長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)科(434023) 孫 浩 劉彩云

1 引言

美國著名的教育心理學(xué)家奧蘇貝爾提出:“內(nèi)驅(qū)力是指學(xué)生學(xué)習(xí)的社會性需求.這種需求一旦產(chǎn)生,學(xué)生便對學(xué)習(xí)表現(xiàn)出一定程度的興趣、主動積極的情感態(tài)度、良好的注意和克服困難的意志努力, 從而發(fā)動并維持學(xué)習(xí)行為的進(jìn)行,使其積極投入到學(xué)習(xí)活動中去.”簡言之,內(nèi)驅(qū)力就是內(nèi)部動力,也就是動機(jī).因此要想學(xué)生主動投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,就要采取各種有效措施激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力.法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊曾說:“如果我們想要預(yù)測數(shù)學(xué)的未來,那么適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門學(xué)科的歷史和現(xiàn)狀.”[1]毫無疑問,數(shù)學(xué)的跌宕發(fā)展歷史可以吸引學(xué)生,激發(fā)學(xué)生的好奇心,使其產(chǎn)生積極主動的態(tài)度.

課程思政主要形式是將思想政治教育元素融入到各門課程中去,潛移默化地對學(xué)生的思想意識、行為舉止產(chǎn)生影響.課程思政首先展現(xiàn)的是一種科學(xué)思維;其次是創(chuàng)新思維,在課程思政建設(shè)的過程中,也需要?jiǎng)?chuàng)新思維來實(shí)現(xiàn)課程思政的創(chuàng)新發(fā)展.[2]目前全國盛行課程思政,可以以數(shù)學(xué)史為載體進(jìn)行課堂思政,從新的方向探索課堂思政的途徑,使課堂思政蓬勃發(fā)展.

本文以人教版高中數(shù)學(xué)必修二第七章第一節(jié)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”為例,探討如何在課堂中用數(shù)學(xué)史帶動學(xué)生內(nèi)驅(qū)力,如何用數(shù)學(xué)史豐富課堂思政.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

2.1 情境引入

師: 同學(xué)們,大家好.很高興和大家共同學(xué)習(xí)必修二第七章第一節(jié)的有關(guān)內(nèi)容,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念.首先請同學(xué)們跟隨老師回顧一下我們從小到大的數(shù)是如何產(chǎn)生的.數(shù)這一概念源于事物個(gè)數(shù)的表示,在社會發(fā)展中,逐步學(xué)會了以對應(yīng)的方法來表示事物的個(gè)數(shù),如“屈指”計(jì)數(shù),“結(jié)繩”計(jì)數(shù)、“堆石子”計(jì)數(shù)等,然后人們從計(jì)數(shù)過程中抽象出數(shù)字0、1、2、3、4......并將它們稱為自然數(shù).接著是哪個(gè)數(shù)產(chǎn)生了呢?

生: 隨著生產(chǎn)生活的發(fā)展,人們意識到僅用數(shù)量表示一個(gè)事物是不全面的,還應(yīng)加上表示方向的符號,因此為了表示相反意義的量,負(fù)數(shù)產(chǎn)生了.

師: 是的,看來同學(xué)們對數(shù)的歷史發(fā)展都有一定的了解.漸漸地,人們發(fā)現(xiàn)僅僅有整數(shù)是不夠的,例如在等額分配問題中,三個(gè)人分兩個(gè)蘋果,每個(gè)人應(yīng)分得多少呢? 該結(jié)果無法用整數(shù)表示,于是......

生: 分?jǐn)?shù)出現(xiàn)了!

