屈 毅

(咸陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院 陜西 咸陽 712000)

0 引 言

隨機(jī)系統(tǒng)控制是控制領(lǐng)域中的一個(gè)研究方向,是用差分或微分方程定義的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),系統(tǒng)變量的服從高斯統(tǒng)計(jì)特性,已形成較為完整的理論體系[1-5]。但是在許多工業(yè)生產(chǎn)過程中,系統(tǒng)變量的統(tǒng)計(jì)特性不滿足高斯或者對(duì)稱分布。Wang[6]提出了隨機(jī)分布控制統(tǒng)計(jì)理論,建立系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)了概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)控制策略,經(jīng)過二十多年的研究與發(fā)展,初步構(gòu)建了建模和控制理論,在建模方面,主要有線性B樣條、平方根B樣條、有理平方根B樣條和有理B樣條等模型理論[6-25];在控制算法方面,主要有線性系統(tǒng)控制、偽ARMAX系統(tǒng)控制、基于迭代學(xué)習(xí)控制、最小熵控制和自適應(yīng)控制等算法[6-25]。

近年來,眾多研究者在隨機(jī)分布系統(tǒng)控制方面做出了一定的成效。例如,文獻(xiàn)[8]提出了時(shí)滯系統(tǒng)的保性能控制方法;文獻(xiàn)[9,15,23]研究了自適應(yīng)容忍控制算法;文獻(xiàn)[10]研究了基于神經(jīng)的保性能控制策略;文獻(xiàn)[11]提出了基于調(diào)和因子的容忍控制方法;文獻(xiàn)[12,16,20,24]研究了時(shí)滯系統(tǒng)的故障檢測(cè)與診斷控策略;文獻(xiàn)[12,16,20,24]提出了時(shí)滯奇異系統(tǒng)的故障檢測(cè)與診斷算法;文獻(xiàn)[14]研究了基于PBF網(wǎng)絡(luò)的容忍控制;文獻(xiàn)[18-19,21]提出了基于學(xué)習(xí)因子的追蹤控制方法;文獻(xiàn)[22]研究了模糊隨機(jī)分布系統(tǒng)的故障檢測(cè)策略。隨機(jī)分布系統(tǒng)雖已建立了一定的理論基礎(chǔ),但未知的領(lǐng)域還需繼續(xù)研究與開拓。

對(duì)于非高斯連續(xù)隨機(jī)分布系統(tǒng)追蹤控制及控制中的干擾抑制問題,現(xiàn)有的文獻(xiàn)鮮有報(bào)道。針對(duì)該問題,本文通過平方根B樣條逼近建立系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)模型(靜態(tài)模型)和動(dòng)態(tài)權(quán)值模型,接著設(shè)計(jì)神經(jīng)PID控制器?？刂破鞯哪繕?biāo)是在滿足系統(tǒng)規(guī)定的性能指標(biāo)前提下,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)對(duì)目標(biāo)概率密度函數(shù)的追蹤。

1 建立系統(tǒng)靜態(tài)模型

對(duì)于隨機(jī)分布系統(tǒng),如圖1所示,在定義區(qū)間[a1,a2],概率密度函數(shù)τ(y,x(t))γ(y,u(k))是一致連續(xù)有界的,x(t)是系統(tǒng)的控制輸入,y是系統(tǒng)的輸出變量。則輸出PDFγ(y,u(k))τ(y,x(t))的B樣條平方根定義為:

圖1 概率密度函數(shù)表達(dá)式示意圖

(1)

式中:βi(y)(i=1,2,…,n)是已知的基函數(shù);νi(x(t))(i=1,2,…,n)是與βi(y)對(duì)應(yīng)Bi(y)的權(quán)值向量;δ(t)是系統(tǒng)靜態(tài)模型的誤差。

由式(1)可得:

(2)

τ(y,x(t))=(υ0(t)β0(t)+υn(t)βn(t)+δ(t))2

(3)

式中:β0(t)=[β1(y),β2(y),…,βn-1(y)],υ0(t)=[v1(t),v2(t),…,vn-1(t)]T

定義δ(t)=ν0(y)δ0(t),δ0(t)為靜態(tài)模型的補(bǔ)償誤差,則式(3)可表示為:

τ(y,x(t))=(β0(y)υ(t)+νn(t)βn(y))2

(4)

式中:υ(t)=υ0(t)+δ0(t)。

定義:

由式(4)可得:

νn(t)=h(ν(t))=

(5)

定義追蹤的目標(biāo)PDF為:

τg(t)=(β0(y)νg(t)+h(νg)βn(y))2

(6)

式中:τg(t)是目標(biāo)PDF,νg是已知權(quán)值向量。隨機(jī)分布系統(tǒng)控制的目的是調(diào)整輸入x(t),使系統(tǒng)輸出PDFτ(y,x(t))追蹤目標(biāo)PDFτg(t)。

定義隨機(jī)分布系統(tǒng)輸出PDF與目標(biāo)PDF的誤差為:

β0d(t)+[h(ν(t)-h(νg)]βn(y)

(7)

式中:d(t)=ν(t)-νg。

2 神經(jīng)PID控制器的設(shè)計(jì)

隨機(jī)分布系統(tǒng)神經(jīng)PID控制是設(shè)計(jì)一個(gè)控制器,以H∞作為性能指標(biāo),使系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)追蹤目標(biāo)概率密度函數(shù),并使系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性等得到滿足。

2.1 神經(jīng)PID控制器

采用含神經(jīng)PID控制算法,其結(jié)構(gòu)如圖2和圖3所示,在該算法中,用神經(jīng)PID控制器調(diào)整權(quán)值線路,以實(shí)現(xiàn)在線的自適應(yīng)控制和學(xué)習(xí)。

