耿向明 周長城 闞世超 張?jiān)粕?鄭偉

（1.山東理工大學(xué)，淄博 255000；2.山東汽車彈簧廠淄博有限公司，淄博 255000）

主題詞：變中徑彈簧 莫爾積分 橫向剛度 變形

1 前言

螺旋彈簧是一種基本的彈性元件，是車輛懸架的重要組成部分[1]。螺旋彈簧種類很多，與普通圓柱彈簧相比，變中徑螺旋彈簧具有更加良好的性能。

文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[3]給出的彈簧橫向剛度計(jì)算方法僅適用于計(jì)算普通圓柱彈簧的橫向剛度。米彩盈[4-6]利用圓柱彈簧計(jì)算高度的一半，導(dǎo)出了圓柱彈簧的橫向剛度計(jì)算式，但不適用于變中徑彈簧的橫向剛度計(jì)算。肖維雄[7]采用有限元方法對普通圓柱螺旋彈簧的剛度進(jìn)行了計(jì)算。陽光武[8]比較分析了幾種圓柱彈簧橫向剛度計(jì)算方法，確定了計(jì)算圓柱彈簧計(jì)算高度的方法。林炳宏[9]分析計(jì)算了變中徑彈簧的垂向剛度，但未計(jì)算其橫向剛度。肖光育[10]計(jì)算了腰鼓型變剛度螺旋彈簧的垂向剛度，但沒有計(jì)算其橫向剛度。張名楊[11]修正了在靜載作用下的克雷特克（Krettek）公式，計(jì)算了普通圓柱彈簧的橫向剛度。丘盛昌[12]對圓柱彈簧進(jìn)行力學(xué)研究，建立了其橫向剛度計(jì)算模型，但未約束圓柱彈簧端部。方子帆[13]計(jì)算了多段式組合變剛度懸架螺旋彈簧的垂向剛度，但未計(jì)算彈簧的橫向剛度。張英會(huì)[14]在彈簧手冊中計(jì)算了變中徑彈簧的垂向剛度及圓柱彈簧的穩(wěn)態(tài)橫向剛度，但未計(jì)算變中徑彈簧的穩(wěn)態(tài)橫向剛度。

通過目前對變中徑彈簧剛度的研究分析可知，暫無變中徑彈簧的穩(wěn)態(tài)橫向剛度準(zhǔn)確計(jì)算方法。為此，本文通過力學(xué)分析，運(yùn)用莫爾積分推導(dǎo)變中徑彈簧端部穩(wěn)態(tài)約束彎矩計(jì)算公式、基于約束彎矩的彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度計(jì)算公式，運(yùn)用有限元仿真驗(yàn)證公式的正確性，并基于穩(wěn)態(tài)橫向剛度推導(dǎo)出變中徑彈簧任意位置穩(wěn)態(tài)撓度的理論計(jì)算式。

2 彈簧端部穩(wěn)態(tài)約束彎矩的解析計(jì)算

2.1 變中徑彈簧基本參數(shù)

變中徑彈簧的投影輪廓如圖1所示。

圖1 變中徑彈簧參數(shù)示意

圖中，Hp為彈簧計(jì)算高度，D1、D2分別為彈簧小圈、大圈直徑，α為彈簧的螺旋角，d為彈簧的簧絲直徑，F(xiàn)為彈簧端部受到的橫向載荷，Mw為使彈簧端部保持水平的約束彎矩，即彈簧端部穩(wěn)態(tài)約束彎矩。當(dāng)變中徑彈簧端部受到橫向載荷作用時(shí)，彈簧端部保持水平，則端部必然受到穩(wěn)態(tài)約束彎矩，因此，在計(jì)算變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度時(shí)，應(yīng)考慮此彎矩。

2.2 變中徑彈簧端部約束彎矩的解析計(jì)算

2.2.1 變中徑彈簧受力分析

變中徑彈簧端部在單位橫向力Fx作用下，產(chǎn)生一偏角γFx，如圖2所示。假設(shè)在彈簧端部僅作用一單位彎矩M=1 N·m，此時(shí)彈簧端部產(chǎn)生的偏角為γM。

圖2 彈簧受單位橫向力示意

在單位橫向力作用下，受力分析模型如圖3 所示。變中徑彈簧端部施加一水平單位力Fx，在角度為θ處，橫向力Fx在絲徑豎直截面產(chǎn)生彎矩M1、M2。

圖3 彈簧軸向投影力學(xué)模型

M1、M2可分解為繞t軸的扭矩、繞b軸的彎矩和繞m軸的彎矩。在考慮螺旋角α的情況下，絲徑豎直截面與斜截面夾角如圖4所示，將豎直截面上的力矩投影到斜截面，可以求得斜截面上沿各軸的力矩。

