程瀚哲 首都經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)

股票是現(xiàn)代金融市場中最常見、最重要的金融工具。股票市場在市場經(jīng)濟活動中起到了至關(guān)重要的作用。股票市場可以讓企業(yè)發(fā)行股票籌集生產(chǎn)資本。企業(yè)可以通過股市傳播企業(yè)信息以起到宣傳作用、能夠反映企業(yè)自身的真實運營狀況及優(yōu)化經(jīng)濟市場資源配置。對于投資者來說，股票市場有了更多的投資原則，擴大了投資的選擇范圍，股票市場上可以隨時進行股票交易也降低了投資者投資所需要承擔(dān)的風(fēng)險。對于國家來說，股票市場一直都是市場經(jīng)濟的晴雨表，此外很重要的是能使社會的閑散資金合理流動。而沒有股票市場，常規(guī)的商品交易很難像股市一樣集成全國乃至全球范圍的，因為其虛擬資本運作的形式而擺脫了地域的限制來統(tǒng)合整體的經(jīng)濟活動[1]。

股票市場的研究和預(yù)測難度很大，因為影響股票市場的因素眾多，國家政策、企業(yè)發(fā)展、投資情緒以及普遍存在大量的隨機事件導(dǎo)致股票市場變幻莫測，從因素上對股市進行分析很難有準(zhǔn)確的預(yù)測。因此時間序列模型往往是用來進行股票價格預(yù)測的普遍選項。時間序列分析是通過數(shù)據(jù)本身的變化來反應(yīng)數(shù)據(jù)走向規(guī)律的一種數(shù)據(jù)分析模型，常用的模型包括自回歸AR模型、移動平均MA模型、自回歸移動平均ARMA模型、差分自回歸移動平均ARIMA模型、自回歸條件異方差A(yù)RCH模型、廣義自回歸條件異方差GARCH模型等。應(yīng)用合適的模型是時間序列分析的重要步驟之一，將股票數(shù)據(jù)擬合為恰當(dāng)?shù)哪Ｐ湍軌蚪o股票價格帶來有價值的預(yù)測結(jié)果。

一、數(shù)據(jù)背景

本文所使用的數(shù)據(jù)集是來源于Kaggle平臺的公開數(shù)據(jù)集：https：//www.kaggle.com/rpaguirre/tesla-stockprice。該數(shù)據(jù)集記錄了T公司從2010年6月29日到2017年3月17日每天的股票價格數(shù)據(jù)。本文選取其中的收盤價序列（Close）進行分析，計算其更具研究意義的對數(shù)收益率，并對此對數(shù)收益率序列進行時間序列建模和預(yù)測。

二、收盤價序列的描述性分析

首先，繪制出每日收盤價序列的時序圖（見圖1）。

從收盤價序列時序圖中可以看出，數(shù)據(jù)總體呈現(xiàn)出上升趨勢，并且具有隨著股價增加波動幅度更大的跡象，該序列的標(biāo)準(zhǔn)差近似與其水平值成正比。因此，本文根據(jù)此特征，需對此收盤價序列進行對數(shù)變換，以調(diào)整該序列的方差至近似一致。

然后，繪制出對數(shù)收盤價序列的時序圖及其延遲100階的樣本自相關(guān)圖（見圖2）。

圖2 對數(shù)收盤價序列時序圖

經(jīng)觀察，對數(shù)變換后的收盤價序列在方差一致性方面確實有了顯著的改善。此外，對數(shù)收盤價序列仍具有明顯的上升趨勢，且不具有短期相關(guān)性。因此，本文認(rèn)為此序列非平穩(wěn)，對于其是否為差分非平穩(wěn)，還需做單位根檢驗來進行進一步的探究。

圖3：對數(shù)收盤價序列ACF圖

三、模型識別

（一）ADF檢驗

對上述對數(shù)收盤價序列做一階差分，記差分后的數(shù)據(jù)為對數(shù)收益率，接下來，根據(jù)對數(shù)收益率序列的樣本偏自相關(guān)函數(shù)圖和R語言中的ar函數(shù)選擇ADF檢驗時自回歸模型的階數(shù)，對數(shù)收益率序列擬合自回歸模型時AR項階數(shù)選擇為0，于是ADF檢驗就退化為DF檢驗，對數(shù)收盤價序列DF檢驗結(jié)果如下：

