秦遠田，張子昊，樸麗花

（南京航空航天大學 航天學院，江蘇 南京 210016）

0 引言

隨著衛(wèi)星移動終端不斷向輕量化、便攜化方向發(fā)展，以及對空間時間敏感目標檢測日益增長的需求，大型空間可展開天線逐漸成為滿足衛(wèi)星高軌移動通信和遙感要求的關(guān)鍵技術(shù)載荷［1］。根據(jù)相關(guān)文獻表明，大規(guī)?？臻g天線的信號增益以及有效傳播距離與天線孔徑直接呈正相關(guān)［2］。為提高航天器結(jié)構(gòu)的技術(shù)指標，空間天線的規(guī)模趨于增加，其機械結(jié)構(gòu)也更加復(fù)雜。在此需求的推動下，構(gòu)架式可展開天線系統(tǒng)應(yīng)運而生。盡管許多大型空間展開天線已經(jīng)成功發(fā)射［3-5］且能夠順利展開，但是天線及其反射面在展開過程中，仍然存在諸多未解決的問題［6-7］。經(jīng)過各國研究人員對大型空間展開天線及其動力學特性的研究與求證，得出的結(jié)論是動力學建模低成本研究空間天線不可或缺的工具［8］。

在可展開天線柔性動力學的研究領(lǐng)域，常見方法有諸如運動彈性動力學（Kineto-Elasto-Dynamic Analysis，KED）［9］、浮動坐標法以及模態(tài)分析方法等［10］，其中絕對節(jié)點坐標法方法（Absolute Nodal Coordinate Formulation，ANCF）由SHABANA［11］于1996 年提出。ANCF 建模依賴恒定質(zhì)量矩陣，沒有考慮離心力或是Coriolis 力，適用于描述柔性體的剛性運動。該方法被認為是多體系統(tǒng)動力學研究史上最重要的進展之一。由于國內(nèi)對絕對節(jié)點坐標法的研究應(yīng)用起步較晚［11］，ANCF方法仍在大型天線展開動力學領(lǐng)域有很大的研究空間以及良好的應(yīng)用前景。相關(guān)研究有諸如易樂天等［12］將ANCF 方法用于分析纏繞肋天線的展開過程，LU等［13］基于ANCF方法對周邊環(huán)形可展開天線進行了一系列研究，但是目前ANCF 方法在構(gòu)架式可展開天線方面的應(yīng)用很少。因此，本文對構(gòu)架式天線的柔性多體動力學建模與分析方法具有實際應(yīng)用價值。

本文在對構(gòu)架式展開天線進行無鉸鏈間隙的多剛體動力學數(shù)值分析時，發(fā)現(xiàn)在天線展開后期，天線基本單元各關(guān)節(jié)的加速度陡增。通過ADAMS 動力學軟件進行地面試驗?zāi)M來對比數(shù)值分析結(jié)果，如圖1 所示。圖中，桿件1、2 為動力學仿真建立的虛擬吊掛系統(tǒng)。圖中可見，在虛擬吊掛牽引的天線基本單元末端關(guān)節(jié)處，以及虛擬吊掛系統(tǒng)與天線基本單元的連接處，同樣出現(xiàn)了關(guān)節(jié)橫向展開力異常增大的現(xiàn)象，以至于該動力學分析的結(jié)果難以指導(dǎo)地面試驗的進行，見表1。

圖1 構(gòu)架式展開天線地面試驗?zāi)M過程（基本單元）Fig.1 Ground test simulation of a deployable truss antenna（basic unit）

表1 彈簧驅(qū)動力與末端關(guān)節(jié)展開力關(guān)系Tab.1 Relationship between the spring driving force and the deploying force for the end joint