圖4 截面坐標(biāo)系示意

2.2.2 變中徑彈簧約束彎矩的解析計(jì)算

變中徑彈簧彈簧圈半徑表達(dá)式為：

式中，a=D1/2 為彈簧小圈半徑；kD=(D2-D1)/(4nπ)為彈簧半徑變化率；n為彈簧的有效圈數(shù)。

絲徑斜截面上沿各軸的力矩表達(dá)式為：

式中，Tt為繞t軸的扭矩；Mb為繞b軸的彎矩；Mm為繞m軸的彎矩。

同理，在變中徑彈簧端部施加單位彎矩，在考慮螺旋角α的情況下，可以求得斜截面上沿各軸的力與力矩：

式中，TMt為繞t軸的扭矩；MMb為繞b軸的彎矩；MMm為繞m軸的彎矩。

根據(jù)莫爾積分，可以求得變中徑彈簧端部在單位橫向力、單位彎矩下的轉(zhuǎn)角γFx和γM：

式中，G=E/[2(1+u)]、E分別為切變模量和彈性模量；u為彈簧材料的泊松比；A為彈簧絲徑截面的面積；Ip=πd4/32為彈簧絲徑截面的極慣性矩；In=πd4/64、Ib=πd4/64 分別為彈簧絲徑截面對n軸、b軸的慣性矩。

變中徑彈簧端部保持水平，在受到單位橫向載荷Fx時(shí)，會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)約束彎矩Mw，Mw的數(shù)值大小為Q，其表達(dá)式為：

根據(jù)式（1）～式（5），可以求得穩(wěn)態(tài)約束彎矩為：

式中，

3 變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向柔度及穩(wěn)態(tài)橫向剛度的解析計(jì)算

基于求得的Mw，在Fx和Mw共同作用下，通過力學(xué)分析，可以求得斜截面沿各軸上的力與力矩：

式中，TFxMt為繞t軸的扭矩；MFxMb為繞b軸的彎矩；MFxMm為繞m軸的彎矩。

根據(jù)莫爾積分，在彈簧端部施加單位橫向載荷Fx0，力與力矩的表達(dá)式為：

式中，TFx0Mt為繞t軸的扭矩；MFx0Mb為繞b軸的彎矩；MFx0Mm為繞m軸的彎矩。

根據(jù)莫爾積分，可求得變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向柔度Rw：

根據(jù)式（8）～式（10），若彈簧螺旋角較小，即cosα≈1、sinα≈0，可求得變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向柔度為：

式中，

柔度的倒數(shù)即為剛度，即變中徑穩(wěn)態(tài)橫向剛度：

4 實(shí)例計(jì)算

4.1 約束彎矩及剛度計(jì)算

已知某變中徑彈簧的主要參數(shù)如下：彈簧小圈半徑R1=65 mm，大圈半徑R2=85 mm，絲徑d=13 mm，計(jì)算高度Hp=352 mm，有效圈數(shù)n=4 圈，彈性模量E=206 GPa，泊松比u=0.3，彈簧受到的橫向載荷Fx=300 N。

將彈簧實(shí)際參數(shù)代入式（6），可以求得在單位橫向力作用下的穩(wěn)態(tài)橫向約束彎矩為0.183 7 N·m，將彈簧的實(shí)際參數(shù)代入式（11）、式（13），可以求得穩(wěn)態(tài)橫向剛度為10.437 N/mm。

4.2 變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度的ANSYS仿真驗(yàn)證

根據(jù)彈簧的實(shí)際參數(shù)，在UG中建立彈簧的三維模型，將模型導(dǎo)入ANSYS Workbench中的靜態(tài)結(jié)構(gòu)（Static Structural）模塊，進(jìn)行靜力學(xué)特性仿真分析。對彈簧的底部施加固定約束，對彈簧的端部施加大小為300 N的橫向載荷以及位移約束，對4組不同網(wǎng)格尺寸的彈簧撓度進(jìn)行仿真，分析模型的網(wǎng)格收斂性，結(jié)果如表1所示。

表1 網(wǎng)格收斂性分析

由表1可知，彈簧的撓度幾乎不隨網(wǎng)格數(shù)量而改變，證明模型具有較好的網(wǎng)格收斂性。彈簧仿真結(jié)果云圖如圖5所示。由圖5可知，彈簧最大撓度值為28.806 mm，剛度為10.415 N/mm，與計(jì)算值偏差僅為0.21%，表明本文所建立的變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度的解析計(jì)算式是正確的。

圖5 彈簧變形云圖

5 變中徑彈簧相對橫向撓度的解析計(jì)算

5.1 彈簧等效懸臂桿等效絲徑的計(jì)算

為了計(jì)算變中徑彈簧受橫向力后，彈簧任意位置的穩(wěn)態(tài)撓度，將彈簧等效為一懸臂桿，如圖6所示，并建立坐標(biāo)系。其中，F(xiàn)x為作用在懸臂桿端部且平行于x軸的單位橫向力。考慮變中徑彈簧與等效懸臂桿的剛度相等，運(yùn)用莫爾積分，可以求得等效懸臂桿的絲徑de。莫爾積分可以表達(dá)為：