表1 ar函數(shù)對對數(shù)收益率序列的估計結(jié)果

由于p值大于0.05，于是在0.05的顯著性水平下不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為對數(shù)收盤價序列單位根非平穩(wěn)。

進而需要檢驗對數(shù)收益率序列是否單位根非平穩(wěn)（步驟同上述DF檢驗）：

表2 ar函數(shù)對對數(shù)收益率一次差分序列的估計結(jié)果

由于p值小于0.05，于是在0.05的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為對數(shù)收益率序列平穩(wěn)，因此不需要對對數(shù)收盤價序列做二次差分。

綜上，對數(shù)收盤價序列非平穩(wěn)。若想實現(xiàn)平穩(wěn)，則應(yīng)對此序列進行一次差分處理，形成對數(shù)收益率序列。

（二）對數(shù)收益率序列的描述性分析

首先，計算對數(shù)收益率序列的描述統(tǒng)計量。

表3 對數(shù)收益率序列的描述統(tǒng)計量

由樣本均值的t檢驗結(jié)果知：對數(shù)收益率序列的總體均值并沒有顯著地不同于0；正態(tài)性檢驗的結(jié)果顯示此序列并不服從于正態(tài)分布；樣本偏度為正，說明此序列右偏。

繪制對數(shù)收益率序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖，結(jié)合對數(shù)收益率序列的樣本ACF圖和PACF圖，以及其總體均值不顯著的特征，初步認(rèn)定此序列為白噪聲序列，接下來需進一步做Box檢驗，檢驗結(jié)果p為0.4198。

由于p值顯著大于顯著性水平0.05，所以該序列不能拒絕白噪聲的原假設(shè)。

（三）ARCH效應(yīng)檢驗

ARCH模型是自回歸條件異方差模型，解決了傳統(tǒng)計量經(jīng)濟學(xué)時間序列變量的第二個假設(shè)方差恒定所引起的問題，應(yīng)用于波動性有關(guān)的廣泛的研究領(lǐng)域，可以用來預(yù)測股票的波動率，來對風(fēng)險進行控制，等等。不同于大部分預(yù)測被解釋變量期望著的模型，ARCH模型能預(yù)測被解釋變量的方差，準(zhǔn)確地模擬時間序列變量波動性的變化。ARCH模型主要解釋序列中明顯的變化是否具有規(guī)律，說明這種變化依存的是內(nèi)在傳導(dǎo)而不是外生性結(jié)構(gòu)變化，能夠提高預(yù)測精度[2]。

繪制對數(shù)收益率絕對值序列的樣本自相關(guān)圖，并對其進行白噪聲檢驗。檢驗結(jié)論為對數(shù)收益率絕對值序列存在序列自相關(guān)。白噪聲檢驗結(jié)果也表明絕對值變換后的序列為非白噪聲序列。

繪制對數(shù)收益率平方序列的樣本自相關(guān)圖，并對其進行白噪聲檢驗。

對數(shù)收益率平方序列存在序列自相關(guān)，白噪聲檢驗結(jié)果也表明平方變換后的序列為非白噪聲序列。

非線性變換后不是獨立的，說明原序列也是非獨立的，因此，對數(shù)收益率序列具有某種自相關(guān)性，而且這種自相關(guān)性會造成序列的條件異方差性。基于此觀點，需對對數(shù)收益率序列進一步做ARCH效應(yīng)檢驗。

對此對數(shù)收益率序列做McLeod-Li檢驗，McLeod-Li檢驗在5%的顯著性水平下都顯著，給數(shù)據(jù)具有ARCH特征提供了強有力的證據(jù)。

對對數(shù)收益率序列做拉格朗日乘子檢驗，LM檢驗在5%的顯著性水平下都顯著，給數(shù)據(jù)具有ARCH特征提供了強有力的證據(jù)。

（四）GARCH模型定階

Bollerslve在Engle的基礎(chǔ)上，借助自回歸移動平均ARMA模型的建立，建立了廣義自回歸條件異方差GARCH模型。他彌補了ARCH（q）模型中階數(shù)q過大時需要過多的參數(shù)的缺陷。這是一種允許異方差中同時存在自回歸項和滑動平均項的模型，GARCH（p，q）模型。顯然，如果p=0時，GARCH（0，q）模型就是ARCH（q）模型，可以將GARCH模型看成是ARCH模型的推廣，或者將ARCH模型看作是GARCH模型的特殊情形。