由表1 可知，天線桿件兩鉸接點之間的幾何尺寸在天線展開過程中并非一成不變，因此需要引入鉸鏈間隙。然而，該型構(gòu)架式多模塊天線存在近500 個鉸鏈關(guān)節(jié)，并且鉸鏈間隙的接觸建模存在很強的非線性。不僅含間隙的多剛體動力學數(shù)值分析方法難以進行，動力學仿真軟件同樣無法處理數(shù)量龐大的間隙接觸問題。由于構(gòu)架式天線的結(jié)構(gòu)與材料剛性較強，展開過程中的微小形變不會影響天線展開過程的順暢性。因此，為了避免直接處理具有強非線性的鉸鏈間隙問題，本文采用了柔性多體動力學方法。通過引入彈性項，希望能夠?qū)⒂绊懱炀€順利展開的鉸鏈間隙問題轉(zhuǎn)換為天線桿件的微小形變，從而得到接近天線真實展開情況的動力學參數(shù)，并為后續(xù)地面試驗提供理論指導(dǎo)。

1 柔性多體動力學建模

構(gòu)架式可展開天線作為一種可折展的多模塊天線，其反射面結(jié)構(gòu)多為可折疊桁架，金屬網(wǎng)鋪設(shè)在骨架上。這類天線骨架組成如圖2（a）所示，整個天線反射器由7 個模塊組成，呈中心對稱分布。每個模塊包含6 個基本的結(jié)構(gòu)單元構(gòu)成，為使得桁架能夠達到折疊的效果，桁架的桿件中間設(shè)有鉸鏈，并通過彈簧機構(gòu)驅(qū)動天線展開。如圖2（b）所示，本文所述天線的單模塊模型，在中心豎桿上設(shè)有的彈簧機構(gòu)，通過釋放壓縮彈簧，使彈簧兩端的滑塊進行向豎桿上端移動。利用曲柄滑塊機構(gòu)（由圖2（b）中2、3 和7 組成）帶動單個模塊內(nèi)所有結(jié)構(gòu)單元進行橫向展開，并在滑塊移動一定距離后，實現(xiàn)機構(gòu)自鎖。在整個展開過程中，導(dǎo)致空間天線系統(tǒng)展開失敗的原因有很多［14］，其中該過程中的動力學建模不準確是一個重要因素。天線完全展開的過程，不僅涉及空間剛體大尺度運動和彈性小變形的耦合運動，還涉及線性和非線性的耦合。此外在反射器的運動模塊內(nèi)，采用細長桿件在展開過程中出現(xiàn)一定的彈性變形。很多天線設(shè)計與運動學建模的研究，將所有桿件完全視為剛體，從而忽視了其對天線展開后型面精度的影響，以至于天線展開失敗或者未能達到預(yù)計的工作效果。

圖2 構(gòu)架式展開天線結(jié)構(gòu)組成與展開原理Fig.2 Structural composition and deploying principle of the deployable truss antenna

1.1 基于構(gòu)架式天線的改進梁單元建模

本節(jié)建立了構(gòu)架式可展開天線桁架系統(tǒng)的動力學模型。由于所述模塊化展開天線結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此需要對模型進行簡化。由于所述天線結(jié)構(gòu)在幾何分布上具備同構(gòu)性，故僅需對其結(jié)構(gòu)單元的桁架系統(tǒng)進行動力學建模。根據(jù)SHABANA 和YAKOUB 提出的ANCF 方法［15］，對于一個三維的二節(jié)點梁單元模型，長度為L，共有如下24 個絕對坐標：

然而采用絕對坐標法對復(fù)雜的天線桁架結(jié)構(gòu)進行分析，最終得到的剛度矩陣膨脹非常嚴重。為提高單元的計算效率，將節(jié)點的廣義坐標改為一個位置向量和一個對梁軸線X進行微分得到的梯度向量。因此其位移場可以簡化為

