張 淦,王海彬,2,黃媛婷,龍 騰

(1.西安機電信息技術(shù)研究所,陜西 西安 710065;2.機電動態(tài)控制重點實驗室,陜西 西安 710065)

0 引言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭要求引信要具有更精確的炸點控制能力,這對引信信號處理系統(tǒng)提出了更高的要求。但引信受到發(fā)射功率低、天線寬波束低增益、接收通道靈敏度弱等限制,特定目標的回波信號信噪比有限[1]。為了在低信噪比的條件下準確探測識別目標回波,可以采用基于最小均方誤差(least mean square,LMS)算法的自適應(yīng)濾波器技術(shù)對目標回波信號通帶內(nèi)的噪聲進行抑制,實現(xiàn)微弱回波信號的提取。

文獻[2]采用了最基本的固定步長LMS算法提取微弱信號,消噪效果存在缺陷,收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差互相矛盾;文獻[3]提出了基于 Sigmoid型函數(shù)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法,相較于固定步長LMS算法,該方法收斂速度大大提高,但是仍然存在穩(wěn)態(tài)期間穩(wěn)態(tài)誤差波動較大的問題;文獻[4—5]提出了新的變步長思路,在步長控制和穩(wěn)態(tài)誤差中做到了平衡,但是系統(tǒng)計算量增加,實際應(yīng)用受到一定限制。

引信對于信號處理系統(tǒng)的要求是簡單、實時、可靠、穩(wěn)定。合適的LMS算法及恰當?shù)膮?shù)選取是保證引信微弱回波信號提取的前提。目前現(xiàn)有的幾種算法在理論上均可以實現(xiàn)穩(wěn)定的降噪效果,但由于引信本身硬件限制等原因,引信信號處理系統(tǒng)在穩(wěn)定性、復雜性等方面上仍存在一定的不足。為解決上述不足,本文提出一種基于箕舌線函數(shù)變步長LMS算法模型,用于解決無線電引信微弱回波信號的降噪問題。

1 原理分析

1.1 維納濾波和LMS算法自適應(yīng)濾波

維納濾波,最早是由諾伯特·維納在20世紀40年代提出來的[6]。系統(tǒng)的輸入輸出如圖1所示。

圖1 維納濾波器Fig.1 Wiener filter

但是,維納濾波在使用中有一個先決條件是必須知道信號和噪聲的統(tǒng)計特性。在引信信號處理中,實際信號的統(tǒng)計特性經(jīng)常會隨著時間發(fā)生變化,所以維納濾波就無法發(fā)揮它的作用。

而發(fā)展于維納濾波的自適應(yīng)濾波可以在這種情況下實現(xiàn)較好的濾波性能。自適應(yīng)濾波器實際上是一種可以自動調(diào)節(jié)濾波器沖激響應(yīng)h(n)的維納濾波器,它通過實時調(diào)整使最小均方誤差達到最優(yōu)。

圖2是利用LMS算法進行濾波的自適應(yīng)濾波示意圖。圖中,s(n)是有用信號,v(n)是噪聲;濾波器的輸入為x(n),輸出為y(n);d(n)是自適應(yīng)濾波器的期望信號;e(n)是濾波器輸出和期望信號的差值,形成反饋用于調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)。

圖2 LMS算法自適應(yīng)濾波器Fig.2 Adaptive filter using LMS algorithm

LMS算法是自適應(yīng)濾波中用于尋找滿足最小均方誤差的濾波器系數(shù)的常用算法。它一般基于最陡下降法進行迭代遞推[7]。遞推過程如下:

依據(jù)當前的濾波器系數(shù)求輸入信號的輸出響應(yīng)

y(n)=wH(n)x(n)。

(2)

產(chǎn)生輸出響應(yīng)和期望信號的誤差

e(n)=d(n)-y(n)。

(3)

依據(jù)誤差自動調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)系數(shù)

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)。

(4)

重復上述迭代過程

x(n)=s(n)+v(n)。

(5)

式(4)中,μ是收斂步長因子,主要控制算法的穩(wěn)定性和收斂速度,其取值為

式(6)中,λmax指輸入信號相關(guān)矩陣的最大特征值。

1.2 自適應(yīng)濾波噪聲對消原理分析

自適應(yīng)濾波降噪[8]利用噪聲對消原理的方法抑制干擾,以此來提取被干擾的信號,示意圖如圖3所示。自適應(yīng)噪聲對消工作的前提是噪聲與有用信號的關(guān)系是加性關(guān)系;工作原理是利用自適應(yīng)濾波算法控制濾波器抽頭權(quán)系數(shù),使得濾波器輸出趨近于原始輸入中的噪聲;從而剔除掉原始輸入中的噪聲,以此來還原信號。

