■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 胡銀偉

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1.已知直線l1若直線l2與l1垂直,則直線l2的傾斜角是( )。

A.150° B.120° C.60° D.30°

2.在等差數(shù)列{an}中,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,若a3+a11=4,則S13=( )。

A.4 B.13 C.26 D.52

3.根據(jù)圓的性質(zhì)我們知道,過(guò)圓O外的一點(diǎn)A可以作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為B與C,我們把四邊形OBAC稱為圓O的“切點(diǎn)四邊形”?，F(xiàn)已知圓O:x2+y2=1,圓外有一點(diǎn)A(1,2),則圓O的“切點(diǎn)四邊形”的周長(zhǎng)為( )。

A.2 B.4 C.6 D.8

6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2a4=9,9S4=10S2,則a2+a4的值為( )。

A.6 B.9 C.10 D.30

7.由倫敦著名建筑事務(wù)所Steyn Studio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界,該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品。若將如圖1所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線1(a＞0,b＞0)下支的一部分,且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60°,則該雙曲線的離心率為( )。

圖1

A.2 B.4 C.8 D.9

A.1 011 B.1 013

C.2 021 D.2 023

10.若M,N為圓C:x2+y2-4x-4y+7=0上任意兩點(diǎn),P為直線3x-4y+12=0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則∠MPN的最大值是( )。

A.45° B.60° C.90° D.120°

11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段AD的中點(diǎn),設(shè)平面A1BC1與平面CC1E的交線為m,則直線m與AC所成角的余弦值為( )。

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計(jì)20分。)

14.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”。在非等邊△ABC中,|AB|=|AC|,點(diǎn)B坐標(biāo)為(-1,1),點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,-3),且其“歐拉線”與圓M:x2+y2=r2(r＞0)相切,則△ABC的“歐拉線”方程為_(kāi)___,圓M的半徑r=___________。

15.在棱長(zhǎng)為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,分別取棱AA1,A1D1的中點(diǎn)E,F,點(diǎn)G為EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)G到平面ACD1的距離為_(kāi)____。

16.設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F,下頂點(diǎn)為A,若存在直線l與橢圓交于B,C兩點(diǎn),且△ABC的重心為F,則直線BC的斜率k的取值范圍為_(kāi)___。

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計(jì)70分。解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟。)

17.(本小題10分)已知圓C1:x2+y2+2x-6y+5=0,圓C2:x2+y2-10x+5=0。

(1)判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系;

(2)若過(guò)點(diǎn)(3,4)的直線l被圓C1、C2截得的弦長(zhǎng)之比為1∶2,求直線l的方程。

18.(本小題12分)已知F(1,0),直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作l的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)M,設(shè)證明λ1+λ2定值,并求|λ1λ2|的取值范圍。

19.(本小題12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+1=Sn+2(n∈N*)。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列,若求證:1≤Tn＜3。

20.(本小題12 分)已知點(diǎn)M為圓O:x2+y2=1 上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),延長(zhǎng)F1M至N,使得|MN|=|F1M|,線段F1N的垂直平分線交直線F2N于點(diǎn)P,記P的軌跡為Γ。

(1)求Γ的方程;

(2)若直線l與Γ交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,求△OAB面積的最小值。

21.(本小題12分)如圖2,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD,|AD|=|CD|=|DP|=2|PQ|=2|AB|=2,點(diǎn)E,F,M分別為AP,CD,BQ的中點(diǎn)。

圖2

(1)求證:EF∥平面CPM;

(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大小;

(3)若N為線段CQ上的點(diǎn),且直線DN與平面QPM所成的角為求點(diǎn)N到平面CPM的距離。

(1)求橢圓C的方程;

(2)若橢圓C的右頂點(diǎn)為D,點(diǎn)M,N在橢圓C上,且滿足直線DM與DN的斜率之積為證明直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求△DMN面積的最大值。