為了避免大變形與小變形問題中的鎖定現(xiàn)象，上述降階的方法消除了表示扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的絕對坐標。根據(jù)構(gòu)架式可展開天線的結(jié)構(gòu)特點，以及桿件采用的碳纖維復(fù)合材料所具備的優(yōu)良屬性，本文認為天線展開以及型面精度問題的主要研究對象為彈性拉伸和彎曲效應(yīng)。為進一步提高計算效率，通過消除運動方程中剪切效應(yīng)的剛性項，重新構(gòu)建適用于上述低階廣義坐標的形函數(shù)為

式中：xi為梁軸線上的相對坐標值。

基于廣義坐標的改變，質(zhì)量矩陣可以通過關(guān)于xi的積分進行計算：

式中：A為梁單元橫截面面積；ρ為密度。

假定梁單元橫向抗彎剛度相同，根據(jù)Euler-Bernoulli 梁公式可知，梁單元內(nèi)力的虛功表示為

式中：E為彈性模量；I為截面慣 性矩；κ為軸線曲率，其表達式可由Seret-Frenet框架［16］進行推導(dǎo)；εa為軸向應(yīng)變，根據(jù)Green 應(yīng)變張量［16］確定。

κ與εa推導(dǎo)結(jié)果如下：

上述計算彈性力的方法，在處理復(fù)雜系統(tǒng)時會出現(xiàn)累積誤差，甚至是不收斂的情況。因此需要采用Piola-Kirchhoff 應(yīng)力張量推導(dǎo)出固定的彈性力的Jacobi 矩陣來修正上述方法［17］。對于天線模塊的結(jié)構(gòu)單元，其彈簧驅(qū)動裝置通過釋放壓縮彈簧提供外力，故整個天線反射器的彈性勢能與彈簧阻尼虛功為

式中：n為天線模塊數(shù)量；l0為未壓縮狀態(tài)下彈簧位置矢量；rp為彈簧力作用點的位置矢量；k、c分別為彈簧剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)。

由于空間微重力環(huán)境的特點，天線在展開狀態(tài)下重力近似為0。故廣義外力表示為

式中：F為作用在rp處的外力。

1.2 天線桁架系統(tǒng)的約束方程

天線反射器的動力學模型主要包括3 種約束，即受彈簧驅(qū)動的滑塊運動、桿件之間的鉸接約束以及桿件的剛性連接。所述天線模塊內(nèi)的滑塊屬于柱形接頭模型［18］，主要限制了滑塊沿桿件徑向的自由度。假定軌道記作物體m，滑塊記作物體n，在連接點a處兩者時刻保持接觸。約束方程為

式中：sm為滑塊在物體m上位移的距離；為物體m上滑塊的初始坐標；為物體n上連接點a的坐標；vn為物體n上在連接點a處的矢量，方向沿柱形接頭橫截環(huán)面的中心軸線方向分別為物體m、n的中心軸線方法向量。

為進一步限制滑塊接頭沿物體m轉(zhuǎn)動的自由度，需要增加約束方程為

旋轉(zhuǎn)鉸接約束是球形鉸接的一種特殊情況，在進行球形鉸接約束時，只需保證兩物體端點在連接點位置矢量相等而不約束轉(zhuǎn)動方向，即：

對于所述天線反射器模型，為保證模塊間不會發(fā)生糾纏，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)只允許一個自由度的相對轉(zhuǎn)動。由天線單模塊結(jié)構(gòu)特性可知，其中心桿與所有結(jié)構(gòu)單元的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的軸線方向始終保持垂直。假定天線單模塊的中心桿軸線的方向矢量為vc，物體m和n在旋轉(zhuǎn)鉸接點a處的分別沿關(guān)節(jié)軸線方向定義矢量為，旋轉(zhuǎn)鉸接點的約束方程如下：

