王程 鄧王紅 孫飛

關(guān)鍵詞 Mathematica;楊氏雙縫干涉;模擬仿真;交互式操作

1801年，托馬斯·楊巧妙地設(shè)計(jì)了一種把單個(gè)波陣面分解為兩個(gè)波陣面以鎖定兩個(gè)波源之間的相位差的方法來(lái)研究光的干涉現(xiàn)象，并利用疊加原理解釋了干涉現(xiàn)象，在歷史上第一次測(cè)定了光的波長(zhǎng)，為光的波動(dòng)學(xué)說(shuō)的確立奠定了基礎(chǔ)。楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的重要實(shí)驗(yàn)之一，但該實(shí)驗(yàn)需要特定的儀器和場(chǎng)所，且實(shí)驗(yàn)參數(shù)的改變引起干涉條紋的變化不明顯，難以充分展示實(shí)驗(yàn)的全部特征，給教學(xué)和科學(xué)研究帶來(lái)了許多不便[1]。本文根據(jù)楊氏雙縫干涉的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用Mathematica軟件編程，對(duì)楊氏雙縫干涉進(jìn)行仿真，從而可以幫助相關(guān)人員形象直觀(guān)地感受光的干涉現(xiàn)象。

式（6）為計(jì)算楊氏雙縫干射圖樣的精確公式，式（8）為計(jì)算楊氏雙縫干射圖樣的近似公式。文獻(xiàn)[6]給出楊氏雙縫干涉仿真實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確計(jì)算公式和近似計(jì)算公式圖樣的對(duì)比，證明了準(zhǔn)確計(jì)算方法和近似計(jì)算法在屏與雙縫間距遠(yuǎn)大于縫寬，同時(shí)計(jì)算的圖樣在中心的小距離范圍內(nèi)（距離中心的距離也是遠(yuǎn)小于屏與雙縫間距）差異很小，通常情況下可以用近似法代替準(zhǔn)確法，也可以用近似公式計(jì)算方法解釋各參量對(duì)干涉圖樣的影響。

本次實(shí)驗(yàn)也將兩個(gè)公式分別作為基本原理進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，在雙縫間距d =1mm 和入射波長(zhǎng)λ=632.8nm，縫到屏之間的距離D =1m 一樣的條件下，近似公式和準(zhǔn)確公式仿真結(jié)果如圖2所示。

可以仔細(xì)觀(guān)察圖2（a）和圖2（b），在近似公式模擬圖和準(zhǔn)確公式模擬圖兩者的條紋數(shù)量不一致即明暗條紋級(jí)數(shù)不一致，條紋級(jí)次較小時(shí)，楊氏雙縫干涉準(zhǔn)確公式坐標(biāo)條紋分布和條紋間距與近似算法結(jié)果一致;但在條紋級(jí)次較大時(shí)，條紋間距不能再認(rèn)為是相等，且隨著級(jí)次的增大，準(zhǔn)確計(jì)算與近似計(jì)算誤差以級(jí)次的平方速率增長(zhǎng)[5]，導(dǎo)致準(zhǔn)確公式模擬圖與近似公式模擬圖慢慢出現(xiàn)了一些差異。通過(guò)進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，要使用近似公式必須滿(mǎn)足 D ?d?λ 且 x?D ，否則就會(huì)與真實(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在偏差。因此在本次仿真模擬實(shí)驗(yàn)中，我們用式（6）來(lái)計(jì)算雙縫干涉，以保證同真實(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)論完全一致。

