■李順才 朱亞飛 歐陽(yáng)亮

一、選擇題

1.如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,直線l過(guò)點(diǎn)A且垂直于平面ABC,動(dòng)點(diǎn)P∈l,當(dāng)點(diǎn)P逐漸遠(yuǎn)離點(diǎn)A時(shí),則∠PCB( )。

圖1

A.變大 B.變小

C.不變 D.有時(shí)變大有時(shí)變小

2.球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是( )。

3.已知平面α,直線m,n滿足m?α,n?α,則“m//n”是“m//α”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

4.在棱長(zhǎng)為1 的正方體上,分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8 個(gè)三棱錐后,剩下的幾何體的體積是( )。

5.(多選 題)α,β是 兩 個(gè) 平 面,m,n是 兩條直線,下列命題正確的是( )。

A.如果m⊥n,m⊥α,n//β,那么α⊥β

B.如果m⊥α,n//α,那么m⊥n

C.如果α⊥β,m?α,那么m⊥β

D.如果m//n,α//β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等

6.(多選題)已知平面α,β,γ兩兩垂直,直線a,b,c滿足a?α,b?β,c?γ,則直線a,b,c可能滿足( )。

A.兩兩垂直 B.兩兩平行

C.兩兩相交 D.兩兩異面

7.(多選題)設(shè)α,β,γ為兩兩不重合的平面,l,m,n為兩兩不重合的直線,則下列命題中正確的是( )。

A.若m?α,n?α,m//β,n//β,則α//β

B.若m⊥α,n⊥β且m⊥n,則α⊥β

C.若l//α,α⊥β,則l⊥β

D.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l//γ,則m//n

8.(多選題)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積不可能是( )。

二、填空題

9.已知l,m是平面α外的兩條不同直線。給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m,②m//α,③l⊥α。以其中兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題____。

10.如圖2,已知矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平 面ABCD,PA=2,現(xiàn) 有以下五個(gè)數(shù)據(jù):,④a=2,⑤a=4。

圖2

當(dāng)在BC邊上存在點(diǎn)Q,使PQ⊥QD時(shí),則a可以取____。(填上正確的數(shù)據(jù)序號(hào)即可)

11.如圖3,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)P是棱CC1上一點(diǎn),記三棱柱ABC-A1B1C1與四棱錐P-ABB1A1的體積分別為V1與V2,則_____。

圖3

12.如圖4所示,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,D為BC的中點(diǎn),沿AD把△ADC折疊到△ADC′處,使二面角B-AD-C′為60°,則折疊后二面角A-BC′-D的正切值為____。

圖4

13.如圖5,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,A1B1的中點(diǎn),P在AD上,若平面CMN⊥平面A1BP,則_____。

圖5

14.已知過(guò)球面上三點(diǎn)A,B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一半,且AB=6,AC=8,BC=10,則球的半徑等于____;球的表面積等于_____。

15.α,β是 兩 個(gè) 不 同 的 平 面,m,n是 平 面α及β之外的兩條不同直線,給出下面四個(gè)論斷:①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α。以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,則你認(rèn)為正確的命題有_____個(gè),其中一個(gè)是____。

16.如圖6所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,且PA= 3,AB=1,BC=2,AC= 3,則異面直線PB與CD所成的角等于____;二面角P-CD-B的大小為____。

圖6

三、解答題

17.如圖7所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC//AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一點(diǎn)。

圖7

(1)若CD//平面PBO,試指出點(diǎn)O的位置。

(2)求證:平面PAB⊥平面PCD。

18.如圖8 所示,在△ABC中,CA=AB,四邊形ABED是正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分別是EC,BD的中點(diǎn)。

圖8

(1)求證:GF//平面ABC。

(2)求證:平面DAC⊥平面EBC。

19.如圖9,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是 邊 長(zhǎng) 為2 的 菱 形,∠BAD=,△PAD是等邊三角形,F為AD的中點(diǎn),PD⊥BF。

圖9

(1)求證:AD⊥PB。

(2)若E在線段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一點(diǎn)G,使平面DEG⊥平面ABCD? 若存在,求出三棱錐D-CEG的體積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