由于ANCF 方法建立的是一般Euler-Bernoulli梁單元模型，而所研究的構(gòu)架式可展開天線模型具有很強的結(jié)構(gòu)非線性。

為消除非線性帶來的影響，需要對復(fù)雜桿件進行拆分，并通過剛性連接的方式進行約束。該剛性連接消除了所有相對平移與旋轉(zhuǎn)的自由度，其約束方程表示為

由于天線結(jié)構(gòu)單元結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，且桿件之間尺寸差距大，直接對整個結(jié)構(gòu)單元進行動力學并行求解會導(dǎo)致矩陣條件數(shù)過大，從而影響求解精度或是出現(xiàn)動力剛化的現(xiàn)象。因此需要對結(jié)構(gòu)單元拆分，運用模塊前向鏈式法求解。通過前行模塊動力學的解來不斷更新后續(xù)模塊的基準位置矢量與廣義力，能夠很好地減少計算累積誤差。模塊按照顏色劃分求解順序如圖3 所示。

圖3 基本單元內(nèi)拆分模塊的求解順序Fig.3 Solving order of the split blocks in the antenna basic units

1.3 天線多模塊擴展

由于單個模塊內(nèi)的6 個天線結(jié)構(gòu)單元和7 個天線模塊分別呈中心對稱且分布均勻，多模塊天線俯視圖如圖4 所示。以圖示坐標系為全局坐標系（右手系），天線結(jié)構(gòu)單元i上任意一點k在全局坐標系下的位置向量rk為

圖4 多模塊天線示意圖（俯視圖）Fig.4 Diagram of the multi-modular antenna（top view）

假定天線展開過程中，模塊間的夾角不變，則兩模塊之間的位置關(guān)系可通過4 個天線結(jié)構(gòu)單元來確定，如圖5 所示。

圖5 模塊間的位置關(guān)系Fig.5 Position relationship between two modules

根據(jù)圖5（a）中幾何關(guān)系，通過將兩模塊連接節(jié)點的廣義坐標進行疊加并歸一化，可以得到平面GH的單位法向量。若存在空間內(nèi)點M、N的廣義坐標為eM、eN，且其前3 項元素組成的時變矢量表示為e(x，y，z，t)，則有：

假定模塊1 位于多模塊天線的中心位置，其中心桿為O1P1且本體坐標系x1y1z1，P1K和P1K為兩中心桿的軸線延長線，如圖5（b）所示。模塊2 為與模塊1 連接的周邊模塊之一，中心桿為O2P2且本體坐標系x2y2z2，則周邊模塊的本體坐標系在全局坐標系下位置關(guān)系推導(dǎo)為

式中：vz1為中天線模塊本體坐標系z1軸的方向向量。

根據(jù)天線結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)單元的特性，可知：

式中：es(x1，y1，z1，t)和eu(x1，y1，z1，t)分別為中心模塊天線結(jié)構(gòu)單元中，即圖5（b）所示O1H或O1G位置上的結(jié)構(gòu)單元中的側(cè)桿與上肋桿對應(yīng)的位置矢量，方向指向點H。

O1O2連線的位置矢量為

若以中心模塊的本體坐標系為全局坐標系，則周邊任意一個本體坐標系下的廣義坐標為eBS的天線模塊，在全局坐標系下的坐標eGS為

1.4 動力學模型求解

絕對節(jié)點坐標法的動力學求解方程［19］為

式中：Q為外部施加的作用力、慣性力以及由變形產(chǎn)生的彈性力；Qc為由于單元之間連接所產(chǎn)生的約束力。

基于所研究天線基本單元的多體動力學系統(tǒng)存在上述各種約束關(guān)系，故而系統(tǒng)廣義坐標不獨立。利用相關(guān)動力學原理［17］，通過約束方程對時間進行二次求導(dǎo)，使其變?yōu)闀r變量，并引入Lagrange第一類方程進一步得到以下微分代數(shù)方程為

式中：Φq為約束方程的Jacobian 矩陣；λ為Lagrange乘子；C(e，t)為約束條件的代數(shù)方程組；Ce(e，t)為C(e，t)對廣義坐標向量求一階偏導(dǎo)數(shù)。

