［摘" 要］ 將單一的問題用多種形式表示，可增加學(xué)生表征的視角，提高學(xué)生的表征能力. 文章從多元表征的理論基礎(chǔ)出發(fā)，以“平面向量基本定理”的教學(xué)為例，具體從以下四方面展開教學(xué)與思考：舊知回顧，設(shè)置問題；問題驅(qū)動，探索新知；多元表征，完善定理；總結(jié)歸納，獲得圖式.

［關(guān)鍵詞］ 多元表征；認知負荷；應(yīng)用措施

作者簡介：李明（1979—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

多元表征是當前國際數(shù)學(xué)與教育心理學(xué)研究的熱點話題. 實踐證明，多元表征的應(yīng)用能深化學(xué)生對知識本質(zhì)的理解，增強知識的正遷移，促進學(xué)生思維與能力的發(fā)展. 多元表征主張通過對問題模式與規(guī)則的觀察，將一般問題轉(zhuǎn)化為具體問題，并應(yīng)用多種觀點表達同一問題，達到順利解題的目的.

■ 理論基礎(chǔ)

1. 認知模型理論

從信息加工角度來看，數(shù)學(xué)多元表征是指人腦對表征信息進行提取、加工與貯存的過程，有工作記憶與長時記憶兩個系統(tǒng)（見圖1）. 認知模型理論從認知角度出發(fā)，對數(shù)學(xué)信息進行辨認，一般遵循以下步驟：第一步，信息直接作用到學(xué)生的感官，學(xué)生初步形成第一階段感知，獲得“感覺記憶”，這種記憶模式儲存時間短，往往幾秒鐘以后就會遺忘；第二步，教師進行適當引導(dǎo)，讓學(xué)生形成第二階段的“組織記憶”，信息經(jīng)過組織形成淺層心象碼與淺層語言碼；第三步，深化學(xué)生對信息的理解，促進深層心象碼與深層言語碼的形成；第四步，變換與轉(zhuǎn)譯表征間的編碼，形成整合碼，獲得工作記憶，而后經(jīng)過存儲形成長時記憶.

2. 雙重編碼理論

加拿大學(xué)者Paivio等人于1970年提出雙重編碼理論，對教育產(chǎn)生了重要影響. 該理論認為，圖象記憶強于文字記憶，若在同一時間呈現(xiàn)同一件事物的言語與非言語信息，和僅呈現(xiàn)一種信息相比較，前者更利于學(xué)習(xí)者形成言語碼與心象碼.

雙重編碼理論對多元表征具有重要的促進意義，該理論的實證研究給多元表征指導(dǎo)下的教學(xué)策略提供了重要方向. 比如我們所熟悉的幾何直觀化、代數(shù)化過程等，都可以將文字或語言轉(zhuǎn)化為直觀可視的圖象，這對學(xué)生的學(xué)習(xí)起輔助作用.

3. 認知負荷理論

20世紀80年代，澳大利亞學(xué)者Sweller等人共同提出認知負荷理論，該理論對教育學(xué)和心理學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響. 該理論認為，認知負荷分為內(nèi)在、外在與有效三種類型.

在認知負荷的啟發(fā)下，基于多元表征視角進行教學(xué)設(shè)計，需要考慮到知識的信息結(jié)構(gòu)，同時還要注意策略的呈現(xiàn)以及無關(guān)信息的剔除等，要保證有效認知負荷的產(chǎn)生. 因此，基于多元表征理念的教學(xué)設(shè)計要著重關(guān)注認知負荷情況，盡可能讓認知負荷一直處于工作記憶狀態(tài).

■ 教學(xué)分析

平面向量基本定理是向量知識模塊中的重點內(nèi)容，學(xué)生在應(yīng)用這部分知識解決實際問題時，常出現(xiàn)如下幾種障礙：①從向量本身來看，它存在大小與方向兩種屬性，類比物理知識容易理解，但難以掌握該定理所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用時錯誤百出；②對這部分知識的認識處于靜態(tài)，難以進行知識的整合與建構(gòu)，更談不上應(yīng)用.

