付瑤，康國(guó)華，周紹輝，武俊峰，華寅淼，吳佳奇，胡苗苗

（1.南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，江蘇 南京 211101；2.上海航天空間技術(shù)有限公司，上海 201109）

0 引言

天基太空望遠(yuǎn)鏡在天文觀測(cè)、空間環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用價(jià)值，其主鏡尺寸對(duì)成像效果具有重要影響［1-3］。對(duì)于單鏡面的天基太空望遠(yuǎn)鏡而言，鏡片尺寸一直以來(lái)受限于單次發(fā)射運(yùn)載對(duì)航天器體積和質(zhì)量的約束，而拼接技術(shù)可以有效解決該問(wèn)題。目前拼接技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于許多地基太空望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)中，如凱克望遠(yuǎn)鏡（Keck）、霍比-埃伯利望遠(yuǎn)鏡（Hobby-Eberly Telescope，HET）、加納利大型望遠(yuǎn)鏡（Gran Telescope Canarias，GTC）、南非大望遠(yuǎn)鏡（South African Large Telescope，SA-LT）等［4］。拼接技術(shù)在天基太空望遠(yuǎn)鏡中也具有較大的應(yīng)用價(jià)值，如目前國(guó)際上最大口徑的天基太空望遠(yuǎn)鏡——詹姆斯·韋伯空間望遠(yuǎn)鏡（James Webb Space Telescope，JWST），其等效口徑為6.5 m。在太空要實(shí)現(xiàn)上述技術(shù)將面對(duì)模塊化航天器在軌拼接優(yōu)化問(wèn)題。

模塊化航天器可以分批入軌、在軌拼接和重構(gòu)，從而擺脫單次發(fā)射運(yùn)載對(duì)航天器體積和質(zhì)量的約束，有效地降低成本，因此近年成為研究熱點(diǎn)［5-11］。鑒于上述優(yōu)勢(shì)，長(zhǎng)期受限于單個(gè)鏡片大小約束的天基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡、需大規(guī)模面積拼接的空間電站等下一代空間超大型機(jī)構(gòu)都同樣采取了模塊化航天器設(shè)計(jì)［12-13］。如英國(guó)薩里大學(xué)和美國(guó)加州理工學(xué)院聯(lián)合開(kāi)展的可重構(gòu)空間望遠(yuǎn)鏡的自主組裝（Autonomous Assembly of a Reconfigurable Space Telescope，AAREST）計(jì)劃，研究若干個(gè)搭載光學(xué)載荷的立方星在軌組裝、重構(gòu)、成像的相關(guān)技術(shù)［14］。

太空光學(xué)孔徑自組裝（Optical Aperture Selfssembly in Space，OASIS）項(xiàng)目通過(guò)小模塊自主交會(huì)對(duì)接后裝配成孔徑大于5 m 的光學(xué)望遠(yuǎn)鏡［15-16］；蜂巢（Hive）項(xiàng)目將模塊在軌組裝成立方體或蜂巢的形狀并執(zhí)行模塊翻轉(zhuǎn)、換位、跳躍等［17］；衛(wèi)星在軌服務(wù)智能建造模塊（Intelligent Building Blocks for On-Orbit Satellite Servicing，IBOSS）項(xiàng)目研究將立方體形狀的智能模塊在軌裝配成為可重構(gòu)航天器，目前正在進(jìn)行在軌演示與測(cè)試［18］。

空間超大規(guī)模模塊化航天器的“拼接-變構(gòu)-重構(gòu)”規(guī)劃是任務(wù)的基礎(chǔ)，但現(xiàn)有研究一般假設(shè)目標(biāo)構(gòu)型固定不變，對(duì)如何變構(gòu)還缺乏深入研究。如未考慮對(duì)接機(jī)構(gòu)及載荷尺寸所帶來(lái)的拼接間隙限制，但實(shí)際上間隙約束對(duì)模塊化航天器的構(gòu)型規(guī)模、變構(gòu)范圍和重構(gòu)順序都將有很大影響。

本文以大型空間望遠(yuǎn)鏡為模塊航天器拼接的應(yīng)用場(chǎng)景，以正六棱柱模塊為航天器單位構(gòu)型進(jìn)行拼接。根據(jù)正六邊形可在平面上滿鋪的特性，提出了一種映射平面的不閉合的“蜂巢”構(gòu)型作為空間望遠(yuǎn)鏡目標(biāo)曲面，即蜂巢中每個(gè)正六邊形的面對(duì)應(yīng)為一個(gè)模塊衛(wèi)星的頂面，并針對(duì)該模型在相鄰模塊的間隙約束的條件下，獲得模塊布局的最優(yōu)解以及構(gòu)型相關(guān)參數(shù)的求解，如圖1 所示。

