廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué)(528500) 王順耿

在圓錐曲線中,焦點(diǎn)弦問題性質(zhì)多且推演繁,探本溯源發(fā)現(xiàn)有一類問題誕于“三角形角平分線”,可以拋開解析幾何繁雜的代數(shù)演算,用幾何方法逐步探研.

1 源起

為探研圓錐曲線焦點(diǎn)弦性質(zhì),先復(fù)述一下三角形角平分線定理:如圖1,在?ABC中,若則AD(或AD′)為∠BAC內(nèi)(或外)角的平分線.

圖1

命題0F為圓錐曲線一焦點(diǎn),圓錐曲線非焦點(diǎn)弦AB所在直線交對應(yīng)的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則FC平分FA與FB夾角的外(或內(nèi))角.

證明在拋物線(圖2)中,過A、B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為M、N,由拋物線定義得FA=AM、FB=BN,則有據(jù)三角形角平分線定理得FC平分FA與FB夾角的外角.

圖2

同理,在橢圓(圖3)、雙曲線(圖4、5)中,由橢圓及雙曲線定義得FA=e · AM、FB=e · BN,則有所以FC平分FA與FB夾角的外角,圖5 中FC平分FA與FB夾角的內(nèi)角.

圖3

圖4

圖5

2 探究

性質(zhì)1AB是圓錐曲線的一條焦點(diǎn)弦,P是圓錐曲線上異于A、B的一點(diǎn),若PA、PB分別交對應(yīng)的準(zhǔn)線于M、N,則∠MFN是直角.

證明在拋物線(圖6)、橢圓(圖7)、雙曲線(圖8)中,連結(jié)FP,由命題0 知FM平分∠PFB、FN平分∠PFA,又∠PFA+∠PFB=π,所以雙曲線的其它情形,同理可證.

圖6

圖7

圖8

性質(zhì)2AB是圓錐曲線的一條焦點(diǎn)弦,P是圓錐曲線上異于A、B的一點(diǎn),PA、PB分別交對應(yīng)準(zhǔn)線于M、N,又PF交圓錐曲線于另一點(diǎn)S,則M、B、S三點(diǎn)共線,N、A、S三點(diǎn)也共線.

證明在拋物線(圖9)、橢圓(圖10)、雙曲線(圖11)中,連結(jié)FN、FM,對頂角∠AFP=∠BFS,由命題0 知FM是∠AFP外角的平分線,也是∠BFS外角的平分線,所以也由命題0 知直線SB必經(jīng)過點(diǎn)M,即M、B、S三點(diǎn)共線;同理可證FN是對頂角∠BFP,∠AFS外角的平分線,則直線SA必經(jīng)過點(diǎn)N,N、A、S三點(diǎn)也共線.雙曲線的其它情形,同理可證.

圖9

圖10

圖11

綜合性質(zhì)1 和性質(zhì)2,可得如下等價(jià)性質(zhì).

等價(jià)性質(zhì)AB、PS是圓錐曲線的兩條焦點(diǎn)弦,若AS、BP相交,其交點(diǎn)N必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,則AP、BS也相交,其交點(diǎn)M也必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,反之亦然,且∠MFN是直角.

3 推廣

下面將命題0 進(jìn)行推廣.

命題1F為圓錐曲線一焦點(diǎn),若圓錐曲線在A點(diǎn)處的切線交對應(yīng)的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,則∠AFC是直角.

證明以拋物線(圖12)為例,其它圓錐曲線證法相同.在圖2 中,FC平分FA與FB夾角的外角,當(dāng)點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動至重合時(shí),割線CBA變成了切線CA,FA與FB夾角的外角變成平角,所以.

圖12

性質(zhì)3AB是圓錐曲線的一條焦點(diǎn)弦,若圓錐曲線在兩端點(diǎn)A、B處的切線相交,則交點(diǎn)C落在對應(yīng)的準(zhǔn)線上,且FC⊥AB.

證明以拋物線(圖13)為例,其它圓錐曲線證法相同.由命題1 知,,即FC⊥AB;同理,過點(diǎn)B作切線BC′交準(zhǔn)線于C′,也有FC′⊥AB,則C′與C重合,命題得證.

圖13

性質(zhì)4AB、PS是圓錐曲線兩條相互垂直的焦點(diǎn)弦,若過端點(diǎn)A、B的切線相交,其交點(diǎn)M必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,若過端點(diǎn)P、S的切線相交,其交點(diǎn)N也必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,且∠MFN是直角.