圖2 隨機(jī)分布系統(tǒng)神經(jīng)PID控制器結(jié)構(gòu)圖

圖3 三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID結(jié)構(gòu)

2.2 動(dòng)態(tài)模型建立

隨機(jī)分布系統(tǒng)輸入和輸出間關(guān)系轉(zhuǎn)化為x(t)和權(quán)值ν(t)的關(guān)系,則x(t)和ν(t)的非線性動(dòng)態(tài)模型為:

(8)

對(duì)于式(8),定義新的向量為:

(9)

則式(8)轉(zhuǎn)化為:

(10)

隨機(jī)分布系統(tǒng)控制轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)穩(wěn)定性問題,則神經(jīng)PID控制器定義為:

(11)

對(duì)于ν(t),由李雅普諾夫條件可得:

H∞范數(shù)的定義:擾動(dòng)w(t)到系統(tǒng)輸出σ(t)的H∞范數(shù)定義為:

為了便于后邊的證明,引入以下兩個(gè)引理。

引理1給定適當(dāng)維數(shù)矩陣D、E,對(duì)稱矩陣Y,以及矩陣F(FTF≤I),要使下式成立:

Y+DFE+ETFTDT<0

當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量ε>0,使得:

Y+εDDT+ε-1ETE<0

引理2對(duì)于任意向量x,y和一個(gè)正定標(biāo)量π,則下列矩陣不等式成立

2xTy≤πxTx+π-1yTy

2.3 設(shè)計(jì)方法

下面通過兩個(gè)定理給出控制器設(shè)計(jì)的方法。

(12)

證明:定義Lyapunov-Krasovskii函數(shù)為:

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo),并應(yīng)用引理1,可得:

2εT(t)QTF0f(ε(t))+2xT(t)PTW0w(t)+

2εT(t)QTW0w(t)+λ-1εT(t)QTHHTQε(t)+

式中:

由H∞可得:

式中:

則有Ξ1

由矩陣不等式理論可知:

則進(jìn)一步可得出:

應(yīng)用初始條件V(0,0)=0,可得:

由于V(x(t),t)>0,可得:

證明完畢。

采用狀態(tài)反饋H∞控制,將控制器x(t)=κε(t)代入式(10),則得到隨機(jī)分布閉環(huán)系統(tǒng),表示為:

(14)

定理2為神經(jīng)PID控制問題提供了一個(gè)解決方案。

定理2已知參數(shù)λ,ξi(i=1,2)和矩陣U,假設(shè)存在矩陣P=Q-T,Σ,Si>0,(i=1,2,…,n)和標(biāo)量γ>0,使下列線性矩陣不等式(15)有可行解,則式(14)表示的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(15)

(16)

證明:在定理1的基礎(chǔ)上,利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)式(13)可得:

2εT(t)QTFf(ε(t))+2εT(t)QTW0w(t)+

γ-1σT(t)σ(t)-γwT(t)w(t)=

θ1εT(t)Pε(t)

定義:

由Υ>0,可得:

(17)

在式(17)兩邊分別左乘和右乘diag{Q-T,I,I,Q-T,I,I,I},diag{Q-1,I,I,Q-1,I,I,I},可得

應(yīng)用參數(shù)式(16)的定義,可得式(15)成立。進(jìn)而可知:

則式(14)漸近穩(wěn)定。

通過定理2,H∞優(yōu)化PID控制器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為對(duì)解線性矩陣不等式(LMI)的求解。

3 計(jì)算機(jī)仿真

為了驗(yàn)證提出算法的有效性,下面對(duì)提出的算法在MATLAB中的Simulink Library環(huán)境下仿真驗(yàn)證,在仿真中三個(gè)PID參數(shù)值[kp,ki,kd]調(diào)整狀態(tài)向量和控制向量[V(t),U(t)]。

在數(shù)字仿真中,隨機(jī)分布系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)可使用平方根B樣條逼近,表示為:

式(4)中n=3,y∈[0,1.6i],i=1,2,3。

采用平方根B樣條逼近建立系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)模型,因隱含條件存在,3個(gè)權(quán)值之中只有兩個(gè)權(quán)值獨(dú)立,假設(shè)v1、v2相互獨(dú)立。

系統(tǒng)(10)的參數(shù)及其他參數(shù)取值如下:

F=diag{0.6,0.6},B0=diag{0.5,0.5}

Bτi=diag{-0.5,-0.5},W0=diag{-0.5,-0.5}

U0=diag{0.3,0.5}

λ=3,μ1=μ2=1,γ=0.6

則計(jì)算可得:

系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)權(quán)值變化的響應(yīng)如圖4所示,系統(tǒng)控制輸入變化的響應(yīng)如圖5所示。從圖4和圖5仿真的結(jié)果分析可得系統(tǒng)實(shí)際輸出概率密度函數(shù)追蹤逼近目標(biāo)概率密度函數(shù),可獲得滿意的擾動(dòng)衰減性能,并可確保系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

圖4 系統(tǒng)靜態(tài)模型對(duì)權(quán)值變化的響應(yīng)

圖5 系統(tǒng)控制輸入變化的響應(yīng)

4 結(jié) 語

本論文研究了隨機(jī)分布系統(tǒng)的神經(jīng)PID控制算法的問題。通過B樣條平方根逼近建立系統(tǒng)的靜態(tài)模型,提出神經(jīng)PID控制器的結(jié)構(gòu),建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型,引入H∞范數(shù),提出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件,在隨機(jī)分布閉環(huán)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,通過線性矩陣不等式的求解給出了在滿足干擾抑制的條件下,神經(jīng)PID控制器的設(shè)計(jì)方法。最后,計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證表明:所提出的算法可滿足追蹤控制性能,并可抑制追蹤控制中的干擾。