度上受到導(dǎo)引頭視線角指向精度的影響。傳統(tǒng)的導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)大多采用線性方法，其優(yōu)點(diǎn)在于設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，調(diào)試方便，但由于在設(shè)計(jì)線性控制器的過(guò)程中對(duì)于模型進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，所以在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中按照傳統(tǒng)線性方法設(shè)計(jì)的控制律并不能獲得理想的控制效果。因此，需要考慮使用其他方法設(shè)計(jì)控制律來(lái)滿足導(dǎo)引頭系統(tǒng)的高精度控制需求。

在導(dǎo)引頭工作的過(guò)程中，主要存在3 個(gè)工作狀態(tài)：預(yù)定回路、穩(wěn)定回路和跟蹤回路［3-4］。對(duì)于預(yù)定回路而言，其主要任務(wù)是完成導(dǎo)引頭天線的一個(gè)固定指向，使導(dǎo)彈在發(fā)射后能夠快速捕獲目標(biāo)回波信號(hào)，減小搜索目標(biāo)時(shí)間?；诖?，在設(shè)計(jì)控制律的過(guò)程中需要滿足快速性以及穩(wěn)態(tài)誤差的要求，盡可能保證系統(tǒng)快速到達(dá)且穩(wěn)態(tài)誤差越小越好。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法大多采用線性超前滯后的方法或者是PID 方法進(jìn)行設(shè)計(jì)，這種方法設(shè)計(jì)的控制律在實(shí)際系統(tǒng)中由于各種非線性環(huán)節(jié)的存在導(dǎo)致效果并不理想。針對(duì)這些問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］使用自抗擾算法抑制非線性環(huán)節(jié)對(duì)于系統(tǒng)的影響，文獻(xiàn)［6-7］使用單神經(jīng)元對(duì)相關(guān)控制算法優(yōu)化了預(yù)定回路的過(guò)渡過(guò)程，文獻(xiàn)［8-10］使用自適應(yīng)模糊PID算法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，均取得了一定的效果。除了優(yōu)化控制算法外，針對(duì)永磁電機(jī)的控制，文獻(xiàn)［11-13］進(jìn)行了相關(guān)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，也從一定程度上優(yōu)化了整體系統(tǒng)的性能。

滑?？刂评碚撌怯商K聯(lián)學(xué)者在20 世紀(jì)50 年代提出的變結(jié)構(gòu)控制理論，通過(guò)系統(tǒng)狀態(tài)偏離切換面的不同情況來(lái)切換控制器的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)控制任務(wù)，通過(guò)切換不同的控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)快速性與小穩(wěn)態(tài)誤差并存的控制效果。

1 系統(tǒng)建模

對(duì)于導(dǎo)引頭系統(tǒng)預(yù)定回路而言，其基本工作原理框圖如圖1 所示。圖中：θ˙為角速度；θ為角速度積分后得到的角度。

圖1 預(yù)定回路原理框Fig.1 Schematic diagram of predetermined loop

由圖1 可知，前置放大環(huán)節(jié)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)加一個(gè)飽和非線性環(huán)節(jié)組成，功率放大部分由一個(gè)飽和非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)比例環(huán)節(jié)構(gòu)成，被控對(duì)象部分由電機(jī)和負(fù)載組成，其動(dòng)力學(xué)方程為

式中：J為被控對(duì)象部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；TM為電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩；Tc為系統(tǒng)中的干擾力矩。

由于系統(tǒng)中的電機(jī)選用的是直流電機(jī)，對(duì)于直流電機(jī)而言，式（2）中的方程是描述其動(dòng)態(tài)特性的基本方程：

式中：Tem為電磁轉(zhuǎn)矩；Kt為轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Ia為電樞電流，A；Ea為電樞反電勢(shì)；Ke為反電勢(shì)系數(shù)；ω為電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度；Ua為電樞兩端輸入電壓；La為電樞電感；Ra為電樞電阻。