師: 沒錯(cuò).早在五百年前,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的優(yōu)秀弟子發(fā)現(xiàn)在邊長為1 的正方形中,其對角線長無法用整數(shù)之比,也就是無法用有理數(shù)來表示,他的這一發(fā)現(xiàn)使無理數(shù)第一次出現(xiàn)在人們面前,而且求得邊長為1 的正方形的對角線長引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī), 同學(xué)們有興趣可以課后了解一下.現(xiàn)在相信每一位同學(xué)都可以靈活的運(yùn)用根號進(jìn)行無理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算,但同學(xué)們知道嗎? 從公元前500年無理數(shù)的第一次發(fā)現(xiàn),到17 世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾引入根號這一符號再到19 世紀(jì)無理數(shù)體系的完全確立,整整經(jīng)歷了2300 多年.

生: 原來數(shù)學(xué)史的發(fā)展這么曲折,我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的一個(gè)小知識都可能是數(shù)學(xué)家們經(jīng)歷上百年近千年創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的.

師: 是啊,這是一個(gè)長期且艱難的過程.那么總結(jié)一下數(shù)系的擴(kuò)充過程是怎樣的呢?

生: 由自然數(shù)系擴(kuò)充到整數(shù)系,再擴(kuò)充到有理數(shù)系,最后擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系.

師: 很好,我們也可以用Venn 圖進(jìn)行表示.其實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充中有兩個(gè)字一直推動著數(shù)系的發(fā)展,那就是運(yùn)算.在自然數(shù)集中,加乘封閉;接著引入整數(shù)是我們減法的需要;在有理數(shù)集中可以進(jìn)行加減乘除;在實(shí)數(shù)集中運(yùn)算就已經(jīng)完備了.那同學(xué)們有沒有發(fā)現(xiàn)在運(yùn)算過程中什么是一直不變的呢?

生: 是運(yùn)算律.

師: 對,在數(shù)系擴(kuò)充過程中運(yùn)算律是保持不變的,這也是數(shù)系擴(kuò)充的一大特點(diǎn).同學(xué)們還能不能發(fā)現(xiàn)其他的特點(diǎn)呢?

生: 老師,我發(fā)現(xiàn)擴(kuò)充后的數(shù)集仍然包括原來的數(shù)集.

師: 很好,這樣我們就總結(jié)出了數(shù)系擴(kuò)充的兩大特點(diǎn).

生: 老師,數(shù)系擴(kuò)充到實(shí)數(shù)就結(jié)束了嗎? 還能不能繼續(xù)擴(kuò)充呢?

師: 同學(xué)們提出的這個(gè)問題很有價(jià)值,很多數(shù)學(xué)家們之所以成為數(shù)學(xué)家,其原因就在于他們能勤于思考,勤于提問題,勤于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中不完備的地方,勤于探究數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域.大家想知道數(shù)系能否繼續(xù)擴(kuò)充,咱們先看這樣一個(gè)問題.

設(shè)計(jì)意圖課堂開始帶領(lǐng)同學(xué)們回顧數(shù)的發(fā)展歷史,既可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程,又可以讓學(xué)生融入數(shù)學(xué)史,激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力;同時(shí)通過啟發(fā)學(xué)生,讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)家的角度提出問題,推動課堂進(jìn)展.

2.2 探究新知

師: 有沒有兩個(gè)數(shù)和為10,積為40 呢?

生: 設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x,y,可得方程即x2-10x+4=0,Δ＜0,所以無解.

師: 看來同學(xué)們都是用咱們學(xué)過的知識求得無解.其實(shí)這個(gè)問題是1545年,意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、醫(yī)學(xué)家卡爾達(dá)諾(又稱卡丹、卡爾丹)在他的《重要的藝術(shù)》一書中提出的,但是卡爾達(dá)諾并不是求得無解,而是得到結(jié)果為和

(學(xué)生疑惑)

師: 其實(shí)當(dāng)時(shí)的卡爾達(dá)諾也像同學(xué)們一樣疑惑,負(fù)數(shù)怎么能開根號呢? 但是咱們先拋開疑惑算一下這兩個(gè)數(shù)的和是否為10,積是否為40 呢?

