董宛茹 馬秀榮 單云龍

(天津理工大學(xué)電氣電子工程學(xué)院 天津 300384) (光電器件與通信技術(shù)教育部工程研究中心 天津 300384)

0 引 言

波達(dá)方向估計(jì)作為陣列信號(hào)處理中的主要研究內(nèi)容,一直以來受到學(xué)者們的關(guān)注,在電子對(duì)抗、導(dǎo)航和移動(dòng)通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。在眾多國內(nèi)外學(xué)者的研究探索下,不同的DOA估計(jì)算法相繼被提出。其中常用的多重信號(hào)分類(Multiple signal classification,MUSIC)算法[4]由Schmidt首次提出,算法利用信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì),之后在MUSIC算法的基礎(chǔ)上相繼提出改進(jìn)MUSIC[5-6]算法。此類算法由于在相干信號(hào)存在時(shí)協(xié)方差矩陣會(huì)產(chǎn)生秩虧,故無法估計(jì)相干信號(hào)的波達(dá)方向。同時(shí),當(dāng)信號(hào)源功率差異越大時(shí),MUSIC類算法的分辨性能越差[7-8],甚至?xí)?dǎo)致小功率的信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)失敗。而在復(fù)雜的電磁環(huán)境下如電子對(duì)抗中,存在大量的相干信號(hào),且信號(hào)間功率各不相等。因此,研究有效的非等功率相干信號(hào)處理算法是當(dāng)前陣列信號(hào)處理中的一個(gè)重要研究內(nèi)容。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)非等功率相干信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì),首先要解決相干信號(hào)的估計(jì)問題,對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)或?qū)﹃嚵兴邮盏臄?shù)據(jù)進(jìn)行處理,從而消除秩虧問題,得出信號(hào)正確的波達(dá)方向角。常用前后向空間平滑(Forward and Backward Spatial Smoothing,FBSS)算法[9]對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì),通過減少均勻線陣的有效孔徑,解決了相干源導(dǎo)致的協(xié)方差矩陣秩虧。隨后,許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)[10-11],但當(dāng)信號(hào)功率相差較大時(shí),空間平滑類算法對(duì)弱信號(hào)的估計(jì)會(huì)發(fā)生較大偏差甚至無法估計(jì)。

為了提高弱信號(hào)的估計(jì)性能,文獻(xiàn)[12]提出了干擾阻塞(Jamming Jam Method,JJM)算法,但需要已知強(qiáng)信號(hào)的個(gè)數(shù)與波達(dá)方向。該算法利用已知的先驗(yàn)信息,構(gòu)造含有強(qiáng)信號(hào)波達(dá)方向的阻塞矩陣,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)陣列流型矩陣進(jìn)行降秩,抑制強(qiáng)信號(hào)對(duì)弱信號(hào)的影響。然后再利用MUSIC空間譜估計(jì)算法對(duì)弱信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。后來,文獻(xiàn)[13-14]對(duì)JJM進(jìn)行改進(jìn),進(jìn)一步優(yōu)化JJM估計(jì)性能。但對(duì)于JJM而言當(dāng)強(qiáng)弱信號(hào)相鄰較近時(shí),算法在抑制強(qiáng)信號(hào)的同時(shí)也抑制了弱信號(hào),導(dǎo)致角度相鄰較近時(shí)波達(dá)方向估計(jì)精度不高。針對(duì)強(qiáng)弱信號(hào)共存的非等功率信號(hào),文獻(xiàn)[15]提出了一種基于噪聲子空間的新算法,利用不變噪聲子空間特性可以同時(shí)估計(jì)出角度相鄰較近的強(qiáng)弱信號(hào)的波達(dá)方向。文獻(xiàn)[16-17]對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),提高波達(dá)方向估計(jì)精度、降低算法復(fù)雜度,但此類算法只能估計(jì)不相干信號(hào)。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)非等功率相干信號(hào)波達(dá)方向估計(jì),文獻(xiàn)[18]提出了不變噪聲子空間平滑(Invariant Property of Noise Subspace Smoothness,IPNSS)算法,利用前后向空間平滑與不變噪聲子空間的特性解決了非等功率相干信號(hào)的DOA估計(jì)。

