尹甜， 喻鳳斯， 黃啟華

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715

在許多生態(tài)系統(tǒng)中普遍存在空間自組織模式,如干旱生態(tài)系統(tǒng)、淡水與鹽沼系統(tǒng)、珊瑚礁等等.實(shí)驗(yàn)和理論模型都強(qiáng)調(diào)這些自組織模式可以揭示驅(qū)動生態(tài)系統(tǒng)復(fù)原力的潛在機(jī)制,因此有利于幫助我們推斷生態(tài)系統(tǒng)的環(huán)境變化.在鹽沼系統(tǒng)中植被模式的空間動力學(xué)行為受多重因素影響,例如養(yǎng)分消耗、硫化物積累和毒性都是制約鹽沼植被發(fā)育的因素.另一方面,研究表明植物的生長會促進(jìn)土壤中硫化物的濃度增長.受文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),主要對鹽沼系統(tǒng)中植被與硫化物相互作用的機(jī)理進(jìn)行研究.我們首先考慮一個描述植物和硫化物相互作用的常微分方程模型,分析平衡點(diǎn)的存在性、局部[2-5]和全局穩(wěn)定性[6-9],獲得植物和硫化物共存的條件以及導(dǎo)致植物滅絕的條件等.接下來考慮到植被和硫化物的空間擴(kuò)散[10-15].我們將常微分方程模型延伸到反應(yīng)擴(kuò)散方程模型,進(jìn)一步分析擴(kuò)散對常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的影響.研究結(jié)果表明擴(kuò)散系數(shù)不影響常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的局部和全局穩(wěn)定性,即不會產(chǎn)生圖靈不穩(wěn)定性.最后,我們用數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析的結(jié)果．

1 常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

考慮如下植物-硫化物的反饋模型:

(1)

為便于對模型(1)進(jìn)行理論分析,我們引進(jìn)以下無量綱化的變量和參數(shù):

則模型(1)可以無量綱化為

(2)

為了分析平衡點(diǎn)E0和E*的穩(wěn)定性,我們在平衡點(diǎn)處對模型(2)進(jìn)行線性化得到對應(yīng)的Jocabi矩陣為

于是在E0處,

在E*處,

因此

于是,我們有以下定理:

定理1(i) 當(dāng)β<α?xí)r,模型(2)只存在一個邊界平衡點(diǎn)E0,且E0是局部漸近穩(wěn)定的;

(ii) 當(dāng)β>α?xí)r,模型(2)存在兩個平衡點(diǎn)E0與E*,其中E*是局部漸近穩(wěn)定的,E0是鞍點(diǎn)．

內(nèi)除平衡點(diǎn)外,不再包含系統(tǒng)的其他軌線,則模型(2)的平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.于是為了討論正平衡點(diǎn)E*的全局穩(wěn)定性,可取Liapunov函數(shù)

因?yàn)?/p>

(3)

將1-p*-s*=0,α+γp*-βs*=0代入(3)式得

2 偏微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

接下來考慮到植物和硫化物的空間擴(kuò)散,我們將常微分方程模型(2)延伸至如下的反應(yīng)擴(kuò)散模型:

(4)

其中:p=p(x,t),s=s(x,t)分別代表t時刻x處的土壤中植物的密度和硫化物的濃度,dΔp和Δs分別代表植物和硫化物的擴(kuò)散速率,其中Δ是拉普拉斯算子,Ω?R是邊界光滑的有界域,模型(4)的第三個方程表示Neumann邊界條件,υ是邊界?Ω上的單位外法向量,模型(4)的第四和第五個方程表示植物和硫化物的初始分布,p0(x)和s0(x)都是Ω上的連續(xù)函數(shù)．

設(shè)0=μ0<μ1<μ2<…是Ω上考慮Neumann邊界條件時算子Δ的特征值．

定理2(i) 當(dāng)β<α?xí)r,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E0是局部漸近穩(wěn)定的;

(ii) 當(dāng)β>α?xí)r,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E0是不穩(wěn)定的．

證在E0處對模型(4)進(jìn)行線性化,有

其中

Xi是不變子空間,并且μi是L在Xi上的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λi是矩陣Mi的特征值,

于是

從而

[tr(Mi)]2-4det(Mi)>[tr(Mi)]2>0

則

定理3當(dāng)β>α?xí)r,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E*是局部漸近穩(wěn)定的．

證對模型(4)在E*處線性化,有

其中

Xi是不變子空間,并且μi是L在Xi上的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λi是矩陣Mi的特征值,

于是

(i) 若[tr(Mi)]2-4det(Mi)≤0,則

(ii) 若[tr(Mi)]2-4det(Mi)>0,則

因此L的特征值都具有負(fù)實(shí)部．

為了討論模型(4)正解的全局穩(wěn)定性,需要給出以下引理．

證考慮模型

(5)

設(shè)(p(x,t),s(x,t))是模型(4)的正解,p1(x,t)是模型(5)的解,于是由比較原理可得

00,x∈Ω

接下來考慮常微分系統(tǒng)

(6)

定理4當(dāng)β>α?xí)r,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E*存在并且是全局漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)β<α?xí)r,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E0是全局漸近穩(wěn)定的．

證構(gòu)造Liapunov函數(shù)

由分步積分公式以及Neumann邊界條件,得

3 數(shù)值模擬

取參數(shù)α>β與α<β時模型(2)與模型(4)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的情況如圖1,2所示．

圖1 模型(2)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

圖2 模型(4)平衡解的穩(wěn)定性

由圖1可知當(dāng)α>β時,模型(2)的平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)α<β時,模型(2)的平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的.由圖2可知取d=100,當(dāng)α>β時,模型(4)的常數(shù)平衡解E0是全局漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)α<β時,模型(4)的常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E*是全局漸近穩(wěn)定的．

4 結(jié)果與展望

本文在文獻(xiàn)[1]的模型基礎(chǔ)上稍有改動,考慮的是植被呈Logistic增長,硫化物濃度升高受土壤中硫化物的沉積以及植物的促進(jìn)兩方面的影響.研究結(jié)果表明該模型的正平衡點(diǎn)在有無擴(kuò)散的情況下都是全局穩(wěn)定的,而植被的生長受多種因素的影響,因此研究營養(yǎng)物質(zhì)與植被生長的關(guān)系也是十分有意義的．