20.如圖10,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB//CD,DC⊥AC。

圖10

(1)求證:DC⊥平面PAC。

(2)求證:平面PAB⊥平面PAC。

(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA//平面CEF? 請(qǐng)說(shuō)明理由。

21.如圖11,四邊形ABCD為矩形,點(diǎn)A,E,B,F共面,△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°。

圖11

(1)若平面ABCD⊥平面AEBF,證明平面BCF⊥平面ADF。

(2)在線段EC上是否存在一點(diǎn)G,使得BG//平面CDF? 若存在,求出此時(shí)三棱錐G-ABE與三棱錐G-ADF的體積之比。

22.如圖12所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的 中 點(diǎn),PA⊥底 面ABCD,PA=3。

圖12

(1)求證:平面PBE⊥平面PAB。

(2)求二面角A-BE-P的大小。

23.如圖13,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形。已知AB=AD=PA=PB=2,PD=2 2。

圖13

(1)求點(diǎn)B到平面PAD的距離。

(2)取AB中點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E。①求證:∠PEO為二面角P-BD-A的平面角。②求∠PEO的正切值。

參考答案與提示

一、選擇題

1.提示:因?yàn)橹本€l⊥平面ABC,所以l⊥BC。又∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以BC⊥平面APC,所以BC⊥PC,所以∠PCB為直角,所以∠PCB的大小與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)。應(yīng)選C。

2.提示:設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,則3a2=4R2,所以。

5.提示:對(duì)于A,α,β可以平行,可以相交,也可以不垂直,A 錯(cuò)誤。對(duì)于B,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n//l,若m⊥α,則m⊥l,所以m⊥n,B 正確。對(duì)于C,因?yàn)棣痢挺?又m?α,所以可能m⊥β,可能m//β,也可能m與β相交,C 不正確。對(duì)于D,因?yàn)閙//n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等。因?yàn)棣?/β,所以n與α所成的角和n與β所成的角相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,D 正確。應(yīng)選BD。

6.提示:畫出圖形進(jìn)行判斷(圖略)。a,b,c可能兩兩垂直;a,b,c可能兩兩相交;a,b,c可能兩兩異面。應(yīng)選ACD。

7.提示:若m?α,n?α,m//β,n//β,則α與β相交或平行,A 錯(cuò)誤。若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則由面面垂直的判定得α⊥β,B 正確。若l//α,α⊥β,則l與β相交、平行或l?β,C錯(cuò)誤。若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l//γ,則由線面平行的性質(zhì)定理得m//n,D 正確。應(yīng)選BD。

8.提示:若繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周,則圓錐的底面半徑為1,高為1,母線長(zhǎng)l=,這時(shí)表面積為πrl+πr2=(1+)π;若繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)圓錐對(duì)底組合在一起,這時(shí)底面半徑為,兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)都為1,其表面積S=2πrl=π。故該幾何表面積S=4πR2=。

15.提示:若①m⊥n,②α⊥β,③m⊥β成立,則n與α可能平行,可能相交,也可能n?α,即④n⊥α不一定成立。若①m⊥n,②α⊥β,④n⊥α成立,則m與β可能平行,可能相交,也可能m?β,即③m⊥β不一定成立。若①m⊥n,③m⊥β,④n⊥α成立,則②α⊥β成立。若②α⊥β,③m⊥β,④n⊥α成立,則①m⊥n成立。正確的命題有2個(gè)。若②③④為條件,則結(jié)論①成立(或若①③④為條件,則結(jié)論②成立)。

16.提示:因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形,所以AB//CD,則∠PBA是異面直線PB與CD所成的角。因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB。又PA=,AB=1,所以∠PBA=60°,即異面直線PB與CD所成的角是60°。因?yàn)锽C2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,所 以∠ACD=90°,即AC⊥CD。因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD。因?yàn)镻A∩AC=A,所以CD⊥平面PAC,所以PC⊥CD,所以∠PCA是二面角P-CD-B的平面角。在直角三角形PAC中,PA=,AC=,所以∠PCA=45°,即二面角P-CD-B的大小為45°。