圖6 等效懸臂桿參數(shù)

式中，ImR=πde4/64 為等效懸臂桿絲徑截面對m軸的慣性矩；y為等效懸臂桿任意位置的縱坐標(biāo)。

將式（13）代入式（14），可以求得積分結(jié)果為：

將ImR代入式（15），可以求得de的表達(dá)式為：

將彈簧的實(shí)際參數(shù)代入式（16），可以求得等效懸臂桿的絲徑de=15 mm。

5.2 不同彈簧位置角處的穩(wěn)態(tài)相對橫向柔度計(jì)算

基于前文建立的等效懸臂桿，桿的端部在單位橫向力作用下，應(yīng)用莫爾積分，可以求得不同位置y0處的橫向穩(wěn)態(tài)相對柔度Rwy：

將等效懸臂桿換為彈簧，彈簧任意位置的穩(wěn)態(tài)柔度可以用θR表示，以θR為坐標(biāo)，對上述表達(dá)式進(jìn)行坐標(biāo)變換，令y=HpθR/(2nπ)，y0=Hpφ/(2nπ)。

可以求得積分結(jié)果為：

式中，Rwφ為彈簧位置角φ處的穩(wěn)態(tài)相對橫向柔度。

根據(jù)彈簧所受橫向力F，可以求得任意位置角處的橫向撓度fwφ：

結(jié)合式（18）、式（19），可以得到變中徑彈簧任意位置的穩(wěn)態(tài)橫向撓度為：

將彈簧的實(shí)際參數(shù)代入式（20），在彈簧端部施加300 N 的橫向載荷，可求得位置角為0 處即彈簧端部的穩(wěn)態(tài)撓度fwφ=28.743 9 mm，與仿真結(jié)果偏差僅為0.21%，表明上述理論分析正確。利用MATLAB 繪制彈簧在橫向載荷F=300 N作用下任意位置處的穩(wěn)態(tài)橫向撓度，如圖7所示。

圖7 彈簧橫向撓度示意

5.3 基于穩(wěn)態(tài)相對橫向撓度的彈簧形狀計(jì)算

根據(jù)彈簧不同位置角θ處的坐標(biāo)，可以表達(dá)出其空間形狀，即彈簧沿坐標(biāo)軸x、y、z的表達(dá)式為：

根據(jù)式（20）求解可得彈簧任意位置處的橫向撓度，因此，可以求得彈簧變形后沿x軸的表達(dá)式為：

根據(jù)式（21）、式（22），可將彈簧初始狀態(tài)和受載狀態(tài)繪制在同一圖中，如圖8所示。

通過上述理論分析，可以正確計(jì)算變中徑彈簧任意位置的橫向撓度。其中，彈簧端點(diǎn)處最大穩(wěn)態(tài)橫向撓度為28.743 9 mm，彈簧終點(diǎn)處最小穩(wěn)態(tài)橫向撓度為0 mm。

6 結(jié)束語

在一定計(jì)算高度下，本文針對變中徑彈簧一端固定、另一端在穩(wěn)態(tài)彎矩約束下受橫向載荷的情況進(jìn)行了力學(xué)研究，通過力學(xué)分析，建立了彈簧端部穩(wěn)態(tài)約束彎矩、穩(wěn)態(tài)橫向剛度的計(jì)算式，結(jié)合具體的變中徑彈簧計(jì)算實(shí)例，與ANSYS仿真結(jié)果進(jìn)行比較，其穩(wěn)態(tài)橫向剛度偏差在0.21%以內(nèi)，表明所建立的變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度計(jì)算方法可靠，實(shí)現(xiàn)了對變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)橫向剛度的準(zhǔn)確計(jì)算。最后，建立了彈簧穩(wěn)態(tài)相對橫向撓度表達(dá)式，可以計(jì)算出其任意位置的橫向撓度，結(jié)合實(shí)際計(jì)算，彈簧任意位置處的橫向撓度計(jì)算值與仿真值吻合，偏差在0.21%以內(nèi)，表明變中徑彈簧穩(wěn)態(tài)相對撓度計(jì)算公式是正確的。

本文所建立的變中徑彈簧端部約束彎矩、穩(wěn)態(tài)橫向剛度、穩(wěn)態(tài)相對撓度表達(dá)式經(jīng)仿真驗(yàn)證是準(zhǔn)確可靠的，可為變中徑彈簧的橫向分析、機(jī)車動(dòng)力學(xué)分析提供一定參考。對于多段組合螺旋彈簧的穩(wěn)態(tài)橫向剛度還有待進(jìn)一步研究。