為了進(jìn)一步提高DOA估計(jì)性能,本文提出一種基于Toeplitz矩陣[19-21]重構(gòu)的不變噪聲子空間算法,充分利用了陣列所接收的數(shù)據(jù)及其復(fù)共軛信息,增加了可估計(jì)相干信號(hào)數(shù)目,同時(shí)提高了對(duì)相干信源的DOA估計(jì)性能。對(duì)于等功率和非等功率且相隔較近的相干信號(hào)都具有更高的成功率,更強(qiáng)的分辨率。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文算法的有效性。

1 陣列模型及信號(hào)模型

1.1 陣列模型

若均勻線陣(Uniform Iinear Array,ULA)由M個(gè)陣元組成,其陣元間隔為d,則陣列模型如圖1所示。

可以看出,若D個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到均勻線陣中,入射方向角為θ,則相鄰陣元接收到的信號(hào)間存在時(shí)延Δd,其值為Δd=dsinθ?？梢缘玫疥嚵械慕邮招盘?hào)矢量為:

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

1.2 非等功率相干信號(hào)

在實(shí)際通信環(huán)境中,多個(gè)同頻信號(hào)si(t)(i=1,2,…,D)到達(dá)天線陣列,認(rèn)為接收到的信號(hào)是彼此相干的。通信過程中由于距離不同或多徑及干擾的影響會(huì)導(dǎo)致信號(hào)功率不相等現(xiàn)象。

對(duì)于兩信號(hào)si(t)和sj(t),相關(guān)系數(shù)[21-22]定義為:

(2)

根據(jù)ρij的取值,可定義信號(hào)之間的相關(guān)性如下:

(3)

進(jìn)而通過上述定義可知,相干信號(hào)源之間只差一個(gè)復(fù)常數(shù)。相干信號(hào)之間存在如下關(guān)系:

si(t)=αis1(t)i=1,2,…,D

(4)

式中:αi為復(fù)常數(shù),表示第i個(gè)信號(hào)相對(duì)于s1(t)的衰落系數(shù);s1(t)為生成信源。

一般而言,常通過判別入射信號(hào)的信噪比是否相同來判定信號(hào)是否為等功率信號(hào)。入射信號(hào)信噪比定義為:

(5)

2 基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的不變噪聲子空間算法

本節(jié)首先對(duì)各個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)與參考陣元(左起第一個(gè)陣元)的接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行排列,形成滿秩的Toeplitz矩陣,然后對(duì)其進(jìn)行奇異值分解得到噪聲子空間及噪聲特征值。再引入虛擬信源對(duì)Toeplitz矩陣進(jìn)行優(yōu)化,對(duì)優(yōu)化后的矩陣進(jìn)行分解得到新的噪聲子空間及新的噪聲特征值。利用虛擬信源引入前后,噪聲子空間不發(fā)生改變這一特性從而實(shí)現(xiàn)相干信號(hào)的DOA估計(jì)。

信號(hào)模型:

假設(shè)共有D個(gè)窄帶相干信源:s1(t),s2(t),…,sD(t),第i個(gè)信號(hào)的到達(dá)角為θi,則第k個(gè)陣元上的接收信號(hào)為:

A(k)[s1(t),s2(t),…,sD(t)]T+nk(t)

(6)

式中:si(t)為第i個(gè)信號(hào)源;nk(t)為第k個(gè)陣元上的噪聲;A為陣列天線的陣列流型矩陣,其中A(k)(k=1,2,…,M)表示A的第k行的所有元素。由式(6)可知第一個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)矢量為:

(7)

定義如下的相關(guān)函數(shù):

A(1)RsAH(k)+σ2I

(8)

式中:Rs為信號(hào)源協(xié)方差矩陣;r(k)當(dāng)k由1變到M時(shí),得到的相關(guān)矢量為[r(1),r(2),…,r(M)]T,且滿足:

[r(1),r(2),…,r(M)]T=

A(1)Rs[AH(1),AH(2),…,AH(M)]

(9)