為避免求解發(fā)散的情況，對上述柔性多體動力學方程組進一步改進。本文采用Baumgarte 提出的一種基于控制反饋策略的約束穩(wěn)定性方法［20］，即在解中引入穩(wěn)定性系數(shù)，得到如下形式：

式中：Φ為代約束方程關(guān)于時間的二階導(dǎo)數(shù)部分；α和β為穩(wěn)定因子，其選取方式參考相關(guān)文獻［21］。

通過模塊前向鏈式方法對結(jié)構(gòu)單元拆分求解，并將式（23）和式（26）聯(lián)立，可以得到多模塊構(gòu)架式可展開天線中所有節(jié)點的位置矢量、速度與加速度信息。最終采用Newmark 方法對上述動力學方程進行求解。

2 多模塊天線展開精度分析

2.1 動力學模型驗證

由于所研究多模塊天線有近千個節(jié)點與梁單元，不便對每個節(jié)點的位移、速度加速度進行驗證說明。因此本文采用能量法［22］對所述天線的柔性多體動力學模型的準確性進行驗證。單元體的應(yīng)變能與勢能已分別在式（8）和式（10）中進行了描述，根據(jù)建立的動力學關(guān)系，對于任意梁單元上的任意點S，其在全局坐標系x1y1z1下的位置矢量為rS進行線性積分得到的動能表達式為

因此對于多模塊天線系統(tǒng)的動能表達式為

式中：Tj為鉸接點的動能。

構(gòu)架式天線展開過程較為緩慢，可將鉸鏈關(guān)節(jié)的阻尼近似視作黏性阻尼，并與展開角速度成正比。根據(jù)Rayleigh 耗散公式［23］，系統(tǒng)耗散能為

式中：ζ為黏性摩擦系數(shù)為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角速度。

天線桿件的主要材料采用碳纖維增強樹脂基（環(huán)氧樹脂）復(fù)合材料，其材料屬性設(shè)置見表2。

表2 天線桿件材料屬性Tab.2 Material properties of the antenna rods

以單模塊天線為例，本文通過上述方程對天線系統(tǒng)能量進行求解，得到仿真結(jié)果如圖6 所示。

圖6 系統(tǒng)能量變化曲線Fig.6 Curves of system energy over time

本文得到的整個天線展開過程持續(xù)210 s 左右。由于單模塊天線在展開過程中的彈性勢能首先轉(zhuǎn)化并存儲在曲柄滑塊機構(gòu)中，作為應(yīng)變能的形式引起結(jié)構(gòu)的變形。期間損耗的彈性勢能很小，故未在圖6 中表示出。再由應(yīng)變能驅(qū)動滑塊移動，從而導(dǎo)致動能的增加與后續(xù)結(jié)構(gòu)的彈性變形。在天線展開后期，為避免出現(xiàn)由于展開速度過大而導(dǎo)致天線結(jié)構(gòu)受到巨大沖擊的問題，本文通過繩索控制彈簧的展開速度，將天線展開過程中的動能耗散，保證天線能夠緩慢、平穩(wěn)地展開到預(yù)定型面。整個過程，包含耗散的能量和彈簧阻尼做的功，總能量保持趨近于零，從而通過能量守恒證明了本文柔性多體動力學仿真結(jié)果的可靠性。此外，圖中標注了根據(jù)能量守恒與彈簧機構(gòu)行程變化得到的系統(tǒng)理論動能，并與柔性系統(tǒng)動能進行比較。由于彈性變形導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)振動和彈性動量矩會產(chǎn)生額外的動能［24］，并且天線所有動能都來自彈簧展開機構(gòu)，即總動能近似相等。因此本文建立的柔性多體動力學模型符合真實的天線展開情況。

2.2 天線展開動力學結(jié)果分析

在天線的動力學模型得到驗證以后，為直觀展示天線展開進度與展開過程的順暢程度，在圖4 中選取中心模塊與周邊模塊2、3 的連接點為分析對象。其在x、y平面內(nèi)的徑向位移、速度、加速度以及徑向展開力的結(jié)果如圖7 所示。

圖7 天線展開動力學參數(shù)隨時間變化曲線Fig.7 Cureves of the antenna deploying dynamics parameters over time

續(xù)圖7 天線展開動力學參數(shù)隨時間變化曲線Continuoued Fig.7 Cureves of the antenna deploying dynamics parameters over time

在展開過程中，多模塊天線周邊的基本單元展開基本不受影響，而在模塊間連接點上的徑向展開力，可能會影響天線展開的順暢程度。上述結(jié)果旨在表現(xiàn)天線展開過程中，在x、y平面上中心模塊包絡(luò)變化的過程。前文所述模塊末端關(guān)節(jié)力的位置與方向等同于上述徑向展開力。可以看出：相較于整個展開運動順暢且平穩(wěn)；相較于未包含鉸鏈間隙的剛體動力學仿真結(jié)果，模塊末端關(guān)節(jié)力的結(jié)果更加貼切真實情況。兩種動力學建模方法下的模塊間連接點的徑向展開力進一步比較如圖8 所示。

圖8 兩種建模方法下的天線模塊末端節(jié)點上的徑向展開力隨時間變化曲線Fig.8 Radial unfolding force at the end node of the antenna module over time under two modeling methods

如圖8 所示，同比減少率=（未含鉸鏈間隙的剛體動力學計算結(jié)果-柔性體動力學計算結(jié)果）÷未含鉸鏈間隙的剛體動力學計算結(jié)果×100%。未含鉸鏈間隙的剛體動力學計算結(jié)果，在展開初期與柔性體動力學計算的結(jié)果差距很小。但隨著天線的展開，兩者差距逐漸加大。在展開完成時（即橫坐標為220 s 的條形圖），兩者的天線模塊間的徑向展開力相差約106倍。說明該型構(gòu)架式天線在忽略鉸鏈間隙的情況下，動力學理論分析的結(jié)果無法指導(dǎo)地面試驗的進行。然而如果引入數(shù)量龐大且非線性強的鉸鏈接觸模型，多模塊天線展開動力學的理論分析又難以順利進行。因此本文提供了另外一種思路，即上述柔性多體動力學建模方法。該方法能夠在避免處理眾多鉸鏈間隙模型的情況下，查驗天線的展開運動情況。此外，由于大型天線的展開過程十分平緩，需要確保在其展開過程中的衛(wèi)星姿態(tài)與振動不會影響天線展開的順暢性［25-26］。該方法得到的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，能夠為研究構(gòu)架式天線展開過程中的結(jié)構(gòu)動力學問題奠定基礎(chǔ)。

2.3 天線展開型面精度分析

為抵消鉸鏈間隙的影響，本文采用柔性動力學的分析方法，因此得到的展開后天線結(jié)構(gòu)的形變一定會大于實際情況。如果形變結(jié)果嚴重影響了最終天線的型面精度，則說明本文所采用的簡化方法不具備參考意義。因此需要進一步確認該模型下得到的天線型面是否符合設(shè)計期望。

由于多模塊構(gòu)架式天線的幾何組成特點，可將天線拆成基本單元來對比觀察本文得到的柔性體模型與期望型面下的模型之間的形變誤差影響，如圖9（a）所示?？梢钥闯?，雖然天線基本單元上的桿件在Y軸方向有較大形變誤差，但作為天線型面所需要的關(guān)鍵點下端的中心桿與側(cè)桿形變誤差很小。放大到天線單個模塊的模型中觀察，如圖9（b）所示，可以發(fā)現(xiàn)單模塊天線柔性體模型最終的展開完成度較高，基本不存在因形變誤差產(chǎn)生的卡頓與位置偏差問題。該結(jié)果進一步說明本文采用的無鉸鏈間隙的柔性體動力學分析方法能夠消除鉸鏈間隙模型對動力學分析的影響。

