陳相兵 陳晨 閔心暢

為解決混合（等式和不等式）約束的多峰優(yōu)化問題（MOPs），本文在粒子群算法框架下提出了粒子優(yōu)度比較準(zhǔn)則和局部協(xié)同與共軛進(jìn)退尋優(yōu)兩種迭代進(jìn)化策略. 優(yōu)度比較準(zhǔn)則在適應(yīng)度和約束違反度的雙重限制下指導(dǎo)粒子高效地執(zhí)行進(jìn)化策略，局部協(xié)同策略可使粒子能通過局部抱團(tuán)收斂到多個全局最優(yōu)解，而共軛進(jìn)退尋優(yōu)策略則提升了尋優(yōu)的速度和精度. 基于優(yōu)度比較準(zhǔn)則與兩種進(jìn)化策略的有效結(jié)合，本文設(shè)計(jì)了一個協(xié)同共軛進(jìn)退粒子群（CCARPSO）算法，以充分融合粒子群算法的全局搜索能力和共軛進(jìn)退法的局部快速尋優(yōu)能力. 數(shù)值仿真表明， 該算法能有效解決復(fù)雜約束MOPs和非線性方程組的多根問題，在廣義Logistic分布的參數(shù)估計(jì)中有全局優(yōu)化能力和較高的計(jì)算精度.

多峰優(yōu)化； 優(yōu)度比較； 局部協(xié)同； 共軛方向； 進(jìn)退法； 粒子群

O29A2023.011006

收稿日期： 2022-01-22

基金項(xiàng)目： 四川省科技計(jì)劃（2022JDRC0068， 2021JDRC0080）； 四川省教育廳項(xiàng)目（18ZB0363）； 中國民用航空飛行學(xué)院校級項(xiàng)目（J2021-058）

作者簡介： 陳相兵（1985-）， 男， 安徽樅陽人， 博士， 副教授， 主要研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué). E-mail： chenxb85@sina.com

通訊作者： 陳晨.E-mail：chenchen_uni@foxmail.com

A cooperative conjugate advance-retreat particle swarm optimization algorithm for hybrid constrained multimodal optimization problems

CHEN Xiang-Bing1， CHEN Chen2，? MIN Xin-Chang3

（1.Division of Mathematics， Sichuan University Jinjiang College， Meishan 620860， China; 2. College of Science， Civil Aviation Flight University of China， Guanghan 618307， China；3. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610044， China）

This paper aims at the multimodal optimization problems （MOPs） with equality and inequality constraints. A new algorithm is proposed following the particle swarm optimization idea. This algorithm consists of a superiority comparison criterion and two iterative evolutionary strategies. The superiority comparison criterion guides the particles on how to evolute according to the constructed constraint violation degree and the fitness （i.e.， the objective function value）. The local cooperation strategy ensures that all particles can converge to multiple global optimal solutions through local clustering. The conjugate advance-retreat optimization strategy improves the speed and precision of optimization. Our algorithm， named cooperative conjugate advance-retreat particle swarm optimization （CCARPSO） algorithm， integrates the global searching ability of PSO and the local fast optimization capability of conjugate advance-retreat method. In numerical simulations， the algorithm effectively solves MOPs with complex constraints and nonlinear equations with multiple solutions， and has high global optimization ability and calculation accuracy in estimating parameters of the generalized Logistic distribution.

Multimodal optimization; Superiority comparison; Local cooperation; Conjugate direction; Advance-retreat method; Particle swarm

1 引 言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)的數(shù)量和種類急劇增加，海量數(shù)據(jù)出現(xiàn)在多個領(lǐng)域，例如醫(yī)療診斷［1］、市場決策［2］、路徑規(guī)劃［3］和光伏陣列［4］等. 隨之，多變量、多約束的多峰值優(yōu)化問題［5］（MOPs：Multimodal Optimization Problems）時(shí)常出現(xiàn)而且亟待解決.

傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，例如牛頓法、共軛梯度法、單純形法以及分支定界法等，通常要求目標(biāo)和約束函數(shù)可導(dǎo)，且容易陷入局部極值. 智能進(jìn)化算法選擇則利用群體智慧，能夠并行處理超大規(guī)模優(yōu)化問題. 智能進(jìn)化算法包含差分進(jìn)化（Differential Evolution， DE）［6］算法、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）算法和遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）［7］等. 在MOPs的優(yōu)化算法中，智能進(jìn)化算法是當(dāng)前的熱點(diǎn)算法之一，如基于DE的小生境方法［8-9］. 為了降低參數(shù)的影響，一些新的進(jìn)化算子融入了小生境策略［10-14］.基于DE的小生境方法已經(jīng)成功地應(yīng)用于無約束或帶簡單約束的MOPs. 然而，對于帶復(fù)雜約束（如非線性約束）的MOPs，相關(guān)的研究工作還極為少見，適用的智能進(jìn)化算法有待研究.

PSO算法模擬了自然群體生命現(xiàn)象的自組織、自學(xué)習(xí)和自適應(yīng)性，依據(jù)適應(yīng)度和優(yōu)勝劣汰法則迭代地搜索解空間的最優(yōu)個體［15］. 它不僅不需要目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，而且具有操作簡單、可并行計(jì)算和模型參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，已在眾多領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，如基數(shù)約束的投資組合優(yōu)化［16］和多元線性回歸參數(shù)估計(jì)［17］等.

針對帶混合（等式和不等式）約束的MOPs，本文設(shè)計(jì)了新的PSO算法，其中的粒子基于優(yōu)度比較準(zhǔn)則在局部協(xié)同和共軛進(jìn)退尋優(yōu)迭代兩種進(jìn)化策略中選擇合適的進(jìn)化策略，我們稱之為協(xié)同共軛進(jìn)退PSO（Cooperative Conjugate Advance-Retreat PSO，CCARPSO）算法. 其中，優(yōu)度比較準(zhǔn)則在約束違反度和適應(yīng)度（目標(biāo)函數(shù)值）的雙重限制下指導(dǎo)粒子有效地迭代進(jìn)化，協(xié)同策略則解決了一般PSO算法容易早熟和難以同時(shí)尋找多最優(yōu)解的問題，共軛進(jìn)退尋優(yōu)策略則提升了尋優(yōu)的速度和精度. 該算法充分融合了PSO的全局搜索能力和共軛進(jìn)退法的局部快速尋優(yōu)能力. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，在求解帶混合約束的MOPs和多根的非線性方程組時(shí)本文提出的CCARPSO算法具有優(yōu)良性能.

6 結(jié) 論

本文構(gòu)建了帶混合約束的MPOs的CCARPSO算法. 該算法是一種基于優(yōu)度比較準(zhǔn)則來選擇迭代策略的粒子群算法. 共軛進(jìn)退尋優(yōu)策略保證粒子能朝著可行域方向快速進(jìn)化，局部協(xié)同策略使所有粒子能通過局部抱團(tuán)收斂到多個全局最優(yōu)解. 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)表明，CCARPSO算法有效地解決了非線性約束MOP和多根非線性方程組的求解問題. 另外，基于碳素纖維硬度的實(shí)際數(shù)據(jù)，我們利用CCARPSO算法求解參數(shù)估計(jì)優(yōu)化問題，給出了穩(wěn)健、精確的碳素纖維硬度模型參數(shù)估計(jì).

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