文／姜鴻雁

再復雜的問題都是由簡單的、基本的問題演變而來的。同學們只要立足基本知識和基本技能，把握基本數(shù)學思想，注意積累基本活動經(jīng)驗，便可以“以不變應萬變”，下面以一個例子來說明。

【題根】在平面直角坐標系xOy中，有A（2，-3）、B（-1，0）、C（0，-3），分析并解決下面的系列問題。

一、三個定點完成“基本框架”

【要求1】提一個關于反比例函數(shù)的問題，并解決它。

【問題1】求過點A的反比例函數(shù)表達式。

【解析】反比例函數(shù)圖像與坐標軸沒有公共點，只能通過點A提相關問題。運用待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)的表達式為y1=-（為了后續(xù)研究的方便，記作函數(shù)“y1”）。

【要求2】運用其中兩個點提出關于一次函數(shù)的問題，并解決它。

【問題2】求過A、B兩點的一次函數(shù)表達式。

【解析】根據(jù)一次函數(shù)的概念，可以選擇點A和點B或點B和點C，我們這里選擇求過點A和點B的一次函數(shù)表達式。運用待定系數(shù)法，不難求得y2=-x-1。

【問題3】結合問題1、2的結論，試寫出當y1＜y2時自變量x的取值范圍。

【解析】聯(lián)立兩個函數(shù)表達式，求出兩個函數(shù)圖像的另一個公共點坐標為（-3，2），結合函數(shù)圖像的相對位置（如圖1），可得當x＜-3或0＜x＜2時，y1＜y2。

圖1

【說明】同學們在問題2 中，如果選擇過點B、C的一次函數(shù)表達式，除了可以提出類似的問題3，還可以提出與面積有關的問題，試試看吧！

【要求3】根據(jù)A、B、C三個點的坐標，提出一個關于二次函數(shù)的問題，解決之后，說說你對這個二次函數(shù)及其圖像的認識。

【問題4】求過A、B、C三點的二次函數(shù)表達式，并說明該二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)。

【解析】我們可以設一般式：y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0），代入三個點的坐標，解關于a、b、c的方程組，即可求得函數(shù)表達式。仔細觀察三個點的坐標特征，由A（2，-3）、C（0，-3）不難發(fā)現(xiàn)，此二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x=1，所以可以設頂點式：y=a（x-1）2+k，將點B、點C坐標代入即求得a=1，k=-4，所以二次函數(shù)的表達式是y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3。如圖2，二次函數(shù)圖像開口方向向上，頂點坐標為（1，-4），對稱軸是直線x=1。當x＜1 時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；x＞1 時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；當x=1時，函數(shù)y有最小值為-4。進一步觀察圖像，我們還發(fā)現(xiàn)，方程x2-2x-3=0 的兩個根分別為x1=-1，x2=3；當-1＜x＜3 時，y＜0，當x＞3或x＜-1時，y＞0；等等。

圖2

【歸納】待定系數(shù)法是求函數(shù)表達式最基本、最重要的方法。求二次函數(shù)的表達式時，根據(jù)已知條件，選擇最合適的表達形式，可以達到事半功倍的效果。利用函數(shù)圖像分析函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的關系，可以讓這些相對抽象的數(shù)量關系在函數(shù)圖像的表征下，變得直觀而又具象。

二、一個動點猶如“源頭活水”

如圖3，若問題4 中的二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸的另一個公共點為點D，設點M是第四象限圖像上的一個動點，過點M作y軸的平行線，交直線CD于點N，連接DM、CM。

圖3

【要求4】在點M的運動過程中，圖3中有哪些量隨之發(fā)生變化，由此，能提出什么問題并解決它？

【問題5】線段MN的長隨M點位置的變化而變化，求它的最大值。

【解析】揭示MN的長與點M位置之間的變化規(guī)律是解決問題的根本。首先，不難求得直線CD的函數(shù)表達式為y=x-3；其次，設點M（m，m2-2m-3），則點N（m，m-3），得MN=-m2+3m（0＜m＜3）。MN的長與m之間是二次函數(shù)關系，配方，得，當m=時，MN取最大值，最大值為。

【問題6】△DMC的面積隨M點運動變化而變化，求△DMC面積的最大值。

【變式1】以MN為直徑的圓與CD相交于點P，求弦NP的最大值。

圖4

【變式2】如圖5，連接BM，交直線CD于點Q，求的最大值。

圖5

【解析】因為△CQM與△CQB同高，所以。在平面直角坐標系中，常常將不平行或不垂直于坐標軸的線段向平行或垂直于坐標軸的方向轉化（不妨稱為“化斜為直”）。點B、直線CD分別為確定的點、確定的直線，則過點B作y軸的平行線交直線CD于G（如圖6），不難有BG=4。易證△QNM∽△QGB，則，所以當MN取

圖6

【歸納】點M位置的變化，導致線段MN的長、△DMC的面積、弦NP的長、等的變化，由此可以分別建立點M的橫坐標與這些量之間的二次函數(shù)關系，這就是建模的過程。隨著解決問題的深入，結合相似三角形、三角函數(shù)等知識，我們不難發(fā)現(xiàn)，當MN取最大值時，相關的量隨之取得最大值，這是化陌生為熟悉的過程，更是“會一題、通一片”的狀態(tài)。

掌握扎實的基本知識（待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、相似三角形、三角形函數(shù)等）和過硬的基本技能（識圖、構造、運算等），靈活運用基本思想（建模、數(shù)形結合、轉化等），注意積累基本經(jīng)驗（求MN的最大值的基本活動經(jīng)驗是本題系列變式的基礎）是我們學好數(shù)學的強大后盾。同學們，本題還可以提出若干問題，去試試吧！