周國(guó)全 雒潤(rùn)嘉 齊鎣

摘 要 Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)變換處理非線性偏微分方程，是一種比反散射變換更為方便的直接方法。本文展示了Hirota雙線性導(dǎo)數(shù)變換法應(yīng)用于求解非線性可積方程的一般手續(xù)，以非零駐波邊界條件下修正的非線性薛定諤（MNLS）方程為例，探求其孤子解;再通過(guò)簡(jiǎn)單的參數(shù)歸零法直接得到導(dǎo)數(shù)非線性薛定諤（DNLS）方程在非零常數(shù)邊界條件下的相應(yīng)孤子解，亮/暗孤子解隨時(shí)間和空間變量的演化也通過(guò)圖像加以演示， 所得孤子解與反散射方法得到的結(jié)果一致相符。

關(guān)鍵詞 孤子;非線性方程;修正的非線性薛定諤方程;導(dǎo)數(shù)非線性薛定諤方程;Hirota方法;Hirota雙

自然界存在兩類穩(wěn)定的波動(dòng)狀態(tài)，一類穩(wěn)定波動(dòng)存在于線性且無(wú)色散的均勻媒質(zhì)中，因?yàn)榉蔷€性效應(yīng)和色散效應(yīng)都會(huì)破壞波的穩(wěn)定性。但是，當(dāng)傳波媒質(zhì)的非線性效應(yīng)與色散效應(yīng)達(dá)到一種精致而穩(wěn)定的平衡并相互抵消的時(shí)候，媒質(zhì)中又會(huì)產(chǎn)生一種孤立、穩(wěn)定的局域波動(dòng)，稱為孤立波（solitary wave），即第二類穩(wěn)定傳播的波動(dòng)現(xiàn)象[1]。描述這類孤立、穩(wěn)定且局域的波動(dòng)現(xiàn)象在時(shí)空中的演化過(guò)程的偏微分方程，稱為可積非線性微分方程?？煞e非線性方程既有非線性項(xiàng)，又有色散項(xiàng)，可以改寫成一對(duì)關(guān)于時(shí)空變量的線性演化方程（所謂Lax pair）的可積條件[1]，也稱為相容性條件（compatibility condition），或者零曲率條件（zero-curvature condition）。一些穩(wěn)定的孤立波之所以被稱為孤子（soliton），是因?yàn)樗鼈兊膫鞑コ尸F(xiàn)一種經(jīng)典的準(zhǔn)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其相互間的碰撞過(guò)程類似于彈性粒子之間的碰撞。孤子種類很多，諸如亮/暗孤子、呼吸子、高階孤子、流氓波（rogue wave），并且各具不同的物理背景，比如光纖中傳播的光孤子，等離子體中傳播的阿爾芬孤波，QCD的規(guī)范量子場(chǎng)微分方程的真空瞬子（instanton），等等。本文專注于討論非線性光纖光學(xué)中的光孤子理論。