證明為方便作圖,以橢圓(圖14)為例,其它圓錐曲線證法相同.由性質(zhì)3 知,過點(diǎn)A、B的切線相交,其交點(diǎn)M必在準(zhǔn)線上,且FM⊥AB;同理,過點(diǎn)P、S的切線相交,其交點(diǎn)N也在準(zhǔn)線上,FN⊥PS,故∠MFN為直角.

圖14

命題2圓錐曲線的焦點(diǎn)為F,若(對應(yīng)一支上的)兩條弦PA、PB延長后,分別交對應(yīng)準(zhǔn)線于M、N,則當(dāng)A、F、B共線時(shí),.

證明以雙曲線(圖15)為例,其他圓錐曲線證法相同.設(shè)∠AFP=α,∠BFP=β,由命題0 知.又,∠AFB=2π?(α+β),所以成立.弦PA、PB其它位置情形,同理可證.

圖15

特別地,當(dāng)A、F、B共線時(shí),AB為焦點(diǎn)弦,∠AFB=π,則與性質(zhì)1 一致.

4 應(yīng)用

利用上面所得結(jié)論,可以方便解決一些問題.

例1AB是橢圓(或雙曲線)的焦點(diǎn)弦,PS是橢圓(或雙曲線)的長軸(或?qū)嵼S),則AS、BP相交,其交點(diǎn)M必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,AP、BS相交,其交點(diǎn)N也必在對應(yīng)準(zhǔn)線上,且∠MFN是直角.

證明在圖16、17 中,PS是橢圓(或雙曲線)的長軸(或?qū)嵼S),也是橢圓(或雙曲線)一條特殊的焦點(diǎn)弦,根據(jù)“等價(jià)性質(zhì)”易知此命題正確.

圖16

圖17

例2P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸(或?qū)嵼S)端點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn),F1、F2為左右焦點(diǎn),直線PA、PB分別交左準(zhǔn)線于M、N,交右準(zhǔn)線于G、H,則.

證明在圖18、19 中,將長軸(或?qū)嵼S)AB看作為經(jīng)過焦點(diǎn)的弦,直線PA、PB分別交左準(zhǔn)線于M、N,交右準(zhǔn)線于G、H,由性質(zhì)1 得.

圖18

圖19

例3P為橢圓(或雙曲線)上異于長軸(或?qū)嵼S)端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F1、F2為左右焦點(diǎn),直線PF1交橢圓于A、交右準(zhǔn)線于G,直線PF2交橢圓于B、交左準(zhǔn)線于N,又直線AB交左、右準(zhǔn)線于M、H,則.

證明在圖20、21 中,PA為焦點(diǎn)弦,B為異于P、A的另一點(diǎn),BP、BA交左準(zhǔn)線于N、M,由性質(zhì)1 得同理可知.

圖21

例4已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過橢圓的左焦點(diǎn)F1的定直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),Q是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),AQ、BQ與橢圓的右準(zhǔn)線交于M′、N′兩點(diǎn),則∠M′F2N′為定值.

證明在圖22 中,由命題2 得.因?yàn)橹本€AB是確定的,并且橢圓也是確定的,則焦點(diǎn)F2也是確定的,故?ABF2也是確定的,∠AF2B是定值,所以∠M′F2N′為定值.同理,雙曲線也有同樣性質(zhì).

圖22

例5AB是拋物線的焦點(diǎn)弦,A′、B′分別為點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn),M是準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn),則M、A′、B三點(diǎn)和M、A、B′三點(diǎn)都共線.

證明在圖23 中,A′、A關(guān)于x軸對稱,則直線A′A與拋物線準(zhǔn)線平行,可以看作與準(zhǔn)線相交于無窮遠(yuǎn)處的N點(diǎn),FN垂直x軸,若由點(diǎn)A′向A、B所作的兩直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N、M,由性質(zhì)1 得∠MFN是直角,則M、A′、B三點(diǎn)共線,同樣可證M、A、B′三點(diǎn)也共線.同理,橢圓和雙曲線也有相同的性質(zhì).

圖23

本文用簡潔、直觀的幾何方法探研圓錐曲線中源于三角形角平分線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì),避免了冗長繁瑣的代數(shù)運(yùn)算,旨在拋磚引玉,希望有更多的性質(zhì)可通過幾何方法探究、簡捷解決.