圖1 自然界球冠曲面Fig.1 Spherical crown surface in nature

1 基于“球冠-平面”映射的拼接曲面建模

1.1 基于“球冠-平面”的拼接映射

分批入軌的模塊航天器如何拼接成所需的成像曲面，是構(gòu)成空間望遠(yuǎn)鏡的關(guān)鍵。模塊拼接成曲面，一般有2 種方法：①所有模塊先拼接成整體，再通過(guò)模塊間的對(duì)接機(jī)構(gòu)調(diào)整至目標(biāo)曲面；② 所有模塊按預(yù)先規(guī)劃的路線直接拼成所需的曲面。很明顯，方法①雖有利于模塊拼接，但鑒于模塊間存在多個(gè)對(duì)接機(jī)構(gòu)的強(qiáng)約束，如中心模塊需要與周?chē)? 個(gè)模塊進(jìn)行對(duì)接，因此在進(jìn)行整體變形時(shí)，將要逐個(gè)規(guī)劃每個(gè)對(duì)接機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，過(guò)程復(fù)雜且耗時(shí)。本文將采取第2 種方法，但需要解決初始模塊位姿和目標(biāo)模塊位姿之間的規(guī)劃問(wèn)題。

考慮到空間望遠(yuǎn)鏡成像需求，模塊衛(wèi)星構(gòu)成的鏡面曲面中心對(duì)稱(chēng)性越好，則其成像效果越好。因此所有模塊將會(huì)形成以某個(gè)模塊為中心的球冠曲面。本文提出了一種“球冠-平面”映射法，將對(duì)稱(chēng)目標(biāo)曲面與輔助平面的模塊進(jìn)行一一映射，形成排布規(guī)劃。

如圖2 所示，曲面A為模塊衛(wèi)星所攜帶鏡片需要構(gòu)成的目標(biāo)曲面，曲面中心點(diǎn)為O，曲面由模塊衛(wèi)星所攜帶的正六邊形鏡片確定：每個(gè)鏡面的中心點(diǎn)Pi（i表示模塊編號(hào)，i=1，2，3，…）為鏡面與曲面的外切點(diǎn)。曲面的中心O點(diǎn)與Pi連線在曲面的外切平面B上有映射點(diǎn)，點(diǎn)是Pi所在六邊形鏡面在平面B上投影六邊形鏡面的中心。基于上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，將模塊衛(wèi)星的曲面拼接，轉(zhuǎn)換成平面拼接；在平面B上布局后，將模塊移動(dòng)至曲面對(duì)應(yīng)位置再進(jìn)行對(duì)接，即可得到目標(biāo)曲面。

圖2 平面輔助映射法Fig.2 Schematic diagram of the plane-assisted mapping method

1.2 拼接曲面模型的建立

為保證整體的中心對(duì)稱(chēng)性，將所有模塊按圈層排布，如圖3 所示。假設(shè)共s個(gè)模塊，中心模塊為第0 層，從中心模塊向外依次為第0 層、第1 層、第2 層、…、第n層，則n與s之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

圖3 模塊編號(hào)順序及間距Fig.3 Schematic diagram of numbering and arrangement of the modules and vertices

以中心模塊正右方的模塊為每層的第1 個(gè)，逆時(shí)針?lè)较蛞来螢榈? 個(gè)、第2 個(gè)、…、第6n個(gè)。對(duì)于每個(gè)模塊而言，最右側(cè)為第1 個(gè)頂點(diǎn)，逆時(shí)針?lè)较蛞来螢轫旤c(diǎn)1、頂點(diǎn)2、…、頂點(diǎn)6。

設(shè)假想平面B上，第i層與第i+1 層相鄰兩個(gè)模塊之間的距離為bi，其中i=1，2，…，n-1。所有模塊的邊長(zhǎng)均為a，目標(biāo)曲面中所有模塊頂面六邊形鏡面拼接后擬合成的球冠的半徑為r，即曲面的曲率半徑為r。這里設(shè)目標(biāo)曲面中所有模塊頂面六邊形對(duì)應(yīng)的球冠球心坐標(biāo)為（0，0，r），球冠表面方程為x2+y2+（z-r）2=r2。設(shè)中心模塊正六邊形中心的位置坐標(biāo)為（0，0，0），中心模塊上表面六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