3 Mathematica仿真

Mathematica是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語(yǔ)言、文本系統(tǒng)和與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。在此次模擬仿真中，我們通過(guò)Mathematica軟件使用Manipulate命令，得到的輸出是一個(gè)交互式對(duì)象，其中包含一個(gè)或多個(gè)控件（滑塊等），可用于更改一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的值。輸出非常像一個(gè)小程序或小部件，它不僅僅是一個(gè)靜態(tài)結(jié)果，它是一個(gè)可以與之交互的運(yùn)行程序。而使用DensityPlot命令可以畫(huà)出在指定區(qū)間上的密度圖，即我們模擬出來(lái)的楊氏干涉條紋圖樣，結(jié)合ColorFunction命令可以決定其作用于某點(diǎn)的函數(shù)值上的顏色，于是借助該命令可以將不同波長(zhǎng)的入射光與其產(chǎn)生的干涉條紋的顏色對(duì)應(yīng)起來(lái)，這樣使得我們的模擬結(jié)果非常的精確直觀(guān)和形象，對(duì)于初學(xué)光的干涉的同學(xué)，認(rèn)知和理解這部分的內(nèi)容有著非常大的作用。

接下來(lái)，本文將用Mathematica軟件對(duì)采用近似公式計(jì)算方法的楊氏雙縫干涉進(jìn)行模擬仿真。如圖3所示，使用Mathematica建立動(dòng)態(tài)交互式操作界面，將波長(zhǎng)，雙縫間距， 觀(guān)察屏與雙縫間垂直距離作為可調(diào)節(jié)的參數(shù)，動(dòng)態(tài)模擬隨可調(diào)參量變化干涉條紋的顏色、間距、寬度等變化過(guò)程，分析條紋變化特征，使干涉條紋變化生動(dòng)形象地展現(xiàn)出來(lái)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真中變化

4.1 參數(shù)變化的影響效果

實(shí)驗(yàn)中有雙縫間距d，縫和接收屏之間的距離D ，入射波長(zhǎng)λ 是可以改變的參數(shù)，在交互式窗口中，通過(guò)改變上述參數(shù)可以得到對(duì)應(yīng)的干涉條紋圖樣。

首先我們分析雙縫間距對(duì)干涉條紋的影響，改變仿真實(shí)驗(yàn)中的雙縫間距d 而在縫和接收屏之間的距離D =20mm，入射波長(zhǎng)λ=632.8nm 的條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。如圖4所示，其中雙縫間的距離分別為d=0.5mm，d=1mm，d=2mm，可以觀(guān)察到圖樣的明暗條紋間距以及位置的變化。

從改變后的結(jié)果可以觀(guān)察出隨著雙縫間距的增加，明暗條紋的間距在逐漸減小，說(shuō)明在波長(zhǎng)和縫和接收屏之間的距離不變的情況下，明（暗）條紋間距Δx 與雙縫間距成反比，周期也在減小，從上述式（9）可以看出是由于光程差增加導(dǎo)致的。

其次我們分析了縫和接受屏之間的距離對(duì)干涉條紋的影響，當(dāng)入射光波長(zhǎng)λ=600nm 和雙縫間距d=1mm 的條件時(shí)，縫和接收屏之間的距離進(jìn)行改變可以得到不同情況下的效果。如圖5所示，其中雙縫間的距離分別為d =0.5mm，d =1mm，d=2mm，可以觀(guān)察到圖樣的明暗條紋間距以及位置的變化。

從實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果來(lái)看，隨著雙縫與接收屏之間的距離的增大，明暗條紋的間距也在增加，條紋的周期也在增加，明（暗）條紋間距Δx 與縫和接收屏之間的距離成正比，周期也在增加，從表達(dá)式中可以知道是光程差減小導(dǎo)致的。

最后我們分析入射波長(zhǎng)對(duì)干涉條紋的影響，同樣，在縫和接收屏之間的距離D =20mm 和雙縫間距d=1mm 的情況下，在交互式界面中直接輸入不同的波長(zhǎng)數(shù)值可以得到波長(zhǎng)改變后的效果圖。如圖6所示，其中入射光波長(zhǎng)λ 分別為λ=400nm，λ=500nm，λ=623.8nm，可以觀(guān)察到明暗條紋間距以及條紋位置的變化。