將多元表征理念應(yīng)用在平面向量基本定理的教學(xué)中，能讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，體會特殊和一般之間的靈活轉(zhuǎn)化與化歸，感知數(shù)形結(jié)合思想等，實現(xiàn)知識的整合與建構(gòu).

■ 教學(xué)過程簡錄

1. 舊知回顧，設(shè)置問題

首先要求學(xué)生回顧與平面向量相關(guān)的知識，說說當時的學(xué)習(xí)方法. 在筆者的啟發(fā)下，學(xué)生表示學(xué)過向量的加減法、數(shù)乘、向量共線定理等知識，并大致描述了當時的研究方法.

師：之前我們通過向量的數(shù)乘獲得了向量的共線定理，明確了一個向量可以表示另一個向量，且兩者可以互相表示. 本節(jié)課我們就研究平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示.

設(shè)計意圖 舊知的回顧起到喚醒的作用，讓學(xué)生通過有效信息的提取，進行有意義的思考. 筆者從共線向量的關(guān)系出發(fā)，揭示本節(jié)課的探究主題——平面內(nèi)任一向量可以由同一平面內(nèi)的兩個不共線向量表示. 這種方法能快速吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生自然而然地進入新知的探索.

4. 總結(jié)歸納，獲得圖式

本節(jié)課的課堂小結(jié)，筆者引導(dǎo)學(xué)生以圖示的方式進行高度概括、深化整合. 經(jīng)歸納與總結(jié)，學(xué)生將本節(jié)課的關(guān)鍵內(nèi)容整理如下：

一個定理：平面向量基本定理；

三個特征：任意性、不共線、唯一性；

兩個數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)方程思想、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.

設(shè)計意圖 對一節(jié)課的回顧與總結(jié)，是學(xué)生自主理清知識脈絡(luò)、提煉數(shù)學(xué)思想方法的過程，也是完善認知結(jié)構(gòu)，獲得概念內(nèi)部心象碼、生成整合碼的過程. 因此這個環(huán)節(jié)起著重要的承上啟下作用，是后續(xù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.

■ 教學(xué)策略思考

1. 信息注意策略

對于平面向量基本定理而言，這是一個復(fù)雜且抽象的定理，單一的表達方式不足以引起學(xué)生的深度理解. 而多種表示形式的呈現(xiàn)，可引發(fā)學(xué)生對定理本質(zhì)的認識. 因此，教師可在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生對關(guān)鍵信息進行提煉、標注，讓學(xué)生將更多的精力投入到有意義的信息中來. 如定理講授時，教師先借助PPT展示定理，并要求學(xué)生根據(jù)文字描述將定理的關(guān)鍵性質(zhì)羅列出來，這屬于信息注意策略的應(yīng)用.

2. 多元表征策略

在信息打包原則下進行平面向量基本定理的教學(xué)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多元表征的角度對定理進行描述，以促進學(xué)生對定理非本質(zhì)屬性的認識. 平面向量基本定理是一個抽象的定理，若僅用一種表征形式根本就無法揭露其本質(zhì). 鑒于該階段學(xué)生的抽象水平有限，教師在教學(xué)時應(yīng)盡可能向?qū)W生呈現(xiàn)多種表征形式，以增強學(xué)生的理解程度.

3. 變式教學(xué)策略

變式是基于知識本質(zhì)的訓(xùn)練方式，與多元表征的本質(zhì)具有統(tǒng)一性. 本節(jié)課的變式應(yīng)用，不僅讓學(xué)生多維度了解了表征對象，還讓學(xué)生更好地應(yīng)用所學(xué)知識解決了問題. 這種教學(xué)策略，一方面讓學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容的各種形式有了進一步的認識，另一方面讓學(xué)生對知識間的聯(lián)系有了研究. 因此，變式應(yīng)用可以讓學(xué)生更深層次地認識平面向量基本定理.

總之，多元表征能幫助學(xué)生建構(gòu)良好的認知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生生成整合碼，讓學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容形成長時記憶，利于后期學(xué)習(xí)應(yīng)用. 因此，這是一種值得推廣的教學(xué)模式，需要教師用清晰的思路，站到宏觀的角度設(shè)計教學(xué)，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).