摘 要：培養(yǎng)高中生數學解題能力，是判斷學生知識掌握和應用情況的關鍵指標，同時也是提升學生學習興趣的重要途徑.鑒于當前高中生在解題中面臨的重重困難，科學融入波利亞解題模型，可促使學生在“理清題意、制定計劃、執(zhí)行計劃、檢驗與回顧”的解題流程中高效解答題目，逐漸提升學生的解題能力.本文聚焦于此，結合解題實踐，針對波利亞解題模型在數學解題中的應用展開了詳細探究.

關鍵詞：高中數學；解題能力；波利亞解題模型；課堂教學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）30-0014-03

收稿日期：2023-07-25

作者簡介：馮潔（1996.11-），女，江蘇省溧陽人，碩士，中小學二級教師，從事高中數學教學研究.

波利亞解題模型源于波利亞《怎樣解題：數學思維的新方法》.在該書中，波利亞緊緊圍繞“解決數學問題”這一中心任務，提出了“波利亞解題模型”，倡導學生在解題時，應遵循“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”四個流程開展.其中，“理清題意”即為理解題目意思、明確題目已知條件、所求問題等，這是學生高效解題的關鍵；“制定計劃”是聯(lián)系題目已知條件、所求問題，運用所學的知識進行思考，尋找解題思路；“執(zhí)行計劃”則是依據上一個階段中制定的解題思路，利用所學的知識、方法進行推理、運算，最終得出正確的結論；“檢驗與回顧”則是對整個解題過程進行回顧、反思、總結，在檢驗解題正確與否的基礎上，進行知識積累，并為學生后續(xù)的解題奠定基礎^[1].鑒于波利亞思想的內涵，將其應用到高中數學解題教學中，已經成為一線教師研究的重點.

1 高中數學解題教學狀況

1.1 解題教學驅動性不足，學生學習積極性較低

新課標執(zhí)行前期，高中數學解題教學大多仍以講解式教學和練習式教學為主.講解式教學由教師主導，注重對問題進行剖析和講解，學生處于被動學習狀態(tài)；練習式教學則以學生為主體，對學生自主學習能力和獨立思考能力要求較高.因此，教師教學設計不夠全面，教學模式趣味性較低，導致解題教學驅動性不足，學生學習缺乏主動性等現象在講解式教學和練習式教學中都有體現.在講解式教學中的體現為學生注意力不集中，打瞌睡、走神等現象頻發(fā)；在練習式教學中的體現為學生解題效率較低、正確度較低.例如，教師在講解“橢圓的標準方程”相關的知識點時，會在引導學生進行等式的化簡后推導出橢圓的標準方程，但因為學生對于等式的化簡存在困難，而課堂時間有限，造成學生缺少練習時間，教師也需要進行后續(xù)的講解.這造成“一步慢，步步慢”的情況，學生也無法跟上教師后續(xù)的講解進度，學習自信心也會受到打擊.

1.2 解題教學創(chuàng)新性不足，難以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)

新課程標準指出，高中數學教學需要在傳授知識的基礎上培養(yǎng)學生的運用能力、創(chuàng)新精神、核心素養(yǎng)等綜合能力.數學習題每年都會迎來一定的創(chuàng)新，雖然考查的內容大體相同，但解題思路會發(fā)生一定的改變.前期高中數學教師因為沒有針對性地培養(yǎng)學生的解題能力和核心素養(yǎng)，導致學生掌握了某一個問題的解題方法，并未掌握這一類題型的解題方法.例如，教師在講解“已知函數f（x）=ln（x+x²+1），若實數a，b滿足f（a）+f（b-1）=0，則a+b=？”這一問題的核心在于觀察f（x）在定義域內是增函數還是減函數.教師在講解時也會按部就班地完成講解，但在實際過程中缺乏引導學生深度思考的過程，導致學生只能將解題方法運用到這一個題目上，無法觸類旁通.

1.3 忽視回顧與反思環(huán)節(jié)，解題教學有效性不足

回顧反思作為解題教學的收尾階段，其具有幫助學生查漏補缺、增強學生記憶力、提升學生解題思維的重要作用.但在當前高中數學教學中，仍有部分教師忽視回顧反思教學開展，導致解題教學有效性不足.以“立體幾何初步”這一章節(jié)知識點為例，教師在講解完成之后會為學生布置相關的復習任務，如進行習題訓練等.因為教師并未了解學生的實際學情，其很難針對性地布置復習任務，因此大部分教師會選擇“題海戰(zhàn)術”，試圖通過量變來引起質變.并且，學生在完成復習任務之后教師的評價也極其簡單，大都只有幾個“對鉤”或者一個“閱”字，復習任務的有效性難以充分體現，學生也無法根據教師的評價確定自身的問題.久而久之，學生的復習積極性會不斷降低，學習壓力也會因為題海戰(zhàn)術不斷增加.