假設(shè)在z=0 平面上繞中心有s個(gè)模塊排布成n層，相鄰兩層模塊的相鄰兩條邊之間的距離分別為b0，b1，…，bn-1，則第1 層模塊的每個(gè)正六邊形的中心點(diǎn)坐標(biāo)分別為

依此類(lèi)推，平面上位于第i層的第j個(gè)模塊的中心點(diǎn)坐標(biāo)的值為

旋轉(zhuǎn)角為

因此對(duì)于每個(gè)正六邊形的中心點(diǎn)Pi到其六個(gè)頂點(diǎn)的矢量為

1.3 基于包圍盒的模塊碰撞檢測(cè)

碰撞檢測(cè)（Collide Detection，CD）用于判斷兩個(gè)或多個(gè)物體占據(jù)的三維區(qū)域在同一時(shí)間是否相交，在虛擬現(xiàn)實(shí)［19］、3D 游戲［20］、軌跡規(guī)劃［21-22］、多體機(jī)器人［23-24］、星座構(gòu)型保持［25］等領(lǐng)域中都具有廣泛的應(yīng)用。對(duì)于組合體航天器而言，至關(guān)重要的是判斷變構(gòu)過(guò)程中或變構(gòu)結(jié)束后航天器的各獨(dú)立模塊之間是否發(fā)生碰撞。

目前研究較為成熟且應(yīng)用較為廣泛的CD 算法主要為層次包圍盒算法等。常見(jiàn)的包圍盒有包圍球、軸向包圍盒AABB、方向包圍盒OBB 等。其中包圍球和AABB 包圍盒緊密性較差，而OBB 包圍盒的計(jì)算較為復(fù)雜。

因?yàn)楸疚闹心K的正六棱柱結(jié)構(gòu)較為規(guī)則，同時(shí)考慮到算法的效率，本文采用改進(jìn)后的層次包圍盒方法進(jìn)行CD。在層次包圍盒算法中，針對(duì)給定物體E，E中的所有基本幾何元素組成的集合為S，則定義層次包圍盒樹(shù)（Hierarchical Bounding Volume Tree，HBVT）［26］：①樹(shù)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)v與S的一個(gè)子集Sv（Sv?S）相對(duì)應(yīng)；② 節(jié)點(diǎn)v的數(shù)據(jù)值為集合Sv的包圍盒b（Sv）；③根節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于全集S，其數(shù)據(jù)集為全集S的包圍盒b（S）；④ 樹(shù)中的每個(gè)葉節(jié)點(diǎn)指向的是物體的基本幾何元素。

在層次包圍盒算法中，圖元被劃分為不相交的層次結(jié)構(gòu)。但對(duì)于本文的正六棱柱模塊而言，直接劃分為如圖4 所示的3 個(gè)相交的長(zhǎng)方體形狀的AABB 包圍盒，該方法保證了包圍盒與模塊形狀完全相合，相較于傳統(tǒng)的包圍球算法，AABB 包圍盒算法提高了緊密性，且算法的復(fù)雜度小于OBB 包圍盒算法。

圖4 層次包圍盒分割Fig.4 Diagram of hierarchical bounding box segmentation

對(duì)于組合體中任意相鄰的兩個(gè)模塊A和B，分別對(duì)A的3 個(gè)圖元和B的3 個(gè)圖元進(jìn)行CD，即可判斷A、B之間是否發(fā)生碰撞。

2 基于碰撞檢測(cè)的拼接曲面優(yōu)化

2.1 基于“球冠-平面”的拼接映射

在上述“球冠-平面”輔助映射法中，模塊頂面正六邊形邊長(zhǎng)a決定模塊的尺寸；模塊數(shù)目s決定拼接曲面的規(guī)模；目標(biāo)曲面的曲率半徑r決定拼接曲面的彎曲程度；假想平面中模塊間距bi決定拼接曲面中模塊之間的距離。通過(guò)改變模塊數(shù)目s、目標(biāo)曲面的曲率半徑r、假想平面中模塊間距bi的值即可得到不同的拼接曲面。但還需要考慮拼接的可行性：當(dāng)前曲面中是否會(huì)發(fā)生模塊之間的碰撞問(wèn)題?？紤]到模塊之間是否發(fā)生碰撞的問(wèn)題，在實(shí)際任務(wù)中，組合體航天器的拼接曲面存在以下2 個(gè)優(yōu)化問(wèn)題：