可以看出,相關(guān)矢量中包含了所有信號(hào)源的信息,利用此M個(gè)相關(guān)函數(shù)構(gòu)造協(xié)方差矩陣:

(10)

可以看出RT是M×M階的Hermitian Toeplitz矩陣。

對(duì)重構(gòu)后的等效信號(hào)協(xié)方差矩陣RT進(jìn)行特征值分解:

(11)

式中:ΣS為信號(hào)特征值矩陣;ΣN為噪聲特征值矩陣。

將得到的M個(gè)特征值λ={λ1,λ2,…,λM}正序排列:

λ1≥λ2≥…≥λD≥λD+1≥…≥λM

(12)

特征值λ1至λD對(duì)應(yīng)的特征向量看成信號(hào)子空間US,特征值為λD+1至λM對(duì)應(yīng)的特征向量看成噪聲子空間UN。若所入射信號(hào)之間的功率不等時(shí),則信號(hào)特征值λ1至λD的差值明顯,且功率相差越大,信號(hào)特征值相差越大。

此時(shí)引入一個(gè)虛擬信源來優(yōu)化協(xié)方差矩陣,構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣為:

(13)

(14)

(15)

根據(jù)以上分析可總結(jié)算法實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1) 將各個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)與參考陣元接收數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行排列得到M個(gè)相關(guān)函數(shù)。

(2) 對(duì)M個(gè)相關(guān)函數(shù)進(jìn)行Toeplitz矩陣重構(gòu),得到協(xié)方差矩陣RT。

(3) 對(duì)RT進(jìn)行奇異值分解得到噪聲子空間對(duì)應(yīng)的特征值λD+1,λD+2,…,λM。

(6) 利用式(15)進(jìn)行譜峰估計(jì)獲得DOA估計(jì)值。

3 仿真結(jié)果與比較

為了驗(yàn)證本文算法DOA估計(jì)的有效性,采用陣列模型為均勻線陣,陣元數(shù)目為M=16,陣元間距為d=λ/2,噪聲為加性高斯白噪聲,入射信號(hào)均為遠(yuǎn)場窄帶信號(hào),且信源數(shù)目已知。

仿真實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證本文算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)更多相干信號(hào)的DOA估計(jì)。

該實(shí)驗(yàn)采用采樣快拍數(shù)為1 024,SNR為30 dB。10個(gè)相干信號(hào)入射到陣列天線中,仿真結(jié)果如圖2(a)所示;15個(gè)相干信號(hào)入射到陣列天線中,仿真結(jié)果如圖2(b)所示。

(a) 10個(gè)相干信號(hào)

(b) 15個(gè)信號(hào)相干信號(hào)圖2 相干信號(hào)DOA估計(jì)仿真曲線

由圖2(a)可知,當(dāng)相干信號(hào)數(shù)目為10,小于2M/3時(shí),此時(shí)空間平滑類算法及本文算法均能準(zhǔn)確地估計(jì)出相干信源的波達(dá)方向。

圖2(b)仿真結(jié)果表明,當(dāng)相干信號(hào)數(shù)目為15,大于2M/3時(shí),空間平滑類算法失效而本文算法仍可準(zhǔn)確地估計(jì)出所有信源的波達(dá)方向。由于本文算法無陣列孔徑損失,最多可估計(jì)M-1個(gè)相干信號(hào),提高了相干信號(hào)可估計(jì)信源數(shù)目。

仿真實(shí)驗(yàn)2本文算法對(duì)等功率相干信號(hào)估計(jì)性能驗(yàn)證。

(1) 仿真采用2個(gè)等功率相干信號(hào),入射角度分別為0°、2°。采樣快拍數(shù)為1 024,信噪比從-10 dB增加到30 dB,每隔2 dB統(tǒng)計(jì)一次。進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn),誤差1°以內(nèi)則認(rèn)為成功估計(jì)。該條件下三種算法的成功率對(duì)比如圖3所示。