自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)有兩個輸入:原始輸入端dj和參考輸入端xj。對自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)而言,其原始輸入信號為受干擾的信號:

dj=s(n)+v0(n)。

(7)

v1(n)是參考輸入信號,與噪聲v0(n)相關(guān), 而與信號s(n)不相關(guān)。原始輸入信號s(n)+v0(n)加到自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)的dj端;信號v1(n)則加到自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)的xj參考輸入端。誤差信號ej控制自適應(yīng)濾波器,調(diào)整自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)wj,使參考輸入信號v1(n)對應(yīng)的輸出yj趨于與之相關(guān)的v0(n),于是作為dj與yj之差的ej將趨于信號s(n)。

圖3 自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)示意圖Fig.3 Adaptive noise abatement system

對比圖2和圖3,可以發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中的參考輸入端實際上就是LMS算法自適應(yīng)濾波器的輸入信號,而自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中的原始輸入端實際上就是LMS算法自適應(yīng)濾波器的期望信號。

自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)的參考輸入端的作用是,將輸入的參考干擾信號通過LMS算法自適應(yīng)濾波器后,輸出一個逼近于原始輸入端中噪聲的信號。將其與自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中的原始輸入端的信號相減,即圖2中輸出信號與期望信號相減,得到的誤差信號就是所需的有用信號。與此同時該誤差信號也是調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)系數(shù)的變量。

1.3 變步長LMS算法

一般而言,在LMS算法中步長因子μ值較大的話,會以一個很快的速度趨向于維納解,即最優(yōu)均方誤差,但是會呈現(xiàn)出較大的隨機抖動;μ值較小的話,趨向維納解的過程會較為緩慢,但更加精確平穩(wěn)。

傳統(tǒng)的LMS算法μ值是固定的,這樣就會造成收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾,選擇一個兼顧兩者的μ值十分困難。文獻[9]提出了變步長因子LMS算法的一個基本調(diào)整方法:在濾波迭代的初始階段,取一個較大的μ值,保證較快的收斂速度和較好的跟蹤能力;在收斂之后取一個較小的μ值,保證在收斂之后較小的穩(wěn)態(tài)誤差。由此諸多學者提出了基于不同函數(shù)形式的變步長LMS算法,使得μ值在不同的階段取得不同的步長,以滿足收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的要求。

基于Sigmoid函數(shù)

文獻[3]指出,相較于固定步長的LMS算法而言,基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法收斂速度更加快速,跟蹤能力也更強。但是該算法在μ趨近于0時,瞬時的μ變化量很大,這樣會導致在濾波趨于穩(wěn)態(tài)時存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差,且在迭代過程中存在指數(shù)運算,較為繁瑣。Sigmoid函數(shù)曲線如圖4所示。

圖4 Sigmoid函數(shù)曲線Fig.4 Sigmoid function curve

基于雙曲余弦函數(shù)

μ(n)=βcosh (|e(n)|α)-β。

(9)

文獻[10]指出,α控制在0.5及以上,β控制在[0,0.5]的范圍內(nèi)就可以基本保證算法穩(wěn)定,且降噪等效果均更加優(yōu)異。但是每更新一次步長,就要進行多次的指數(shù)計算及雙曲余弦的計算,需要引入CORDIC算法,在硬件系統(tǒng)中會使用大量乘法器,這對于引信信號系統(tǒng)而言是較大的硬件負擔。雙曲余弦函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5 雙曲余弦函數(shù)曲線Fig.5 Hyperbolic cosine function curve

基于箕舌線函數(shù)

文獻[11]指出,箕舌線函數(shù)基本滿足變步長算法對μ的取值要求,選取合適的α、β參數(shù)值即可,且該算法計算量低,函數(shù)形式簡潔?；嗑€函數(shù)曲線如圖6所示。

圖6 箕舌線函數(shù)曲線Fig.6 The function curve of the witch of agnesi

2 引信信號降噪LMS改進算法

適用于引信的變步長LMS算法,除了要求降噪效果明顯、兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之外,關(guān)鍵也在于算法計算量要適中,以減少硬件資源需求和功耗壓力。所以變步長的關(guān)系式應(yīng)該在保證符合μ值變化要求的前提下,保證函數(shù)形式簡潔明了。對比以上提出的幾種算法,基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法更適用于引信微弱信號的降噪。