對(duì)式（2）中的時(shí)域方程進(jìn)行零初始條件的拉普拉斯變換，可以得到：

式中：s為拉普拉斯算子；Ω為電機(jī)角速度。

對(duì)于式（3），其中的干擾力矩Tc主要由摩擦、死區(qū)、間隙等典型非線性環(huán)節(jié)導(dǎo)致，在處理的過(guò)程中，將這部分干擾力矩單獨(dú)提出，作為整體傳遞函數(shù)中的非線性環(huán)節(jié)。將剩余的環(huán)節(jié)線性化后可以得到以角速度為輸出量，電壓為輸入量的直流電動(dòng)機(jī)傳遞函數(shù)：

由于選用的直流電動(dòng)機(jī)電磁時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于機(jī)械時(shí)間常數(shù)，所以可以對(duì)式（4）進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，簡(jiǎn)化后的傳遞函數(shù)為

由于被控對(duì)象中的非線性主要由死區(qū)特性導(dǎo)致，其他非線性環(huán)節(jié)影響有限，可以忽略，所以，最終得到的被控對(duì)象部分由一個(gè)死區(qū)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成。

對(duì)于角位置傳感器和角速度傳感器，由于其存在的時(shí)間滯后系數(shù)較小，因此可以近似為一個(gè)比例環(huán)節(jié)進(jìn)行處理。綜上所述，參照實(shí)際元器件參數(shù)得到的框圖如圖2 所示。圖中：Gain 為比例增益環(huán)節(jié)；K為慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)增益；T為慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)時(shí)常數(shù)；為角速度；θ為角速度積分后得到的角度。

圖2 控制回路實(shí)際框Fig.2 Actual block diagram of the control loop

最終得到的系統(tǒng)前向通道線性部分的傳遞函數(shù)為

2 滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)

針對(duì)式（6）中得到的前向通道線性傳遞函數(shù)，可以設(shè)計(jì)基于趨近律的滑模魯棒控制器?；：瘮?shù)設(shè)計(jì)為［14］

其中，c＞0滿足Hurwitz條件。誤差及誤差的導(dǎo)數(shù)為

式中：θd(t)為理想角位置信號(hào)；(t)為當(dāng)前角位置信號(hào)。

則有：

采用指數(shù)趨近律，有：

式中：ε為指數(shù)趨近律中等速趨近部分的系數(shù)（ε越小，趨近速度越慢；ε越大，趨近速度越快，到達(dá)切換面時(shí)的速度也越快，引起的抖振也越大）；k為數(shù)趨近律中指數(shù)趨近部分的系數(shù)（k越大，速度衰減越快；k越小，速度衰減越慢）。

因此，在選擇指數(shù)趨近律系數(shù)的過(guò)程中，為了在保證系統(tǒng)誤差快速收斂的同時(shí)減小系統(tǒng)在切換面附近的抖振問(wèn)題，需要適當(dāng)選擇ε和k的值。通過(guò)式（9）和式（10），得：

則滑?？刂坡蔀?/p>

式中：c為一個(gè)系數(shù)，用于產(chǎn)生由于角速度偏差生成的控制量。

對(duì)于設(shè)計(jì)好的滑?？刂坡墒剑?2），繪制系統(tǒng)線性部分的Bode 圖，如圖3 所示。通過(guò)Bode 圖可以看出，對(duì)于系統(tǒng)的線性部分而言，系統(tǒng)的相角裕度約為75.3°，具有較好的穩(wěn)定裕度，但由于未考慮系統(tǒng)中的非線性部分，所以對(duì)于整體包含非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性尚不確定，需要進(jìn)一步研究。

圖3 滑?？刂葡到y(tǒng)的Bode圖Fig.3 Bode diagram of the sliding mode control system

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

將系統(tǒng)方程寫(xiě)為如下形式：

式中：δ(t，x，u)為由死區(qū)非線性環(huán)節(jié)和飽和非線性環(huán)節(jié)共同組成的綜合非線性環(huán)節(jié)。

由于系統(tǒng)中存在的飽和、死區(qū)非線性環(huán)節(jié)以及設(shè)計(jì)的滑?？刂破髦写嬖诘姆?hào)函數(shù)，常規(guī)的分析方法并不能較好地分析此類系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因而結(jié)合如下定理對(duì)整體系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。定理［15］考慮系統(tǒng)為