①當(dāng)模塊頂面正六邊形邊長(zhǎng)a、模塊數(shù)目s一定而拼接曲面的曲率半徑r和假想平面中模塊間距bi的值改變時(shí)，拼接曲面的曲率半徑r越小，曲面的彎曲程度越大，如圖5 所示。當(dāng)曲面彎曲到一定程度時(shí)，無(wú)論如何改變假想平面中模塊間距的值都必然會(huì)發(fā)生模塊間的碰撞，因此存在拼接曲面的曲率半徑r的最小值求解問(wèn)題。

圖5 不同彎曲程度的拼接曲面Fig.5 Spliced surfaces of different degrees of bending

② 當(dāng)模塊頂面正六邊形邊長(zhǎng)a、模塊數(shù)目s和目標(biāo)曲面的曲率半徑r固定而假想平面中模塊間距bi的值改變時(shí)，拼接曲面的可行解有多個(gè)，模塊間距有疏有密，如圖6 所示。在實(shí)際任務(wù)中，模塊間距離越短，則星間測(cè)量及通信的能量消耗越少，因而存在最緊密的拼接曲面的求解問(wèn)題。在最緊密的拼接曲面中，模塊頂面邊界的最遠(yuǎn)距離l將達(dá)到最小值，即曲面的口徑最小。

圖6 緊密/稀疏曲面Fig.6 Compact/sparse surfaces

2.2 優(yōu)化算法適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建

以上兩個(gè)問(wèn)題中均包含一個(gè)共同的變量：假想平面中模塊間距bi，在其他變量的值一定時(shí)，通過(guò)改變bi的值即可得到滿足要求的拼接曲面以及相關(guān)變量的取值范圍。但s取值會(huì)影響bi的個(gè)數(shù)，如s取91時(shí)，曲面中模塊排列為6 層，本問(wèn)題中的自變量包括b0、b1、b2、b3、b4共5 個(gè)；而當(dāng)s取127 時(shí)，曲面共7 層，本問(wèn)題中的自變量包括b0、b1、b2、b3、b4、b5共6 個(gè)，因此在處理不同的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)自變量的個(gè)數(shù)不確定。為了設(shè)計(jì)不失一般性的優(yōu)化算法，建立bi與模塊所在層數(shù)i之間的函數(shù)關(guān)系，將bi與i之間的關(guān)系用一個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行近似的擬合，即設(shè)bi=a0+a1i+a2i2，此時(shí)對(duì)于上一章中提到的曲率半徑最小值求解問(wèn)題而言，無(wú)論模塊數(shù)目有多少，自變量均為a0、a1、a2、r；對(duì)于最緊密拼接曲面求解問(wèn)題而言，無(wú)論模塊數(shù)目有多少，自變量均為a0、a1、a2。

上述兩個(gè)優(yōu)化問(wèn)題本質(zhì)是含非線性約束條件的非線性?xún)?yōu)化問(wèn)題，本文采用遺傳算法進(jìn)行求解，在求曲面曲率變化范圍的問(wèn)題中需要求得曲率半徑r的最小值；在求最優(yōu)曲面的問(wèn)題中需要求得曲面口徑l的最小值。約束條件為所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，引入一個(gè)參數(shù)c對(duì)模塊之間是否發(fā)生碰撞進(jìn)行量化：

基于此，分別構(gòu)造兩個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的遺傳算法適應(yīng)度函數(shù)：①對(duì)于求曲率半徑變化范圍的問(wèn)題，

② 對(duì)于求最優(yōu)曲面的問(wèn)題，

式中：p為大于1 的常數(shù)。

可以保證在遺傳算法迭代過(guò)程中適應(yīng)度函數(shù)f1和f2始終為非負(fù)數(shù)，且適應(yīng)度函數(shù)f1和f2取得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲率半徑r和曲面口徑l分別取得最小值。優(yōu)化變量與指標(biāo)見(jiàn)表1。優(yōu)化算法流程如圖7所示。

圖7 優(yōu)化算法流程Fig.7 Flow chart of the optimization algorithm

表1 2 個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的變量與優(yōu)化指標(biāo)Tab.1 Variables and optimization indexes of two optimization problems