2.1 引信的自適應(yīng)噪聲對消設(shè)計

自適應(yīng)噪聲消除首先要確定參考信號,即與噪聲信號相關(guān)、與有用信號不相關(guān)的信號。

圖7所示為無線電引信工作流程圖。引信上電經(jīng)過一段時間之后,發(fā)射天線向外發(fā)射無線電信號,在遇到目標之后產(chǎn)生反射信號;反射信號被接收天線接收,進入后續(xù)的信號處理模塊中,從而進一步獲取目標信息。其中噪聲來源主要是電路內(nèi)噪聲和目標所處環(huán)境噪聲,均為加性噪聲。

圖7 引信工作過程Fig.7 Fuze working process

對于參考信號的選取,本文提出以下方案:接收天線接收的信號是混雜在噪聲中的反射信號;引信信號探測系統(tǒng)中,探測信號一般處在高頻頻段,所以可以設(shè)置一路低通濾波器,盡量濾除探測信號,保留噪聲。

一般而言,信號與噪聲是不相關(guān)的。而濾除出來的噪聲,因為實際濾波器的限制、噪聲本身因素等等,實際上應(yīng)該是在相當寬的頻帶內(nèi)存在的噪聲信號,并不是嚴格意義上的白噪聲。假定其功率譜為

式(11)中,A為常數(shù),ωc為截止頻率。由此求得噪聲的自相關(guān)函數(shù)

式中,自相關(guān)函數(shù)并不為0,只有ωcm極大時,r(m)才會趨于0。

一般而言,地、海雜波等噪聲信號也具有一定的相關(guān)性和周期性,所以方案中濾除出來的噪聲相關(guān)性滿足參考信號要求,可以作為自適應(yīng)濾波噪聲對消系統(tǒng)中的參考信號使用。

2.2 算法改進分析

步長因子是由誤差因子來控制的,考慮到引信在實際使用時可能存在噪聲較為嚴重,誤差因子中存在多余的噪聲分量的情況,嚴重的噪聲會導致誤差因子一直較大,LMS自適應(yīng)算法的結(jié)果會在最優(yōu)維納解附近波動。

為了進一步增強算法的穩(wěn)定性和抗干擾能力,本文在文獻[11]的標準箕舌線函數(shù)變步長算法的基礎(chǔ)上作出進一步的改進。

原步長迭代式中,調(diào)節(jié)步長因子的部分主要是|e(n)|2,本文利用信號與噪聲不相關(guān)的特性,采用|e(n)e(n-1)|代替|e(n)|2,進一步增強算法的抗干擾性能。但是經(jīng)過重復仿真實驗發(fā)現(xiàn),算法未完全收斂時,步長因子會過早減小,導致收斂速度變慢。為解決步長因子過早下降至最小值的問題,加入補償量0.1|e(n)|來保證前期的快速收斂速度。

綜上,本文提出的改進后基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法公式可以總結(jié)為

e(n)=d(n)-wH(n)x(n),

(14)

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)。

(16)

2.3 參數(shù)分析

確定噪聲對消方案和算法之后,合理的參數(shù)取值也是保證算法效果的前提。在Matlab軟件中繪圖分析參數(shù)取值對e(n)-μ(n)曲線的影響。圖8(a)表示α值一定時β變化對步長μ值的影響;圖8(b)表示β值一定時α變化對步長μ值的影響。

圖8 e(n)-μ(n)曲線Fig.8 e(n)-μ(n) curve

從圖8中可以看出:α值主要影響的是箕舌線函數(shù)曲線的陡峭程度,α值越大,在誤差值趨近于0時下降速率越大、步長因子仍保持較大值,這樣會導致穩(wěn)態(tài)誤差波動較大,使得跟蹤效能下降,α值越小,在收斂初期則不能保證較大的步長因子和快速的收斂速度;β值主要影響的是箕舌線函數(shù)曲線開口的大小,實際上就是步長因子的理論最大值,β值越小,曲線的開口越大,在誤差值趨近0時愈加平緩,穩(wěn)態(tài)誤差也較小,跟蹤能力穩(wěn)定,但是過小的β值會導致開始的步長μ值太小,達到穩(wěn)態(tài)所需時間太長,所以β值的取值要適中。

在實際仿真和應(yīng)用中,要根據(jù)輸入信號的特性選擇不同的α值、β值,保證步長μ值處在收斂范圍內(nèi)且保證濾波前期的快速收斂。

兩個參數(shù)的理論范圍由式(6)和式(15)推導可得

由箕舌線函數(shù)的性質(zhì)可知

μ(n)<β,

(18)