師: 沒錯(cuò),可以說卡爾達(dá)諾是受著良心的譴責(zé)寫出了這兩個(gè)在當(dāng)時(shí)并不被人們接受的數(shù),他雖然是歷史上第一個(gè)把負(fù)數(shù)平方根寫進(jìn)公式中的數(shù)學(xué)家,但是他并不承認(rèn)它的存在,卡爾達(dá)諾心想這數(shù)太詭異了,所以稱它為“詭辯式的數(shù)”,也因此與數(shù)學(xué)的一大發(fā)現(xiàn)失之交臂.

生: 那太遺憾了,老師,我相信肯定還有其他數(shù)學(xué)家繼續(xù)研究負(fù)數(shù)平方根.

師: 是的,1572年,意大利數(shù)學(xué)家拉斐爾·邦貝利在他的《代數(shù)》一書中討論了三次方程的根,他首先利用因式分解求解方程x3+15x+4=0,得到三個(gè)實(shí)數(shù)解為這是在當(dāng)時(shí)看起來很正常的三個(gè)實(shí)數(shù)解;但是這個(gè)方程并沒有這樣結(jié)束,而是邦貝利又用卡爾達(dá)諾發(fā)明的用于解一元三次方程的卡爾達(dá)諾公式求解了一下,卡爾達(dá)諾公式就是對形如x3+px+q= 0(p ＞0,q ＞0)方程求解的其中一個(gè)求根公式:那么利用求根公式求出來的其中一個(gè)解是什么呢?

師: 沒錯(cuò),那它對應(yīng)通過因式分解求出來的三個(gè)根中的哪個(gè)呢?

生: 好像都不是,是卡爾達(dá)諾公式出錯(cuò)了嗎?

細(xì)胞胞漿可見的棕黃色顆粒為β-catenin蛋白的陽性表達(dá)，棕黃色顆粒越多，表達(dá)越明顯。高脂造模后，模型組中β-catenin蛋白表達(dá)明顯高于正常組（P＜0.01）；與模型組相比，三種藥物均能降低β-catenin ，Wnt抑制劑WIF降低作用較強(qiáng)（P＜0.01），護(hù)心康組和阿托伐他汀組也有明顯的降低作用（P＜0.05）；WIF降低β-catenin的作用較阿托伐他汀強(qiáng)（P＜0.05），圖2、表2。

師: 當(dāng)時(shí)邦貝利也和同學(xué)們有相同的疑問,他多次檢查公式并計(jì)算,發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)果是正確的,他想這個(gè)結(jié)果是兩項(xiàng)相加,還能不能繼續(xù)化簡呢? 這兩項(xiàng)的區(qū)別是什么呢?

生: 只相差一個(gè)符號.

(學(xué)生思考)

設(shè)計(jì)意圖以數(shù)學(xué)史中的數(shù)學(xué)問題等為線索,以具體的數(shù)學(xué)史情境為背景,讓學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)史,以數(shù)學(xué)家的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,一改直接教授知識的課堂,利用數(shù)學(xué)史激發(fā)學(xué)生的好奇心,使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,從而主動積極探究,烘托了課堂氣氛.

2.3 新知構(gòu)建,例題講解

師: 不知道同學(xué)們心中是否有了自己的解決方法.為了解決負(fù)數(shù)開平方問題,我們可設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i,并規(guī)定:i2=-1 且實(shí)數(shù)可以與i 進(jìn)行四則運(yùn)算,運(yùn)算時(shí)滿足加、乘的運(yùn)算律(交換、結(jié)合、分配律),這個(gè)i 最早是在1777年,歐拉首次提出的,我們稱之為虛數(shù)單位[3].

生: 為什么用i 這個(gè)字母而不用其他的呢?

師: i 是取自笛卡爾創(chuàng)立的虛數(shù)imaginary 一詞的首字母,原義是它只存在于虛幻之中,這樣同學(xué)們就能更加清晰地記住這個(gè)字母了.實(shí)數(shù)可以與i 進(jìn)行四則運(yùn)算,實(shí)數(shù)a與i 相加可以寫為...