由于對數(shù)收益率序列ARCH效應(yīng)的存在，所以應(yīng)對此序列擬合ARCH模型或GARCH模型，首先需確定模型的階數(shù)。

根據(jù)ARCH模型定階應(yīng)用平方序列的樣本偏自相關(guān)函數(shù)圖和GARCH模型定階應(yīng)用平方序列的樣本EACF圖所示結(jié)果，建議設(shè)定ARCH（2）模型或GARCH（1，1）模型。

四、參數(shù)估計

（一）ARCH（2）模型的估計（應(yīng)用正態(tài)分布的新息）

對數(shù)收益率應(yīng)用正態(tài)分布的新息建立ARCH（2）模型，記作m1，對m1模型進行參數(shù)估計。

此模型的各參數(shù)估計值都顯著，模型表達式為：

檢驗結(jié)果顯示：均值方程和波動率方程都充分?jǐn)M合了數(shù)據(jù)，模型AIC為-4.05562，但標(biāo)準(zhǔn)化殘差并不滿足正態(tài)性假定。

（二）ARCH（2）模型的估計（應(yīng)用學(xué)生t分布的新息）

對數(shù)收益率應(yīng)用學(xué)生t分布的新息建立ARCH（2）模型，記作m2，對m2模型進行參數(shù)估計。

此模型的各參數(shù)估計值都顯著，模型表達式為：

檢驗結(jié)果顯示：均值方程和波動率方程都充分?jǐn)M合了數(shù)據(jù)，模型AIC為-4.232647。

（三）GARCH（1，1）模型的估計（應(yīng)用正態(tài)分布的新息）

對數(shù)收益率應(yīng)用正態(tài)分布的新息建立GARCH（1，1）模型，記作m3，對m3模型進行參數(shù)估計。

此模型的各參數(shù)估計值都顯著，模型表達式為：

檢驗結(jié)果顯示：均值方程和波動率方程都充分?jǐn)M合了數(shù)據(jù)，模型AIC為-4.061315，但標(biāo)準(zhǔn)化殘差并不滿足正態(tài)性假定。

（四）GARCH（1，1）模型的估計（應(yīng)用學(xué)生t分布的新息）

對數(shù)收益率應(yīng)用正態(tài)分布的新息建立GARCH（1，1）模型，記作m4，對m4模型進行參數(shù)估計。

此模型的各參數(shù)估計值除omega外都顯著，但考慮到條件方差的長期水平不能為0，于是參數(shù)omega不予剔除。模型表達式為：

檢驗結(jié)果顯示：均值方程和波動率方程都充分?jǐn)M合了數(shù)據(jù)，模型AIC為-4.254761。

（五）模型比較

匯總上述通過檢驗的模型的AIC值，并進行樣本內(nèi)比較：

表4 模型AIC值匯總

m4模型的AIC值最小，因此，認(rèn)為m4模型為相對最優(yōu)模型。

五、模型診斷

畫出對數(shù)收益率m4模型的波動率圖像（見圖4）。

圖4 m4模型的波動率圖像

畫出對數(shù)收益率m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差時序圖（見圖5）。

圖5 m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差時序圖

由上圖可見，標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列基本在水平線0的上下波動，且波動幅度近似一致。

畫出對數(shù)收益率的m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差樣本自相關(guān)圖（見圖6）。

圖6 m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差樣本ACF圖

畫出對數(shù)收益率m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方樣本自相關(guān)圖（見圖7）。

圖7 m4模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差平方樣本ACF圖

圖6不表明標(biāo)準(zhǔn)化殘差過程中有顯著的序列相關(guān)性，圖7不表明標(biāo)準(zhǔn)化殘差過程中有顯著的條件異方差性，因此，m4模型通過了診斷，可以用作預(yù)測。

六、模型預(yù)測

應(yīng)用m4模型對T公司的對數(shù)收益率序列進行了10期外推預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如下：

表5 對數(shù)收益率的m4模型的預(yù)測結(jié)果

保留原對數(shù)收益率序列的后50條數(shù)據(jù)，并結(jié)合上述m4模型的預(yù)測結(jié)果，繪制出如下預(yù)測圖像（見圖8）。

圖8 對數(shù)收益率的m4模型的預(yù)測圖像