■貴州省仁懷市周林高中 尹偉云

空間向量是高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,在高考中具有較高的地位,是立體幾何中的一個主要命題方向,往往以“證算并重”的方式進行考查。常以多面體為載體,考查用向量法確定空間點、線、面的位置關(guān)系,求解空間角、空間距離、立體幾何中的動點探究性問題等。需要同學(xué)們借助向量的工具性作用,將空間幾何量之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來求解。下面分類分析空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。

1.證明共線與共面問題

例1如圖1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且|ED1|=2|DE|,|BF|=2|FB1|,線段EF的中點為M。

圖1

求證:(1)點M在長方體的對角線AC1上;(2)點C1在平面AEF內(nèi)。

由向量共面的充要條件知,點C1在平面AEF內(nèi)。

評注:空間向量兼具代數(shù)與幾何的雙重特征,證明多點共線或多線共面問題也是從這兩個方面入手,關(guān)鍵是掌握空間向量的線性運算法則和共線、共面的充要條件。

具體方法是:要證明三點共線,可以證明任意兩點構(gòu)成的一組向量共線且共點;要證明四點共面,可以利用向量共面的充要條件,即以其中一點A為起點,分別以另三點B,C,D為終點得到向量證明存在唯一的實數(shù)對(λ,μ),使成立即可;要證明兩條直線共面,可以證明兩條直線平行或相交,從而轉(zhuǎn)化為兩條直線的方向向量共不共線的問題,即若存在實數(shù)λ,使兩條直線的方向向量a,b滿足b=λa,則兩條直線平行,若不存在實數(shù)λ滿足b=λa,則兩條直線相交。

2.證明線、面的平行與垂直關(guān)系

例2如圖3所示,在直二面角D-ABE中,四邊形ABCD是邊長為2 的正方形,|AE|=|EB|,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE,G為CE的中點。

圖3

求 證:(1)AE∥平 面BDG;(2)AE⊥平面BCE;(3)平面BDF⊥平面ABCD。

解析:因為ABCD為正方形,所以BC⊥AB。因為二面角D-AB-E為直二面角,平面DAB∩平面ABE=AB,所以BC⊥平面AEB。設(shè)線段AB的中點為O,連接OE。因為|AE|=|EB|,所以AB⊥OE。

評注:利用向量法證線面平行,一般有三個思路:一是用向量共面的充要條件,證明直線的方向向量能用平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量表示出來,即這三個向量共面,根據(jù)共面向量概念和直線在平面外,得線面平行;二是先求出平面的法向量,再證明法向量與直線的方向向量垂直;三是證明已知直線與平面內(nèi)的一條直線平行,也就是將其轉(zhuǎn)化為證明線線平行的問題,再根據(jù)線面平行的判斷定理得證。

證面面平行,一般有兩個思路:一是利用向量證明一個平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一個平面,根據(jù)面面平行的判定定理得證;二是求出兩個平面的法向量,證明這兩個法向量平行,則這兩個平面平行。

證線線垂直,可轉(zhuǎn)化為兩條直線的方向向量垂直,即證明兩條直線方向向量的數(shù)量積為0。

證線面垂直有兩個思路:一是證平面的法向量與直線的方向向量平行;二是證直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,再用線面垂直判定定理證明。

證面面垂直,先求出兩個平面的法向量,通過證明這兩個平面的法向量垂直即可。

以上思路大多要用到平面的法向量,當(dāng)題中出現(xiàn)線面垂直時,則該直線的方向向量就是該平面的一個法向量,為減少計算量,無需另求法向量。

3.解決平行或垂直的探索性問題

例3如圖5所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為1 的正方形,側(cè)棱|A1A|=2。

圖5

(1)在棱A1B上是否存在一點M,使得A1D∥平面ACM?

(2)在棱A1A上是否存在一點P,使得平面AB1C1⊥平面PB1C1?

評注:涉及線段上的動點問題,先設(shè)出動點分線段的某個比值λ,根據(jù)兩個向量共線的充要條件得數(shù)乘關(guān)系,從而用λ表示動點的坐標(biāo),再進行相關(guān)計算,這樣可以減少未知量,簡化過程。值得注意的是,應(yīng)給出λ的取值范圍。另外,建系時最好用右手直角坐標(biāo)系且使幾何元素盡量分布在坐標(biāo)軸的正方向上。

4.求解點面距離或幾何體的體積

例4如圖7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,棱AA1⊥側(cè)面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點,|AA1|=|AB|=2,|BC|=3,求三棱錐A1-BC1D的體積。

圖7

解析:由題意知,B1C1,B1B,B1A1三條直線兩兩垂直,故以B1為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系B1-xyz,如圖8所示。

5.求空間角

例5如圖9,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,直線PA與底面ABCD成60°角,點N是PB的中點。

圖9

(1)求異面直線DN與BC所成角的余弦值;(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值;(3)求二面角P-NC-D的余弦值。

解二面角問題,是依據(jù)二面角兩個半平面的法向量夾角與二面角相等或互補來處理。大多數(shù)情況下是根據(jù)圖形判斷該角是銳角還是鈍角,有時也可以根據(jù)兩個半平面的法向量的指向來判斷。

6.結(jié)構(gòu)不良型問題

例6(2022 年北京高考卷)如圖11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,|AB|=|BC|=2,M,N分別為A1B1,AC的中點。

圖11

(1)求證:MN∥平面BCC1B1。(2)再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值。

條件①:AB⊥MN;條件②:|BM|=|MN|。

注:如果選擇條件①和條件②分別解答,那么按第一個解答計分。

解析:(1)因為側(cè)面CBB1C1為正方形,所以CB⊥BB1。又平面CBB1C1⊥平面ABB1A1,平面CBB1C1∩平面ABB1A1=BB1,CB?平 面CBB1C1,所以CB⊥平 面ABB1A1。

因為AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB。

評注:本題運用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)量積及模的運算,得到共面和垂直關(guān)系,避開了復(fù)雜的推理過程,無需添加輔助線,降低了思維難度,讓人感到耳目一新。對于選擇性條件的結(jié)構(gòu)不良試題,應(yīng)該選擇一個易于入手的條件進行求解。

7.最值問題

例7(2022 年全國乙卷理數(shù))如圖13,在四面體A-BCD中,AD⊥CD,|AD|=|CD|,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點。

圖13

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)|AB|=|BD|=2,∠ACB=60°,點F在棱BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成角的正弦值。

解析:(1)因為|AD|=|CD|,E為AC的中點,所以AC⊥DE。

又∠ADB=∠CDB,|DB|=|DB|,所以△ABD≌△CBD,|AB|=|CB|。連接BE,又因為E為AC的中點,所以AC⊥BE。

因為DE∩BE=E,所以AC⊥平 面BED。

因為AC?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD。

8.逆向探索性問題

例8已知四邊形ABCD是梯形,S為AD的中點,BC∥AD,∠BCD=90°,|AD|=2|BC|=4?，F(xiàn)將△ABS沿BS向上翻折,使A到A′,且二面角A′-BS-C為直二面角,E,F分別是A′S,A′B的中點,如圖15所示。

圖15

評注:對于距離、體積或空間角的逆向存在性問題,其求解思路是先假設(shè)條件存在,把假設(shè)當(dāng)作新的已知條件進行推理,通過構(gòu)造方程求解。若得到合理的數(shù)據(jù),則假設(shè)成立;若出現(xiàn)矛盾,則假設(shè)不成立。對于翻折問題,關(guān)鍵是抓住翻折前后幾何量的變與不變進行相關(guān)計算。