三、解答題

17.提示:(1)因?yàn)镃D//平面PBO,CD?平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,所以BO//CD。又BC//AD,所以四邊形BCDO為平行四邊形,則BC=DO,而AD=3BC,所以AD=3OD,即點(diǎn)O是線段AD靠近點(diǎn)D的一個(gè)三等分點(diǎn)。

(2)因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平 面ABCD=AD,AB?底 面ABCD,AB⊥AD,所 以AB⊥平 面PAD。又因?yàn)镻D?平面PAD,所以AB⊥PD。

因?yàn)镻A⊥PD,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,所以PD⊥平面PAB。

又PD?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD。

18.提示:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BED為正方形,所以AE∩BD=F,且F是AE的中點(diǎn)。因?yàn)镚是EC的中點(diǎn),所以GF//AC。又AC?平面ABC,GF?平面ABC,所以GF//平面ABC。

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BED為正方形,所以EB⊥AB。

因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC,平面ABED∩平 面ABC=AB,BE?平 面ABED,所 以BE⊥平 面ABC,所 以BE⊥AC。

易得CA2+CB2=AB2,所以AC⊥BC。因?yàn)锽C∩BE=B,BC,BE?平面EBC,所以AC⊥平面EBC。又AC?平面DAC,所以平面DAC⊥平面EBC。

19.提示:(1)因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形,所以PF⊥AD。因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠BAD=,所 以BF⊥AD。因 為PF∩BF=F,所以AD⊥平面BFP。又PB?平面BFP,所以AD⊥PB。

(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G,使平面DEG⊥平面ABCD。

由(1)知AD⊥BF,因?yàn)镻D⊥BF,AD∩PD=D,所以BF⊥平面PAD。因?yàn)锽F?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面PAD。又平面ABCD∩平面PAD=AD,且PF⊥AD,所以PF⊥平面ABCD。

連接CF交DE于點(diǎn)H,過(guò)H作HG//PF交PC于G,所以GH⊥平面ABCD。又GH?平面DEG,所以平面DEG⊥平面ABCD。

20.提示:(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC。又因?yàn)镈C⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC。

(2)因?yàn)锳B//DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC。因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB。因?yàn)锳C∩PC=C,所以AB⊥平面PAC。又AB?PAB,所以平面PAB⊥平面PAC。

(3)棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA//平面CEF。證明如下。

取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF。

因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF//PA。又因?yàn)镻A?平面CEF,EF?平面CEF,所以PA//平面CEF。

21.提示:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC⊥AB。因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面AEBF,BC?平面ABCD,平面ABCD∩平面AEBF=AB,所以BC⊥平面AEBF。又因?yàn)锳F?平面AEBF,所以BC⊥AF。

因?yàn)椤螦FB=90°,即AF⊥BF,且BC,BF?平面BCF,BC∩BF=B,所以AF⊥平面BCF。

又因?yàn)锳F?平面ADF,所以平面ADF⊥平面BCF。

(2)因?yàn)锽C//AD,AD?平面ADF,所以BC//平面ADF。因?yàn)椤鰽BE和△ABF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠AFB=90°,所以∠FAB=∠ABE=45°,所以AF//BE。因?yàn)锳F?平面ADF,所以BE//平面ADF。又因?yàn)锽C∩BE=B,所以平面BCE//平面ADF。

延長(zhǎng)EB到點(diǎn)H(畫法略),使得BH=AF,連接CH,HF,易證四邊形ABHF是平行四邊形,所以,所以四邊形HFDC是平行四邊形,所以CH//DF。過(guò)點(diǎn)B作CH的平行線,交EC于點(diǎn)G,即BG//CH//DF(DF?平面CDF),所以BG//平面CDF,即此點(diǎn)G為所求的點(diǎn)。因?yàn)锽E=

22.提示:(1)由四邊形ABCD是菱形,且∠BCD=60°,知△BCD是等邊三角形。因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD。

因?yàn)锳B//CD,所以BE⊥AB。因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE。因?yàn)镻A∩AB=A,所以BE⊥平面PAB。又因?yàn)锽E?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB。