王仲連,郭榮偉

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院) 數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 濟南 250353

混沌就是某些具有確定性的非線性系統(tǒng),在一定參數(shù)范圍內(nèi)能給出非周期的、表面看來很混亂的輸出,即來源于確定的體系的無規(guī)則運動?；煦绗F(xiàn)象揭示了在確定性和隨機性之間存在著由此及彼的橋梁,這在科學觀念上存在著深遠的意義。越來越多的學者從不同的角度來研究混沌系統(tǒng)的同步問題,從兩個相同系統(tǒng)的同步問題推廣到兩個不同系統(tǒng)的同步問題,甚至是兩個不同維數(shù)的混沌系統(tǒng)之間的同步問題[1-4]。這里需要重點指出的是上述研究結(jié)果大部分沒有考慮系統(tǒng)所受到的外部擾動,或者考慮的只是在某種意義下的有界擾動。事實上,對于一個系統(tǒng)來說,外部擾動是不可能完全避免的,并且有時系統(tǒng)所受到的擾動并不是有界的,比如在某一時刻系統(tǒng)受到了外部脈沖信號的干擾。因此,研究系統(tǒng)在外部干擾下的控制問題不僅具有重要的理論意義,而且具有重大的應(yīng)用價值。UDE方法[5-7]是近年來處理系統(tǒng)中模型不確定性和外部擾動的一個非常好的方法,對于一些有界的外部擾動,該方法能實現(xiàn)精確的估計,從而實現(xiàn)精確跟蹤或者漸近穩(wěn)定。但是,對于某種類型的無界擾動,該方法只能給出魯棒性的結(jié)果。受UDE思想的啟發(fā),通過尋找合適的函數(shù)進行卷積的方法對兩種類型的擾動分別設(shè)計了相應(yīng)的濾波器,均實現(xiàn)了控制目標。

四維超混沌金融系統(tǒng)[8]是一個的重要的經(jīng)濟學模型,其系統(tǒng)模型有四個變量,即貨幣、生產(chǎn)、勞動力和股票。該模型自提出以來,已經(jīng)取得了大量的研究成果[9-12]。然而,正如上面所介紹的,外部干擾的影響,特別是在無界的外部干擾的影響,并沒有被考慮。 因此,研究在無界的外部擾動下的四維金融超混沌系統(tǒng)的完全同步問題是非常重要和迫切的。

1 預(yù)備知識

定義1[1]:考慮如下的混沌系統(tǒng)

其中,x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài),g(x)是連續(xù)的向量函數(shù)。

設(shè)系統(tǒng)(1)是主系統(tǒng),則相應(yīng)的從系統(tǒng)為

其中,y∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài),g(y)是連續(xù)的向量函數(shù),B∈Rn×r是常矩陣,r≥1,u∈Rr是帶設(shè)計的控制器。

再令E=y-x,則誤差系統(tǒng)為

2 問題描述

考慮在外部擾動干擾下受控的四維超混沌金融系統(tǒng)[8]

其中,x∈R4是系統(tǒng)的狀態(tài),f(x)∈R4是連續(xù)的向量函數(shù),d(t)∈R4是外部擾動,即

外部擾動d(t)有兩種情況:

情況1:

情況2:

其中A,C是未知非零常數(shù)。

令系統(tǒng)(4)為主系統(tǒng),則從系統(tǒng)為

其中,y∈R4是系統(tǒng)的狀態(tài),f(y)∈R4是連續(xù)的向量函數(shù)。

本文的主要目的是設(shè)計控制器u∈R使得

即主系統(tǒng)(4)和從系統(tǒng)(8)達到了完全同步。

3 主要結(jié)果

為了實現(xiàn)系統(tǒng)對外部干擾的抑制,受UDE思想的啟發(fā),對常數(shù)類型的有界擾動和多項式乘以三角函數(shù)類型的無界擾動分別設(shè)計了相應(yīng)的濾波器,并實現(xiàn)了對上述干擾的精確抑制。

定理1 如果常數(shù)類型的有界擾動d1(t)=C,其中C是未知常數(shù),則設(shè)計的濾波器為

其中,k是一個正數(shù)。

證明:當t→∞時

定理2 如果無界的外部擾動為d1(t)=Atsin(t),其中A是未知常數(shù),則設(shè)計的濾波器為

證明:因為

而計算如下卷積得到

定理3 考慮主系統(tǒng)(4)和從系統(tǒng)(8)對于公式(6)所表示的有界擾動,設(shè)計的同步控制器如下:

u=us+ud, (11)

其中,

us=k(t)(1,0,0,0)E=k(t)E1, (12)

E=x-y,Gf(s)見公式(9),

證明:令E=x-y,則誤差系統(tǒng)為

其中,

注意到,若E1=0,則下面的系統(tǒng)

是漸近穩(wěn)定的。

再對下面的方程兩邊取Laplace變換

整理可得到公式(13)中的ud。

對于第二種情況的擾動,證明過程類似,本文直接給出如下的結(jié)論。

定理4 考慮主系統(tǒng)(4)和從系統(tǒng)(8)對于公式(7)所表示的無界擾動,設(shè)計的同步控制器為

u=us+ud, (18)

其中us見公式(12),

E=x-y,Gf(s)見公式(10),k(t),F1(y,E)見公式(14)。

4 數(shù)值仿真

情況1:公式(6)所示的有界擾動。

選擇主系統(tǒng)(4)的初值為x(0)=[1,2,-3,4],從系統(tǒng)(8)的初值為y(0)=[5,-2,3,2],反饋增益的初值k(0)=-1,d1(t)=100。MATLAB仿真結(jié)果見圖1、圖2、圖3。

圖1 誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

圖2 動態(tài)反饋增益k(t)漸近收斂到一個合適的常數(shù)

圖漸近收斂到d1(t)

情況2:公式(7)所示的無界擾動。

選擇主系統(tǒng)(4)的初值為x(0)=[3,2,5,2],從系統(tǒng)(8)的初值為y(0)=[3,2,5,2],反饋增益的初值k(0)=-1,擾動d1(t)=10tsint。MATLAB仿真結(jié)果見圖4、圖5、圖6。

圖4 誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

圖5 動態(tài)反饋增益k(t)漸近收斂到一個合適的常數(shù)

圖漸近收斂到d1(t)

5 結(jié) 論

本文用基于擾動估計器的控制方法研究了四維混沌金融系統(tǒng)的完全同步問題。受UDE思想的啟發(fā),對于常數(shù)類型的有界外部擾動和多項式乘以三角函數(shù)類型的無界外部擾動,分別設(shè)計了相應(yīng)的濾波器,并設(shè)計了相應(yīng)的控制器,從而實現(xiàn)了該系統(tǒng)的完全同步問題。首次解決了在某種無界的外部擾動下四維超混沌金融系統(tǒng)的完全同步問題。數(shù)值仿真結(jié)果驗證了理論結(jié)果的正確性和有效性。

獲得的理論結(jié)果經(jīng)過適當?shù)匦薷目赏茝V到研究一般的非線性系統(tǒng)的干擾抑制問題,為研究非線性系統(tǒng)的各種控制問題提供了理論支持。