邱智宇 肖桂娜

摘? ? 要：小球以不同初速度經(jīng)過離心軌道圓環(huán)底端后，其在豎直平面內(nèi)的運動情況不同。利用Tracker軟件追蹤并分析了小球在軌道上的運動軌跡，分別討論了傾斜軌道的高度大于、小于、介于圓環(huán)半徑倍數(shù)時小球的運動情況，并從能量角度驗證了動能定理，探究了變力做功問題。這一工作也可以用來分析過山車的安全性問題。

關(guān)鍵詞：Tracker軌跡追蹤；離心軌道；動能定理；變力做功

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）4-0065-4

過山車是每一個大型游樂園的標(biāo)志，其高速旋轉(zhuǎn)與高空倒懸時的離心力讓游客驚心動魄，但這種單環(huán)過山車的安全系數(shù)卻很高［1］?；匦^程中，乘客由于離心力穩(wěn)坐在座椅上，涉及到的圓周運動與牛頓第二定律知識值得思考［2］，分析物體運動的臨界點與能量變化可探究其物理機(jī)制。Tracker是款免費視頻分析和建模工具，可以應(yīng)用于物理定量分析［3］。以離心軌道為研究對象，基于Tracker軟件追蹤小球并探究其在軌道上的不同運動情況和能量變化規(guī)律。

1? ? 實驗原理

將過山車軌道簡化為半徑為R的單環(huán)離心軌道，過山車視為小球［4］。小球先沿著斜面軌道加速下滑，到達(dá)單環(huán)軌道底部后沖上圓形軌道，其實物圖和模型圖如圖1、圖2所示。由于小球從不同高度下滑時獲得的初動能不同，所以它在單環(huán)軌道上的運動情況也不同［5］。

小球在單環(huán)軌道上運動時，對軌道的壓力FN與圓形軌道垂直。所以，只有重力G對小球做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

2? ? 實驗過程

2.1? ? 實驗儀器

用iPhone12的延時攝影功能錄制實驗視頻，參數(shù)為1 080 p/240 fps。離心軌道釋放段傾斜角度θ為37.874°，內(nèi)側(cè)直徑D為0.126 m的單環(huán)圓形軌道，質(zhì)量m為0.081 kg、直徑為0.024 m的小球。

2.2? ? 實驗步驟

將實驗裝置與相機(jī)（iPhone12）支架水平對齊，在傾斜軌道上設(shè)置好不同的釋放高度。先點擊錄制，然后開始實驗，待小球穩(wěn)定后停止錄制。

將視頻導(dǎo)入Tracker軟件中，選擇合適的片段設(shè)置起始幀與結(jié)束幀，并設(shè)置每一幀的時間間隔。運用定標(biāo)桿設(shè)定視頻中單環(huán)圓形軌道的參數(shù)，使其與實際大小吻合。選擇合適的起點建立笛卡爾坐標(biāo)系。

建立質(zhì)點A，按住Shift鍵并在小球中心左擊鼠標(biāo)標(biāo)定起點。由于小球表面是能夠反射光的金屬材料，因此Tracker軟件能夠快速識別小球所在位置進(jìn)行軌跡的自動追蹤。追蹤完畢后，軟件能直接顯示小球每一幀的運動軌跡，如圖4左面板中的小方框所示。軟件能輸出此坐標(biāo)系下小球位置、速度隨時間的變化（x-t、y-t和v-t），也能計算出小球的運動軌道（x-y），如圖4右面板的散點連接線所示。

選定目標(biāo)圖像，右擊鼠標(biāo)選擇“分析”，可直接在Tracker界面中擬合選定的數(shù)據(jù)段并得到函數(shù)解析式。也可以選取圖像中的點，直接讀出小球在該點時的位置、速度與加速度的數(shù)據(jù)，如圖5所示。

3? ? 實驗數(shù)據(jù)分析

3.1? ? Tracker軌跡追蹤

實驗中，小球從傾斜軌道上距離水平面3R到0.25R的高度釋放。選擇部分?jǐn)?shù)據(jù)分析，具體表現(xiàn)為以下三種情況：

（1）當(dāng)釋放高度大于2.5R時，小球可以通過圓形軌道的頂端，軌跡的擬合方程為圓方程，擬合相關(guān)系數(shù)接近1，表明小球在豎直平面上做圓周運動，如圖6所示。