所以,參數(shù)β的范圍應(yīng)為

而參數(shù)α則應(yīng)該保證μ(n)>0。

3 算法仿真

3.1 理論分析

在Matlab軟件中對本文方案設(shè)計進行仿真實驗。首先建立信號模型,引信在上電完成后,發(fā)射天線發(fā)出的探測信號為

ut(t)=Acos(2πf0t+φ0),

(20)

式(20)中,A表示信號幅值;f0表示信號頻率;φ0表示信號初始相位,一般為0。假定彈速勻速為vr,彈目初始距離為R,可得

R(t)=R-vrt。

(21)

探測信號經(jīng)過一段時間之后遇到目標發(fā)生反射和散射,產(chǎn)生回波信號,檢測到的回波信號為

ur(t)=kAcos(2πf0(t-τ(t))+φ0),

(22)

式(22)中,k表示回波衰減倍數(shù),τ(t)表示回波相較于發(fā)射波的延遲時間。

式(23)中,c為光速。

由式(22)和式(23)可得

fd指彈目交會時的多普勒頻率,彈藥接近目標時fd為正值,一般表示為

由式(24)和式(25)可得最終的回波表達式為

其中,λ是信號波長。高斯譜是常用的噪聲模型,高斯白噪聲的功率譜密度服從均勻分布,幅度分布服從高斯分布。環(huán)境噪聲和電路噪聲用高斯白噪聲近似。

3.2 軟件模型

在Matlab仿真中,重點是驗證變步長LMS算法的降噪能力。參照上述分析,為了便于仿真,將仿真信號設(shè)置如下:

ur(t)=0.1cos(2π×50×t)。

(27)

噪聲產(chǎn)生:使用Matlab中的函數(shù)生成零均值的、對應(yīng)信噪比為5 dB的高斯白噪聲n(t)。信號和噪聲之間是加性關(guān)系。

最終引信信號系統(tǒng)接收天線接收到的實際信號uf(t)表示為

uf(t)=ur(t)+n(t)。

(28)

對比圖3中的自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng),仿真所用的各信號均在圖9中示意:噪聲對消系統(tǒng)中的有用信號為回波信號ur(t);噪聲信號為高斯白噪聲n(t);原始輸入信號為uf(t)=ur(t)+n(t);噪聲源,即參考輸入信號設(shè)為up(t),是由uf(t)通過一個低通濾波器得到的信號。

圖9 仿真信號示意圖Fig.9 Simulation signal schematic

3.3 仿真參數(shù)設(shè)定

本文仿真實驗將濾波器階數(shù)設(shè)置為20階,采樣點數(shù)為3 000點。進行三組仿真,分別采用固定步長LMS算法、基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法、基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法進行降噪效果仿真對比實驗。在對比實驗前,先要確定各算法最優(yōu)參數(shù)選取值。

固定步長LMS算法μ值的取值與輸入信號相關(guān)矩陣的最大特征值有關(guān),在理論范圍內(nèi)隨機調(diào)整固定步長LMS算法μ值做100次仿真實驗,觀察步長對誤差的影響。分析實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),μ值過大或過小均不能穩(wěn)定收斂或保持較小的穩(wěn)態(tài)均方誤差。綜合仿真實驗結(jié)果,在本文的實驗條件下,固定步長LMS算法μ值應(yīng)取0.15左右效果最佳。

對于基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法α值、β值而言,基于文獻[3]的研究,在理論范圍內(nèi)隨機取值分別做100次仿真實驗,統(tǒng)計分析結(jié)果來確定合適的參數(shù)取值。綜合仿真實驗結(jié)果,在本文的實驗條件下,基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法的α值取6、β值取3效果最佳。

對于基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法α值、β值而言,在理論范圍內(nèi)隨機取值分別做100次仿真實驗,來確定合適的參數(shù)取值。綜合仿真實驗結(jié)果,在本文的實驗條件下,基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法的α值取20、β值取1.5效果最佳。

3.4 仿真結(jié)果

圖10依次表示有用的回波信號ur(t)、在ur(t)中混雜了噪聲n(t)的接收信號uf(t)和uf(t)經(jīng)過一個低通濾波器之后得到的參考信號up(t)。仿真實驗的目的是對uf(t)進行自適應(yīng)噪聲對消,得到盡可能精確的ur(t),同時比較各種LMS算法的性能。