從實(shí)驗(yàn)仿真的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以直觀(guān)地看出，不同入射光波長(zhǎng)得到干涉圖樣也有了不同的顏色，這是因?yàn)樵诜抡孢^(guò)程中加入了入射波長(zhǎng)與顯示出來(lái)的顏色之間的相關(guān)的函數(shù)，能夠與之對(duì)應(yīng)，在視覺(jué)效果上更加直接和真實(shí)。同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，隨著波長(zhǎng)的增加，明暗條紋之間的間距和條紋數(shù)量在增加，周期在增加，說(shuō)明條明（暗）條紋間距Δx 與波長(zhǎng)成正比。

4.2 其他外加因素的影響

在考慮了干涉實(shí)驗(yàn)中的一些內(nèi)在因素后，本文還可以繼續(xù)考慮一些能夠影響實(shí)驗(yàn)的其他實(shí)驗(yàn)中常見(jiàn)的因素，比如在縫隙后面加入透明介質(zhì)玻璃片，改變光源入射位置等。

4.2.1 加入玻璃片后的影響

圖7為加入玻璃片后示意圖。加入縫隙后的玻璃片的折射率為n，厚度為h。

在入射波長(zhǎng)λ=555nm，雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =20mm 以及介質(zhì)折射率n=1.5和厚度h =5mm 的條件不變的情況下，對(duì)加入玻璃片前后實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬分析，如圖8所示。

從加入玻璃片前后的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以觀(guān)察到干涉條紋的位置發(fā)生了變化，中央亮紋不在x=0處，整個(gè)條紋平移1/8個(gè)周期左右，且條紋之間的距離沒(méi)有發(fā)生改變。這是因?yàn)榧尤氩Ａ髢墒庵g的光程差發(fā)生了改變，從而使得低級(jí)次取代原來(lái)的高級(jí)次，屏上的干涉條紋移動(dòng)方向向上。如果玻璃片放入下側(cè)光路，我們會(huì)觀(guān)察到屏上的干涉條紋整體向下移動(dòng)。通過(guò)Mathematica建立動(dòng)態(tài)交互式操作界面，我們也可以將透明物體的厚度和折射率作為可調(diào)節(jié)的參數(shù)，從而能更好地研究干涉條紋的動(dòng)態(tài)分布特點(diǎn)。

4.2.2 光源移動(dòng)后的影響

為了更加貼合現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)中的真實(shí)性，本次實(shí)驗(yàn)還考慮光源不是處于雙縫中間處的情況，即光源在中心處或上或下的位置。因此，光源入射處與水平處會(huì)有一定的夾角，會(huì)發(fā)現(xiàn)干涉光之間的光程差發(fā)生變化（圖9）。

在入射波長(zhǎng)λ=500nm，雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =20mm 以及l(fā) =1mm，h=0.1mm 的條件不變的情況下，對(duì)改變光源位置前后實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬分析，如圖10所示。

從模擬的結(jié)果來(lái)看，改變光源位置前后，光程差有一定的改變，明暗條紋之間的間距沒(méi)有發(fā)生改變，只是條紋發(fā)生了平移，也就是中心條紋的位置發(fā)生了改變，條紋平移了八分之一個(gè)周期。同時(shí)需要指出的是，在真實(shí)的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置中，雙縫是置于單縫之后的，由于單縫衍射會(huì)在空間形成明暗相間的分布，為了得到清晰可見(jiàn)的干涉條紋，我們應(yīng)使單縫衍射的中央明紋充分覆蓋雙縫部分，而中央明紋又與單縫縫寬，入射波長(zhǎng)等因素有關(guān)。本文我們主要討論雙縫干涉，因此僅簡(jiǎn)化為考慮光源作微小移動(dòng)后對(duì)干涉條紋的影響，而對(duì)于實(shí)際實(shí)驗(yàn)裝置所含的單縫衍射因素影響本文未做更多的討論，關(guān)于這部分的仿真模擬將是非常有趣研究，我們計(jì)劃在后續(xù)的研究中考慮。

5 非單色光干涉模擬[7-10]