圖9 柔性體模型的形變誤差分析Fig.9 Deformation error analysis of the flexible model

為進一步研究本文采用柔性體模型的形變誤差對七模塊構(gòu)架式天線的整體型面精度的影響，通過觀察七模塊天線柔性體模型的擬合形面，如圖10 所示，可發(fā)現(xiàn)在x、y平面上的等高線圖分布較為均勻。說明不僅單個模塊的展開完成度高，各個模塊之間也不存在局部展開不到位的情況，即本文采用的柔性動力學方法在增加模塊的情況下仍然適用。

圖10 多模塊天線桁架系統(tǒng)柔性體模型的擬合型面Fig.10 Fitting profile of the flexible model for the multimodule antenna truss system

此外，通過比較七模塊天線桁架系統(tǒng)與期望模型的均方差（Root Mean Square，RMS）誤差值，得到如圖11 所示的多模塊型面精度誤差情況。

圖11 多模塊天線桁架系統(tǒng)的型面精度分析Fig.11 Profile accuracy analysis of the multi-modular antenna truss system

根據(jù)計算結(jié)果可知，整個多模塊柔性體模型相較于期望模型的RMS 誤差值為0.013 641 mm。對不同的關(guān)鍵點的型面精度誤差，最小的僅8.962 8×10-5mm，最大的接近0.04 mm。如圖11（b）所示，中心模塊關(guān)鍵點上的型面精度誤差最小，最大的型面精度誤差主要集中在多模塊天線周邊的關(guān)鍵點上。

這說明本文采用柔性動力學方法來處理多模塊構(gòu)架式展開天線，雖然能夠解決剛體動力學方法難以處理大量鉸鏈間隙非線性的問題，但在用結(jié)構(gòu)彈性形變抵消鉸鏈間隙影響的同時，柔性體模型產(chǎn)生的形變誤差最終會對天線的型面精度產(chǎn)生一定程度的影響。然而這種形變誤差對天線形面精度的影響很小且可被估計。因此，本文的柔性多體動力學建模方法對構(gòu)架式天線的設(shè)計與制造有實際參考意義。

3 結(jié)束語

本文為解決構(gòu)架式多模塊可展開天線的剛體動力學模型需要引入鉸鏈間隙，卻又因鉸鏈非線性強、數(shù)量過大而導(dǎo)致難以求解的問題。通過將鉸鏈間隙的影響轉(zhuǎn)化為彈性形變誤差的方法，對構(gòu)架式模塊化可展開天線進行了柔性多體動力學建模?；诮^對節(jié)點坐標法對單個桿件進行柔性梁單元建模，并采用了改進的梁單元模型來提高單元計算效率，減少計算過程中的矩陣膨脹。通過消除形函數(shù)的剛性項，避免計算時出現(xiàn)鎖定的問題。通過對復(fù)雜桁架系統(tǒng)進行模塊拆分和鏈式運算，引入穩(wěn)定系數(shù)與調(diào)整計算策略等方法，最終建立了含約束方程的柔性多體動力學模型。

通過天線結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系，建立了多模塊動力學模型。本文通過能量法，驗證了復(fù)雜桁架系統(tǒng)動力學模型的準確性，最終得到了天線模塊間徑向展開的動力學特性。本文對剛?cè)? 種動力學模型在同一位置的徑向展開力進行對比分析，說明了所建立的柔性動力學模型更加貼近實際情況，并且采用的無鉸鏈間隙的柔性體動力學分析方法能夠消除鉸鏈間隙模型對動力學分析的影響。此外，得到的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，能夠為研究構(gòu)架式天線展開過程中的結(jié)構(gòu)動力學問題奠定基礎(chǔ)［26］。通過分析天線展開后的型面精度情況，說明在用結(jié)構(gòu)彈性形變抵消鉸鏈間隙影響時，柔性體模型產(chǎn)生的形變誤差最終會對天線的型面精度產(chǎn)生了很小且可被估計的誤差。