師: 實(shí)數(shù)a與i 相乘可以寫為...

生:bi.

師: 實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b與i 的積相加,結(jié)果記作...

生:a+bi.

師: 很好,那同學(xué)們思考并小組討論能否用一個(gè)統(tǒng)一的形式來表示這些結(jié)果呢?

(小組討論)

生: 可以用a+bi 表示.

師: 同學(xué)們的思維都非?；钴S,但是這個(gè)結(jié)果是不是缺少什么東西呢?a和b有沒有范圍呢?

生:a,b ∈R.

師: 對,那么這個(gè)統(tǒng)一的形式或者說這個(gè)新數(shù),我們就寫為a+bi(a,b ∈R).其實(shí)從虛數(shù)單位的引入到新數(shù)系的完全確立,其中經(jīng)歷了200 多年,一個(gè)新數(shù)系想要確立的最大難點(diǎn)在于突破人們的認(rèn)知障礙,隨著虛數(shù)單位的引入、新數(shù)a+bi(a,b ∈R)的構(gòu)造,為了確定新數(shù)系,我們還應(yīng)該確定哪些相關(guān)概念呢? 帶著這個(gè)問題我們將進(jìn)行接下來的學(xué)習(xí).

首先是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念: 形如a+bi(a,b ∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b ∈R),這一表達(dá)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,其中a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部;全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集,一般用C表示,即C={a+bi|a,b ∈R}[4].

例1寫出復(fù)數(shù)

的實(shí)部和虛部(學(xué)生回答).

師: 在之前學(xué)實(shí)數(shù)的過程中,確定完實(shí)數(shù)概念后對實(shí)數(shù)進(jìn)行了一系列分類,同學(xué)們能否類比實(shí)數(shù)的分類對復(fù)數(shù)的分類提出自己的想法呢?

師: 從Venn 圖中可以看出實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的什么呢?

生: 子集.

師: 具體來說是...

生: 真子集.

例2說明這些數(shù)中,哪些是實(shí)數(shù),哪些是虛數(shù),哪些是純虛數(shù)? (學(xué)生回答)

師: 由剛剛學(xué)習(xí)的概念,我們不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)復(fù)數(shù)其實(shí)是由它的實(shí)部、虛部共同決定的,如果我們在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)復(fù)數(shù),如何判斷這兩個(gè)復(fù)數(shù)是否相等呢?

在復(fù)數(shù)集C={a+bi| a,b ∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),我們規(guī)定:a+bi=c+di ?a=c且b=d.

生: 也就是如果兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,則這兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部對應(yīng)相等,虛部對應(yīng)相等.

師: 很好,那兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎?

生: 虛數(shù)帶i 怎么比較大小呢?

師: 復(fù)數(shù)帶i 是無法比較大小的,只有兩個(gè)復(fù)數(shù)都為實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小,虛數(shù)和實(shí)數(shù)、虛數(shù)和虛數(shù)之間不能比較大小.

例3若4+bi=a-2i,求實(shí)數(shù)a,b的值(學(xué)生回答).

設(shè)計(jì)意圖在知識的講解中仍然穿插數(shù)學(xué)史的內(nèi)容,同時(shí)在每個(gè)知識點(diǎn)后安排習(xí)題,及時(shí)鞏固內(nèi)容.

2.4 課堂小結(jié),延伸課堂

師: 以上就是我們今天學(xué)習(xí)的新內(nèi)容,接下來請同學(xué)們跟隨老師的思路一起回顧今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容.今天我們通過數(shù)字發(fā)展的片段了解了數(shù)系的擴(kuò)充過程,并且跟隨著數(shù)學(xué)史的發(fā)展站在數(shù)學(xué)家的角度通過解決一系列問題引入了虛數(shù)單位i,并構(gòu)造新數(shù)a+bi(a,b ∈R);為了得到完整的數(shù)系定義,我們對復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)集及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式給出了數(shù)學(xué)解釋;同時(shí)我們類比實(shí)數(shù)得到了復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等的概念.同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中有沒有體會到用了什么數(shù)學(xué)思想呢?

