■河南省固始縣信合外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué) 胡云兵

2019年高考全國(guó)Ⅰ卷首次把概率題作為壓軸題出現(xiàn),當(dāng)時(shí)引起一片嘩然,這是在傳遞什么信號(hào)? 概率統(tǒng)計(jì)題何去何從? 我們要如何備考? 帶著這些問(wèn)題,我們從近幾年全國(guó)卷和部分省份的概率高考題,發(fā)現(xiàn)概率題增加難度,不是概率知識(shí)本身增加難度,而是難在概率與其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯處命題。下面通過(guò)幾道高考題來(lái)說(shuō)明概率與其他數(shù)學(xué)知識(shí)交匯的創(chuàng)新題型。

一、概率與數(shù)列的交匯

例1(2019 全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第21 題)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)。試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)。對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥。一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn)。當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效。為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則甲藥得1 分,乙藥得-1 分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則乙藥得1 分,甲藥得-1 分;若都治愈或都未治愈,則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X。

(1)求X的分布列。

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)。假設(shè)α=0.5,β=0.8。

(i)證明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性。

解析：(1)X的所有可能取值為-1,0,1。

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β)。

故X的分布列如表1。

表1

(2)(i)已知α=0.5,β=0.8,故由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1。

因此,pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7)。

整理得0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1)。

又p1-p0=p1≠0,故{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列。

(ii)由(i)可得:

p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率。

由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理。

點(diǎn)評(píng):本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合題,主要考查數(shù)列和函數(shù)的應(yīng)用,考查離散型隨機(jī)變量的分布列。根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。其本質(zhì)仍然是常規(guī)的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,只是其中涉及了數(shù)列問(wèn)題的應(yīng)用,一般轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式或者數(shù)列求和問(wèn)題。

二、概率與函數(shù)、方程和導(dǎo)數(shù)的交匯

例2(2021新高考Ⅱ卷第21 題) 一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái),設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1 代,再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代,……,該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3)。

(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X)。

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根。求證:當(dāng)E(X)≤1 時(shí),p=1;當(dāng)E(X)＞1時(shí),p＜1。

(3)根據(jù)你的理解,請(qǐng)說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義。

解析：(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1。

(2)設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0。

因?yàn)閜3+p2+p1+p0=1,所以f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0。

①若E(X)≤1,則p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0。

f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3)。

因?yàn)閒'(0)=-(p2+p0+p3)＜0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,所以f'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,且x1＜0＜1≤x2。

當(dāng)x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)＜0。

故f(x)在(-∞,x1)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),在(x2,+∞)上為增函數(shù)。

若x2=1,f(x)在(x2,+∞)為增函數(shù)且f(1)=0。而當(dāng)x∈(0,x2)時(shí),因?yàn)閒(x)在(x1,x2)上為減函數(shù),所以f(x)＞f(x2)=f(1)=0,故1為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根。

若x2＞1,因?yàn)閒(1)=0 且在(0,x2)上為減函數(shù),所以1為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根。

綜上,若E(X)≤1,則p=1。

②若E(X)＞1,則p1+2p2+3p3＞1,故p2+2p3＞p0。

此時(shí)f'(0)=-(p2+p0+p3)＜0,f'(1)=p2+2p3-p0＞0,故f'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x3,x4,且x3＜0＜x4＜1。

當(dāng)x∈(-∞,x3)∪(x4,+∞)時(shí),f'(x)＞0;當(dāng)x∈(x3,x4)時(shí),f'(x)＜0。

故f(x)在(-∞,x3)上為增函數(shù),在(x3,x4)上為減函數(shù),在(x4,+∞)上為增函數(shù)。

而f(1)=0,故f(x4)＜0。

又f(0)=p0＞0,故f(x)在(0,x4)存在一個(gè)零點(diǎn)p,且p＜1。

所以p為p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,此時(shí)p＜1。

故當(dāng)E(X)＞1時(shí),p＜1。

(3)結(jié)論的實(shí)際含義:每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1,則若干代必然滅絕;若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1,則若干代后被滅絕的概率小于1。

點(diǎn)評(píng):在概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題中,決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率。決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案,這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實(shí)現(xiàn)。

例3(2018 年全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)第20題)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件進(jìn)行檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0。

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20 件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2 元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。

①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X);

②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?

令f'(p)=0,得p=0.1。

當(dāng)p∈(0,0.1)時(shí),f'(p)＞0;

當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí),f'(p)＜0。

所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0=0.1。

(2)由(1)知,p=0.1。

①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y。

所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490。

②若對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn),則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)用為400元。

由于E(X)＞400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)。

點(diǎn)評(píng):解決概率和函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題,關(guān)鍵是讀懂題意,將與概率有關(guān)的問(wèn)題(尤其是最值問(wèn)題)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,再利用函數(shù)或?qū)?shù)知識(shí)解決,在轉(zhuǎn)化過(guò)程中,對(duì)已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形、整理,使之與求解的結(jié)論建立聯(lián)系,從而解決問(wèn)題。

三、概率與不等式的交匯

例4(2017 年江蘇卷第23 題)已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同?，F(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出,并放入如表2 所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n)。

表2

(1)試求編號(hào)為2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;

(2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明

解析：(1)編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率

(2)隨機(jī)變量X的概率分布如表3。

表3

隨機(jī)變量X的期望為:

點(diǎn)評(píng):本題表面看起來(lái)是概率問(wèn)題,但是它重點(diǎn)恰在不等式,所以對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題,我們要有意關(guān)注與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的整合。同時(shí)也提醒我們要跳出固定思維模式,學(xué)會(huì)靈活處理問(wèn)題的能力。