3 仿真驗(yàn)證和分析

3.1 平面輔助映射法的仿真與分析

設(shè)置所有模塊正六邊形的邊長(zhǎng)a=0.3 m，拼接曲面的曲率半徑r=35 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。在輔助平面上a0=a1=a2=0，即b=0時(shí)所有模塊頂面剛好將輔助平面上其所在的區(qū)域滿鋪，因此為保證拼接曲面中所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，至少需要保證bi＞0（i=1，2，3，4，5，6）。簡(jiǎn)單嘗試后設(shè)置a0=0.10，a1=0.01，a2=0.01，即bi=0.10+0.01i+0.01i2。

由以上方法得到的127 個(gè)模塊頂面的拼接曲面可以擬合為一個(gè)半徑r=35 m 的球冠表面，且所有模塊頂面所在平面的法向量均指向球心，頂面中心點(diǎn)均位于球冠表面上。對(duì)上述拼接曲面中的所有模塊進(jìn)行CD，若模塊之間發(fā)生碰撞，則發(fā)生碰撞的兩個(gè)模塊顯示為紅色；若不發(fā)生碰撞，則顯示為藍(lán)色，結(jié)果如圖8 所示。上述仿真結(jié)果表明，本文提出的六棱柱分割CD 方法有效。

圖8 碰撞檢測(cè)算法驗(yàn)證Fig.8 Verification of the collision detection algorithm

3.2 拼接曲面優(yōu)化的仿真與分析

使用遺傳算法對(duì)最優(yōu)拼接曲面、曲率半徑可變范圍這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行求解。

3.2.1 曲率半徑最小值求解

設(shè)置所有模塊正六邊形的邊長(zhǎng)a=0.3 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。使用遺傳算法求解獲得了曲率半徑的最小值為23.44 m，此時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值分別為a0=0.1，a1=0.000 027，a2=0.004 7。因此，曲率半徑的可變范圍為［23.44 m，∞］，在該范圍內(nèi)均可找到能使得所有模塊均不發(fā)生碰撞的拼接曲面。因?yàn)檫z傳算法所得結(jié)果具有可能陷入局部最優(yōu)的局限性，為了避免這種情況，將遺傳算法重復(fù)運(yùn)行50 次，所得結(jié)果如圖9 所示。

圖9 運(yùn)行50 次遺傳算法后的曲率半徑結(jié)果Fig.9 Results of rafter 50 iterations by the genetic algorithm

50 次結(jié)果的均值為23.44 m，且最后都可以穩(wěn)定收斂到最優(yōu)值處。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，優(yōu)化算法所得到的曲率半徑最小值結(jié)果穩(wěn)定有效。

3.2.2 最密拼接曲面的求解

設(shè)置所有模塊正六邊形的邊長(zhǎng)a=0.3 m，拼接曲面的曲率半徑r=50 m，模塊總數(shù)目為127，繞中心圍成7 層。使用遺傳算法求解獲得了最優(yōu)拼接曲面，該拼接曲面滿足所有模塊之間均不發(fā)生碰撞，且該拼接曲面的口徑l值達(dá)到最小值6.77 m，此時(shí)為該條件下模塊排列最為緊密的最優(yōu)曲面，對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值分別為a0=0.000 027，a1=0.007 4，a2=0。重復(fù)運(yùn)行50 次遺傳算法，所得結(jié)果如圖10 所示。

圖10 運(yùn)行50 次遺傳算法后的口徑結(jié)果Fig.10 Results of l after 50 iterations by the genetic algorithm

50 次結(jié)果的均值為6.77 m，且最后都可以穩(wěn)定收斂到最優(yōu)值處。從統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，優(yōu)化算法所得到的曲面口徑最小值結(jié)果穩(wěn)定，可以有效得到最密拼接曲面。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種可以解決同構(gòu)正六棱柱模塊化航天器拼接后，組合體拼接曲面可以擬合為一個(gè)球冠時(shí)的所有模塊位置求解問(wèn)題的方法——平面輔助映射法，并在此基礎(chǔ)上建立了拼接曲面的數(shù)學(xué)模型。本文采用改進(jìn)的層次包圍盒算法將六棱柱模塊進(jìn)行分割，從而解決了模塊之間的CD 問(wèn)題。最后采用遺傳算法，解決了曲率半徑變化范圍和最優(yōu)曲面求解的問(wèn)題。

本文提出的平面輔助映射法中，模塊化航天器的形狀可以在未來(lái)衍生為立方體、四面體等任意形狀，組合體拼接曲面中所有模塊頂面近似的空間圖形也可以衍生為拋物面、錐面等任意空間圖形。