圖3 等功率相干信號(hào)成功概率與信噪比的關(guān)系

可以看出,對(duì)于等功率相干信號(hào)入射角度相差2°時(shí),在低信噪比下成功率遠(yuǎn)高于前后向空間平滑算法與不變噪聲子空間平滑算法。當(dāng)信噪比達(dá)到0 dB時(shí),本文算法成功率達(dá)到90%左右;信噪比達(dá)到4 dB時(shí),本文算法成功率達(dá)到100%。

(2) 仿真采用3個(gè)等功率相干信號(hào),入射角度分別為-60°、30°、45°。信噪比為0 dB,采樣快拍數(shù)從128增加到2 560,采樣快拍每隔128統(tǒng)計(jì)一次,進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)(以下空間平滑類算法子陣數(shù)均為8)。該條件下三種算法的均方根誤差(RMSE)對(duì)比如圖4所示。

圖4 等功率相干信號(hào)采樣快拍數(shù)與RMSE的關(guān)系

可以看出,對(duì)于等功率相干信號(hào)角度相差較大時(shí),本文算法均方根誤差仍低于前后向空間平滑算法和不變噪聲子空間算法。而且隨著采樣快拍數(shù)的增大,均方根誤差越小。

仿真實(shí)驗(yàn)3本文算法對(duì)非等功率相干信號(hào)相鄰角度分辨力及估計(jì)性能驗(yàn)證

(1) 仿真采用2個(gè)相干信號(hào)功率相差40 dB,強(qiáng)信號(hào)功率為30 dB,弱信號(hào)功率為-10 dB,入射角度分別為0°和2°。采樣快拍數(shù)為1 024。該條件下本文算法的DOA估計(jì)仿真曲線如圖5所示。

圖5 非等功率相干信號(hào)DOA估計(jì)仿真曲線

可以看出,在相干信號(hào)功率相差40 dB,相鄰角度相差2°時(shí),本文算法能夠成功地估計(jì)出強(qiáng)信號(hào)和弱信號(hào)的波達(dá)方向。

(2) 角度分辨力成功概率圖。仿真采用2個(gè)相干信號(hào)功率相差40 dB,入射角度間隔從2°增加到15°,每隔1°統(tǒng)計(jì)一次。采樣快拍數(shù)為1 024。進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn),誤差1°以內(nèi)則認(rèn)為成功估計(jì)。該條件下三種算法的成功率對(duì)比如圖6所示。

圖6 非等功率相干信號(hào)成功概率與角度間隔的關(guān)系

可以看出,在相干信號(hào)功率相差40 dB時(shí),本文算法在角度相差2°時(shí)即可100%估計(jì)出波達(dá)方向,遠(yuǎn)優(yōu)于前后向空間平滑算法及不變噪聲子空間平滑算法。說明本文算法具有更強(qiáng)的分辨力。

(3) 仿真采用2個(gè)相干信號(hào)功率相差40 dB,入射角度分別為0°、10°。采樣快拍數(shù)從128增加到2 560,采樣快拍每隔128統(tǒng)計(jì)一次。進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn),該條件下三種算法的RMSE對(duì)比如圖7所示。

圖7 非等功率相干信號(hào)采樣快拍數(shù)與RMSE的關(guān)系

可以看出,在相干信號(hào)功率相差40 dB、角度相差10°時(shí),相同條件下本文算法均方根誤差明顯低于其余三種算法。說明本文算法具有較高的DOA估計(jì)性能。

4 結(jié) 語

針對(duì)非等功率相干信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì),本文提出一種基于Toeplitz矩陣重構(gòu)的不變噪聲子空間算法,與空間平滑類算法相比,本文算法無陣列孔徑損失,可估計(jì)相干信源數(shù)目增加至M-1個(gè)。對(duì)于等功率相干信號(hào),與其他算法相比,本文算法減小了均方根誤差,在低信噪比下增加了DOA估計(jì)的成功率。對(duì)于非等功率相干信號(hào),本文算法可成功地估計(jì)出信號(hào)功率相差40 dB、相鄰角度間隔為2°的波達(dá)方向。在非等功率相干信號(hào)功率相差40 dB、相鄰角度間隔為10°時(shí)本文算法的均方根誤差明顯低于其他算法,具有更高的波達(dá)方向估計(jì)性能。