生: 類比推理.

師: 很好.復(fù)數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛,可以用在量子力學(xué)、流體力學(xué)信號分析等領(lǐng)域.

生: 老師,數(shù)系還能再擴(kuò)充嗎?

師: 同學(xué)們能提出這個(gè)問題說明確實(shí)認(rèn)真思考過了,其實(shí)現(xiàn)在也有數(shù)學(xué)家在研究這個(gè)問題,希望同學(xué)們經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí),能夠根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的特點(diǎn)尋找數(shù)學(xué)中的矛盾,說不定有一天你們也能建立一個(gè)新的數(shù)系.

2.5 作業(yè)布置

必修二第70 頁練習(xí)1、2、3 和研究性作業(yè): 借助信息網(wǎng)絡(luò),探究復(fù)數(shù)在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用,并寫一份研究小報(bào)告.

3 教學(xué)反思

3.1 追隨數(shù)學(xué)步伐,沐浴課堂思政

在數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念這一節(jié)的教學(xué)中,是在數(shù)學(xué)史的基礎(chǔ)上實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動,也就是在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中,根據(jù)數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程進(jìn)行設(shè)計(jì),從而讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)家的角度,引導(dǎo)學(xué)生重復(fù)數(shù)系擴(kuò)充的關(guān)鍵步驟,進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的理解.數(shù)學(xué)史作為課程思政的一種形式有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的發(fā)展,將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想結(jié)合起來,使學(xué)生更好的把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò),理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界,增強(qiáng)其創(chuàng)造性和創(chuàng)新性,知道一些數(shù)學(xué)知識從何而來,為何而來,是誰歷經(jīng)了困難將其證明出來提供給世人學(xué)習(xí),在經(jīng)歷數(shù)學(xué)史的過程中進(jìn)行知識的建構(gòu),使抽象的數(shù)學(xué)知識和方法變得更加靈活生動[5].在本節(jié)課中,教師將復(fù)數(shù)的發(fā)展脈絡(luò)呈現(xiàn)給學(xué)生,讓學(xué)生親身體驗(yàn)虛數(shù)單位等的由來、復(fù)數(shù)體系的建構(gòu);同時(shí),也能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)家的故事,從而給學(xué)生樹立正面榜樣,激勵(lì)學(xué)生直面挫折,例如數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾發(fā)現(xiàn)了負(fù)數(shù)平方根但沒有承認(rèn),從而錯(cuò)失了機(jī)會,邦貝利勇于探索負(fù)數(shù)平方根,進(jìn)而解決了負(fù)數(shù)平方根與實(shí)數(shù)之間的矛盾,啟發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中要有創(chuàng)新思維,勇于突破原有數(shù)學(xué)知識的禁錮.

3.2 追隨數(shù)學(xué)步伐,激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力

課堂如果枯燥無味,學(xué)生必然對所學(xué)知識毫無興趣,因此,數(shù)學(xué)課堂不能只是數(shù)學(xué)知識的講解以及練習(xí)的循環(huán)往復(fù),而是應(yīng)該讓學(xué)生真正對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣.因此可以在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,首先數(shù)學(xué)史本身就是人類探索的過程,在老師的啟發(fā)指導(dǎo)下,這些過程很容易被學(xué)生接受;其次根據(jù)歷史發(fā)展脈絡(luò)講解知識可以加深學(xué)生對知識的的體驗(yàn)性,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的親近感;最后,數(shù)學(xué)家的事跡有助于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度,激發(fā)學(xué)生的動機(jī)[6].將數(shù)學(xué)史穿插在課堂中,能夠激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,激發(fā)學(xué)生內(nèi)驅(qū)力,從而提高課堂教學(xué)效率,增強(qiáng)課堂氛圍.