定義的正不變集Ωε，此外，如果假設(shè)全局成立，V(η)徑向無(wú)界，則上述結(jié)論對(duì)于任意初始狀態(tài)都成立。參照上述定理，對(duì)于式（13）定義的系統(tǒng)，有：

由上所述，δ對(duì)t分段連續(xù)，且對(duì)于(x，u)充分光滑。由于飽和非線性環(huán)節(jié)的存在，δ(t，x，u)必有界，則滿足式（15）定義的條件；取Lyapunov 函數(shù)

又由于只需存在Φ(η)，使得：

所以必能找到符合條件的Φ(η)，使式（18）定義的條件成立。綜上所述，可以判斷整體系統(tǒng)可以穩(wěn)定到達(dá)滑模面。

4 仿真驗(yàn)證與比較

針對(duì)上文設(shè)計(jì)的基于趨近律的滑?？刂坡蛇M(jìn)行仿真驗(yàn)證。利用Matlab 中的Simulink 搭建模塊進(jìn)行仿真，選擇仿真步長(zhǎng)為0.001 s，按照第2 部分給出的參數(shù)整定原則進(jìn)行參數(shù)整定，最終確定的參數(shù)為：ε=685，k=80，c=80。當(dāng)輸入信號(hào)為1 rad階躍信號(hào)時(shí)，使用滑?？刂破鞯玫叫Ч鐖D4所示。

圖4 滑?？刂破骺刂苹芈方俏恢幂敵鼋Y(jié)果Fig.4 Output results of the control loop angular position of the sliding mode controller

通過(guò)圖4 可以看出，當(dāng)控制回路使用滑?？刂破鲿r(shí)，上升時(shí)間（2%）為0.065 1 s，角位置在0.15 s 時(shí)達(dá)到預(yù)定值，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)。針對(duì)滑?？刂破鞒Ｒ?jiàn)的穩(wěn)態(tài)抖振問(wèn)題，選擇0.270～0.273 s 進(jìn)行局部放大觀察。可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)抖振遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于預(yù)定值，可以認(rèn)為此抖振不影響系統(tǒng)整體性能。為了研究比較滑?？刂破鲗?duì)于飽和、死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)的抑制效果，分別使用不包含飽和、死區(qū)等非線性部分的線性模型與非線性模型進(jìn)行仿真，比較結(jié)果如圖5所示。

通過(guò)圖5 的結(jié)果可以看出，由于線性模型中不包含飽和、死區(qū)非線性環(huán)節(jié)，所以當(dāng)系統(tǒng)模型是線性模型時(shí)，控制效果更好。對(duì)于非線性模型而言，雖然控制效果相較于線性模型略有降低，但降低的程度不大，可以認(rèn)為滑?？刂破鲗?duì)于抑制飽和、死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)具有一定的效果。

圖5 非線性模型與線性模型滑模控制效果比較Fig.5 Comparison of the control effects of the nonlinear and linear sliding modes

為了比較驗(yàn)證滑?？刂破鲗?duì)于系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)的抑制效果，針對(duì)前文中得到的模型按照傳統(tǒng)線性超前滯后方法設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器，作用于同樣的系統(tǒng)，比較滑?？刂破髋c線性超前滯后控制器的性能區(qū)別。按照傳統(tǒng)的超前滯后方法設(shè)計(jì)出的控制器傳遞函數(shù)為［16］

首先選擇不存在飽和、死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)的模型進(jìn)行仿真，比較滑模控制器與傳統(tǒng)線性控制器性能，如圖6 所示。

圖6 線性模型滑?？刂破髋c線性控制器性能比較Fig.6 Performance comparison between the linear sliding mode controller and the linear controller

通過(guò)圖6 的結(jié)果可以看出，在被控對(duì)象不存在飽和、死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)時(shí)，無(wú)論是線性控制器還是滑?？刂破鞫寄芡瓿煽刂苹芈返念A(yù)定功能。不同的是，滑?？刂破饔兄玫膭?dòng)態(tài)性能，能夠更快地、無(wú)超調(diào)地達(dá)到預(yù)定值，線性控制器如果要繼續(xù)減小調(diào)整時(shí)間，勢(shì)必要增大控制器增益，而控制器增益的增大又會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)。因此，從快速性與超調(diào)的角度來(lái)看，滑?？刂破鞯男阅軆?yōu)于線性超前滯后控制器。