（2）當(dāng)釋放高度介于2.5R與R之間時，小球無法通過圓形軌道頂端，當(dāng)小球運動到右端點之上后，會以一定速度向下射出。圖7為小球拋射后的軌跡圖像，擬合函數(shù)為二次函數(shù)，表明小球脫離圓形軌道后在豎直平面內(nèi)做拋體運動。

（3）當(dāng)釋放高度低于R時，小球無法通過圓環(huán)軌道的右端點。但小球不會從軌道上脫落，而是在速度減為0 m/s后沿軌道原路返回，最終停留在軌道最底端。小球在軌道上的運動軌跡的擬合函數(shù)解析式依然為圓形，如圖8所示。

3.2? ? 小球脫離軌道時特殊位置討論

當(dāng)釋放高度H介于2.5R與R之間時，小球因無法越過圓形軌道頂端而脫離軌道，做斜拋運動，且下落后會與軌道再次發(fā)生碰撞。但當(dāng)釋放高度為1.41R（0.089 m）時，小球恰好落到圓環(huán)軌道底端。此時， Tracker軟件可以直接讀取小球在底端與脫離點的速度。軟件中的量角器可測得小球脫離軌道點和圓心之間的連線與水平方向的夾角，多次測量取平均值后得到表1中的數(shù)據(jù)。

3.3? ? 從能量角度分析小球在離心軌道上的運動

當(dāng)小球在單環(huán)圓形軌道上運動時，其高度與速度時刻在變化。以軌道底端為零勢能面，由不同位置處小球的高度與速度值計算出相應(yīng)位置的動能與重力勢能。另外，還能計算出初、末位置的動能差與重力勢能，結(jié)果如表2所示。

釋放高度范圍為0＜H≤R時，小球不脫離圓形軌道且運動到頂端時速度為0 m/s，取該點記錄其動能與重力勢能；釋放高度范圍為2.5R≤H≤3R時，小球不脫離軌道，可達(dá)到軌道頂端，記錄小球在頂端時的動能與重力勢能；釋放高度范圍為R＜H＜2.5R時，小球運動到圓形軌道上半圓后以切向初速度做斜拋運動，取脫離時刻的動能與重力勢能。由表2的數(shù)據(jù)可以看出，小球動能的變化量與重力做功的數(shù)值接近，說明小球在圓形軌道上運動時克服重力所做的功等于其初、末位置動能的變化量。但是，由于小球在軌道上運動時，引起動能變化的原因還有摩擦力做功。因此，通過對運動時能量變化的分析，可以得到摩擦力的做功情況。

4? ? 結(jié)? 論

利用Tracker軟件自動追蹤離心軌道上從不同高度釋放的小球的軌跡與速度，并討論了單環(huán)圓形軌道上的動能定理。這種將現(xiàn)代信息技術(shù)融合到物理教學(xué)中的多元化策略，提高了物理定量實驗研究的精度。由實驗探究可知，過山車要安全通過頂點，只要保證小車到達(dá)圓環(huán)底端時的初速度v0≥即可。例如，上海某游樂場“云霄飛車”的回環(huán)直徑為31.1 m，理論上小車的初始速度達(dá)到99.34 km/h即可安全通過頂點。而過山車的實際運行速度為105.6 km/h，確保了過山車和人能安全通過頂點。此外，實驗考慮到了小球在軌道上運動時摩擦力做功（變力做功）的因素，從而啟發(fā)教師在教學(xué)過程中從能量與位置變化的角度分析變力做功。

參考文獻(xiàn)：

［1］顧振興， 董克劍. 利用視頻分析軟件研究“過山車”問題［J］. 物理教學(xué)，2018，40（5）：42-43，47.

［2］趙清鋒. 小球在豎直圓軌道上的脫軌運動分析［J］. 中學(xué)物理教學(xué)參考，2014，43（11）：30-32.

［3］邵欣穎，程敏熙，楊博，等. 用視頻分析軟件Tracker研究小球在豎直平面內(nèi)的圓周運動［J］. 物理教師，2019，40（6）：58-59.

［4］夏可心，郭長江.用DIS與傳統(tǒng)實驗軌道分析豎直平面內(nèi)的圓周運動［J］.中學(xué)物理，2022，40（9）：60-62.

［5］陳汝冰，陳琳. 淺析豎直平面內(nèi)的圓周運動［J］.物理教師，2015，36（3）：83-86.

（欄目編輯? ? 賈偉堯）