前面模擬仿真部分都是以某一單色光作為干涉光，為了更加符合實(shí)際或增強(qiáng)視覺(jué)效果，本次實(shí)驗(yàn)還進(jìn)行了非單色光的模擬，以標(biāo)準(zhǔn)色光三原色——紅光（λ=700nm）綠光（λ=546.1nm），藍(lán)光（λ=435.8nm）為干涉光的原光和雙縫間距d=1mm，縫和接收屏之間的距離D =40mm 的條件下，在Mathematica 軟件運(yùn)用ColorSeparate 和ColorCombine命令對(duì)非單色光進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖11所示。

從最后模擬結(jié)果可以觀(guān)察到在三原色作為干涉光得到的結(jié)果在視覺(jué)上比較好，在中心條紋處光線(xiàn)的疊加可以模擬出白光的效果，同時(shí)也體現(xiàn)了各種顏色都是三原色相互融合的結(jié)果，為實(shí)驗(yàn)增添了更多的真實(shí)性。除此之外，在仿真過(guò)程中雙縫間距d、屏到縫之間的距離D 都是可以進(jìn)行調(diào)整的，當(dāng)然本文中展示的是三種波長(zhǎng)來(lái)模擬，同時(shí)也可以進(jìn)一步的改善來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)可見(jiàn)光光譜的模擬，以此來(lái)探索更多的可能性。

6 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)的原理對(duì)模擬所需的光強(qiáng)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo)，得到光強(qiáng)分布公式，在Mathematica軟件中以此為基本原理進(jìn)行仿真模擬。在此過(guò)程中我們沒(méi)有做任何近似可適用于任意參數(shù)雙縫間距d、縫和接收屏之間的距離D 、入射波長(zhǎng)λ 的輸入，基于模擬仿真的交互性操作，可視化方法及動(dòng)態(tài)模擬這樣就完成了楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)真實(shí)過(guò)程的完全模擬。如果在輸入?yún)?shù)中例如我們滿(mǎn)足D ?d?λ 且x?D 的條件則可以實(shí)現(xiàn)課本中的近似公式的結(jié)果。在本文中我們和教科書(shū)[10]的近似結(jié)果做了比較，也研究了干涉圖像和各參數(shù)之間的關(guān)系，同是我們考慮了非單色光混合后的干涉圖像得到了比較理想的結(jié)果，這對(duì)于拓展物理教學(xué)和激發(fā)學(xué)生興趣具有一定的意義。

基于在計(jì)算機(jī)技術(shù)的虛擬仿真軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的作用越來(lái)越重要，又在軟件上對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬大大降低了成本，可以不受實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)條件的影響。而計(jì)算機(jī)的可視化方法可以幫助解決學(xué)生對(duì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)科特別是實(shí)驗(yàn)理論知識(shí)抽象、調(diào)試難度大的相關(guān)實(shí)驗(yàn)的理解有特別的優(yōu)勢(shì)，在此過(guò)程中可以通過(guò)交互操作控制參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)模擬使得真實(shí)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行可視化模擬，這將使學(xué)生對(duì)一些物理概念有深刻的理解并對(duì)相應(yīng)的學(xué)科知識(shí)迅速建立起印象深刻的認(rèn)知體系。

Wolfram Mathematica語(yǔ)言提供了一種易于理解的編程語(yǔ)言，友好可控的界面以及強(qiáng)大的計(jì)算、繪圖和動(dòng)畫(huà)功能，這也能使得學(xué)生也能很容易根據(jù)自己的意愿基于計(jì)算機(jī)的虛擬現(xiàn)實(shí)仿真進(jìn)行自我的生產(chǎn)和創(chuàng)造。從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，本文基于對(duì)于楊氏雙縫干涉的精確計(jì)算，使用Mathematica軟件實(shí)現(xiàn)了該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的仿真，呈現(xiàn)了干涉條紋隨各種參數(shù)變化的規(guī)律，并模擬了非單色光雙縫干涉圖樣，本文的結(jié)果可在大學(xué)物理教學(xué)中作為教學(xué)參考或用于教學(xué)輔助演示，并且對(duì)大學(xué)物理光學(xué)部分的教學(xué)形成有益補(bǔ)充。