比較驗(yàn)證當(dāng)系統(tǒng)模型中存在飽和、死區(qū)非線性時(shí)，線性超前滯后控制器與滑?？刂破鞯目刂菩阅堋Ｔ诓桓淖儏?shù)的情況下，線性控制器與滑?？刂破鞯玫降目刂魄€如圖7 所示。

圖7 非線性模型滑模控制器與線性控制器性能比較Fig.7 Performance comparison between the nonlinear sliding mode controller and the linear controller

可以看出，當(dāng)模型中出現(xiàn)非線性環(huán)節(jié)時(shí)，滑?？刂破魅阅軣o(wú)差地快速達(dá)到預(yù)定值，但對(duì)于線性控制器而言，如果不調(diào)整增益，會(huì)出現(xiàn)較大的穩(wěn)態(tài)誤差，并且初始上升速度過(guò)慢。要消除這些問(wèn)題，需要調(diào)整控制器增益，通過(guò)多次調(diào)整，要想保證線性控制器控制回路無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，需要將控制器增益提高到52.5。從參數(shù)整定的角度來(lái)看，當(dāng)被控對(duì)象中含有非線性環(huán)節(jié)時(shí)，線性控制器需要重新大幅度調(diào)整控制器增益，而滑模控制器不調(diào)整參數(shù)也可以獲得較為理想的控制效果，所以可以認(rèn)為滑?？刂破鞅染€性超前滯后控制器有更好的抑制非線性的能力。

綜合前面的結(jié)果可以得出如下結(jié)論，首先，滑?？刂破骺梢酝瓿煽刂苹芈返目刂迫蝿?wù)，能夠快速、無(wú)差、無(wú)超調(diào)地實(shí)現(xiàn)導(dǎo)引頭伺服系統(tǒng)角度預(yù)定功能。其次，當(dāng)被控對(duì)象模型為不含飽和、死區(qū)等非線性環(huán)節(jié)的線性模型時(shí)，傳統(tǒng)的線性超前滯后控制器與滑?？刂破鞫寄軌蜉^好地完成控制回路的功能，但是從過(guò)渡過(guò)程的角度來(lái)看，滑?？刂破鞯倪^(guò)渡過(guò)程優(yōu)于線性超前滯后控制器的過(guò)渡過(guò)程。另外，通過(guò)仿真分析可以發(fā)現(xiàn)，滑?？刂破鲗?duì)于系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)并不十分敏感，有無(wú)非線性環(huán)節(jié)對(duì)于滑?？刂破鞯目刂菩Ч绊懹邢?，而傳統(tǒng)的線性超前滯后控制器對(duì)于系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)還是較為敏感的，系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)會(huì)明顯影響到整個(gè)回路的控制效果，雖然非線性環(huán)節(jié)造成的影響可以通過(guò)調(diào)整控制器增益來(lái)進(jìn)行彌補(bǔ)抵消，但是這種方式無(wú)疑會(huì)增加現(xiàn)場(chǎng)調(diào)試過(guò)程的任務(wù)量，而對(duì)于滑?？刂破鞫?，即使系統(tǒng)中存在一定未建模非線性環(huán)節(jié)，對(duì)于整體控制回路的控制性能影響也相對(duì)有限，所以對(duì)于大多數(shù)情況即使不重新調(diào)整控制參數(shù)也可以獲得較為理想的控制效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)導(dǎo)引頭伺服控制系統(tǒng)預(yù)定回路設(shè)計(jì)了一個(gè)基于趨近律的滑?？刂破?，并結(jié)合具體的經(jīng)過(guò)工程實(shí)踐檢驗(yàn)的模型進(jìn)行了相關(guān)的仿真驗(yàn)證。通過(guò)仿真驗(yàn)證證明，滑模控制器能夠獲得較好的預(yù)定回路控制效果，且對(duì)于非線性環(huán)節(jié)具有較好的抑制能力，為進(jìn)一步的工程實(shí)踐奠定了理論基礎(chǔ)。