2 波利亞解題模型在高中數學解題教學中的實踐應用

為對波利亞解題模版在解題中的應用展開深入研究，筆者結合以下兩道題目進行了詳細的探究：

例1 已知正項等比數列a_n的前n項和為S_n，a₁=2，2S₂=a₂+a₃求：

（1）等比數列a_n的通項公式？

（2）設b_n=2n-1/a_n，求數列b_n的前n項和？

基于波利亞解題模型，在解答這一問題時，可從以下四個方面進行：

第一，理清題意.引導學生自己讀題、審題，理解題目的含義，明確題目中的已知條件、未知內容、所求目標等.在本題中學生經過審題，理清了題目中已知條件、所求目標.其中，已知條件：數列a_n的首項、第二項和第三項的和、a_n是正項等比數列；所求目標：數列a_n、b_n的通項公式，以及b_n的前n項和？

第二，制定計劃.本階段是形成解題思路的核心，主要是聚焦所求的問題，圍繞已知量和未知量之間的關系進行探究，并在此基礎上形成解題思路.在本題目中，先將題目中已知條件和所求問題聯(lián)系起來，并由“等比數列的通項公式、數列b_n的前n項和”展開聯(lián)想.在此基礎上通過討論、分析，逐漸形成本題目的解題思路：針對（1）來說，需要借助等比數列的性質，前n項和求和公式，將a_n的首項和公比q求出來；針對（2）來說，則需要借助數列a_n的通項公式，將b_n的通項公式求出來.接著再利用錯位相減的方法，將b_n前n項和求出來.

第三，執(zhí)行計劃.主要是按照上述設計的解題思路進行解答.在本題目中根據上述分析所形成的解題思路，按照如下步驟執(zhí)行解題：

由①-②得出：

第四，檢驗與回顧.這一環(huán)節(jié)主要是解題完成之后對其進行檢驗，看其是否正確.同時，在這一階段中，還應及時進行反思和積累，為學生后續(xù)解題奠定基礎.在本題目解答完畢后，就先引導學生開展檢驗，之后圍繞整個解題過程進行反思和總結.對此，有的學生表示本題目中主要圍繞等比數列的性質、通項公式、錯位相減法進行了考查；還有的學生在總結中提出了解答第一問數列a_n的首項和公比q是關鍵；也有的學生在總結中提出了本題的難點在于第二問，關鍵是運算^[2].如此，學生通過反思與總結，不僅掌握了這一類型數學解題的解答技巧，也學會了知識的遷移和應用，真正提升了學生的舉一反三能力.

3 高中數學波利亞解題教學啟示

波利亞模型是一種重要的、系統(tǒng)化的解題方式，將其應用到數學解題中，可促使學生在“理清題意——制定計劃——執(zhí)行計劃——檢驗與回顧”的引導下，深入挖掘題目中已知條件和所求問題，并引導學生運用所學的知識尋求已知條件和未知條件的內在聯(lián)系，最終將陌生的數學題目轉化成為學生所熟悉的數學解題類型，以便于學生形成明確、清晰的解題思路.鑒于波利亞模型在數學解題中的應用價值，高中數學教師還應靈活開展課堂教學，引導學生在日常學習中逐漸掌握這一解題技巧和能力.

首先，引導學生靈活應用波利亞“怎樣解題”表.波利亞模型為學生提供了一個常規(guī)的解題思路，無論是簡單的數學題目，還是復雜的數學題目，都可以按照這一思路展開.因此，為了引導學生真正掌握這一解題技巧，就應結合具體的題目，引領學生分析題目、確定目標、研究解題思路、解題實踐等.如此，經過一段時間的訓練之后，學生就會逐漸形成波利亞解題思維.

其次，深層次挖掘波利亞解題思想觀，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).根據波利亞解題的具體流程和內涵，對學生的審題能力、基礎知識體系、數學思想、數學運算等都提出了更高的要求.鑒于此，高中數學教師在日常教學中，還應立足于波利亞解題的思想觀，聚焦學生的核心素養(yǎng)設計課堂教學方案，全面加強學生基礎知識、數學審題能力、數學抽象素養(yǎng)、常見數學思想教學，借助針對性的訓練提升學生的數學綜合素養(yǎng).

最后，重視檢驗與總結.波利亞解題模型中的四個步驟組成了一個系統(tǒng)化的解題體系.在實際應用中，部分教師常常忽視回顧和檢驗.鑒于此，在日常解題教學時，應給予足夠的重視，引導學生完成解題之后及時進行反思，使學生在反思、總結中，領悟數學解題中蘊含的數學思想，內化數學知識，并提升自身的數學解題能力^[3].

綜上所述，波利亞模型作為一種有效的解題工具，將其應用到數學解題中，不僅提升了學生的數學解題效率，也幫助學生逐漸形成了良好的解題習慣，真正提升了高中生的數學解題能力.鑒于此，高中數學教師在日常解題教學中，應基于針對性的練習題目，對波利亞解題模型進行細化，使學生在針對性的訓練中，逐漸掌握這一解題技巧.

參考文獻：

[1] 李輝.例談波利亞解題模型在高中數學解題教學中的應用[J].語數外學習（高中版上旬），2021（5）：55.

[2] 黃倩欣. 基于波利亞解題理論的高中數學習題課教學研究[D].海口：海南師范大學，2020.

[3] 趙源.運用波利亞數學解題表進行高中解題教學的策略研究[J].數理化解題研究，2018（12）：40-41.

[責任編輯：李 璟]