圖10 自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中各輸入信號波形Fig.10 Waveforms of each input signal in the adaptive Snoise cancellation system

圖11表示up(t)分別經(jīng)過三種不同的LMS自適應(yīng)濾波算法迭代之后自適應(yīng)濾波器部分對應(yīng)的輸出yj。

圖12表示應(yīng)用三種不同算法的自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)整體的輸出ej,即對回波信號ur(t)的估計。

圖13表示誤差曲線,即自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)輸出ej與原始信號中有用信號ur(t)的偏離程度,表征的是算法在自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中的降噪能力和對有用信號的還原能力。

表1是各算法仿真結(jié)果的對比。通過仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):在引信信號處理過程中,采用基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法的自適應(yīng)濾波可以滿足引信微弱信號降噪的要求:收斂速度快,即濾波速度快,滿足引信的實時性要求;穩(wěn)態(tài)誤差小,即精準度高,滿足引信的可靠性要求;計算復雜度低,即資源需求小,滿足引信的硬件要求。因此,本文所提出的方案是合理有效的。

圖11 自適應(yīng)濾波器輸出信號Fig.11 Adaptive filter output signal

圖12 自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)輸出信號Fig.12 Adaptive noise canceling system output signal

圖13 噪聲對消系統(tǒng)輸出信號與有用信號的誤差Fig.13 The error between the useful signal and the output signal of the noise-canceling system

表1 仿真結(jié)果對比Tab.1 Comparison of simulation results

3.5 不同信噪比下仿真分析

保持濾波器階數(shù)為20階、采樣點數(shù)為3 000點,噪聲對消系統(tǒng)中其他輸入信號不變;調(diào)整自適應(yīng)濾波噪聲對消系統(tǒng)中原始輸入信號uf(t)的信噪比,分析在不同信噪比的情況下,本文提出的基于箕舌線函數(shù)變步長LMS算法的降噪效果。

綜合多次實驗結(jié)果,不同信噪比情況下,算法的各參數(shù)最優(yōu)取值如表2所示。

圖14為四種不同信噪比情況下,自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)有用信號ur(t)和原始輸入信號uf(t)的波形。

表2 不同信噪比下算法參數(shù)選擇Tab.2 Selection of algorithm parameters under different signal-to-noise ratios

圖15為不同信噪比情況下,自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)輸出信號ej的波形。

圖16為自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)輸出信號ej與有用信號ur(t)的誤差。

圖14 自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中有用信號和原始輸入信號波形Fig.14 Useful signal and original input signal waveforms in the adaptive noise cancellation system

圖15 自適應(yīng)噪聲對消系統(tǒng)中輸出信號波形Fig.15 Output signal waveform in adaptive noise cancellation system

不同信噪比情況下,濾波前后信噪比對比結(jié)果如表3。

分析以上結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn):濾波后信號較之濾波前信號信噪比均有8～20 dB的提升;濾波后穩(wěn)定收斂的信號部分較之濾波前信號信噪比有20～38 dB的提升。本文提出的基于箕舌線函數(shù)變步長LMS算法,在高低不同的信噪比情況下,通過調(diào)整算法參數(shù),算法的收斂性和穩(wěn)定性仍然保持較好的狀態(tài);改進算法適用于多種信噪比條件,魯棒性較好。

圖16 輸出信號與有用信號的誤差Fig.16 Error of output signal and useful signal

表3 不同信噪比下濾波前后信噪比對比Tab.3 Comparison of signal-to-noise ratio before and after filtering under different signal-to-noise ratios

4 結(jié)論

在引信較為嚴苛的電磁環(huán)境和硬件要求下,采用基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法的自適應(yīng)濾波器技術(shù)對目標回波信號通帶內(nèi)的噪聲進行抑制,以提取混雜在噪聲中的微弱回波信號。通過理論分析和仿真分析,構(gòu)建了基于箕舌線函數(shù)的變步長LMS算法的自適應(yīng)降噪模型,將其應(yīng)用于引信工作環(huán)境下進行仿真,得到了符合理論預期的實驗結(jié)果。

仿真實驗表明,該算法可以用于提取引信微弱回波信號,在多種信噪比環(huán)境下均具有良好的噪聲抑制能力,且計算復雜度較低,也符合引信的低功耗、硬件資源少的要求,為引信信號處理提供了新的思路。如何避免輸入信號突變對自適應(yīng)濾波的影響,進一步降低誤差、提高濾波速度,以及如何快速選擇算法參數(shù)等問題在后續(xù)的工作中是研究改進的重點。