楊 雄，袁新全

（婁底職業(yè)技術學院，湖南 數(shù)底 417000）

求導是高等數(shù)學教學中的主要內容之一，其中隱函數(shù)求導是導數(shù)中的難點內容，為了便于對隱函數(shù)求導的理解，首先闡釋一元隱函數(shù)的求導的方法，然后推廣到多元隱函數(shù)求導的情況，并且得出相應的隱函數(shù)求導公式，同時應用實際案例對隱函數(shù)的求導公式進行應用探索.

1 隱函數(shù)的定義及其求導方法

（2）把隱函數(shù)看作方程，方程左右兩端對x求導（求導時注意y是關于x的函數(shù)），可得到關于導數(shù)y'(x) 的方程，進行解方程即可求出函數(shù)的導數(shù)y'(x) .或者在多元函數(shù)中方程兩端求偏導，再解方程求出偏導數(shù).

（3）將x,y看作兩個“平等地位”的變量，利用一元微分或多元函數(shù)全微分的形式不變性，在等式或兩端同時取微分，一元微分得到關于dy與dx的等式，把導數(shù)看作微商即可求出y'(x) ，多元函數(shù)求出全微分等式，類比dx前的因子是x的偏導數(shù)，dy前的因子是y的偏導數(shù).

2 一元隱函數(shù)求導法則

2.1 一元隱函數(shù)的求導公式

隱函數(shù)存在定理1[2]設函數(shù)F(x,y) 在點的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)它滿足條件并有

如果F(x,y) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，可以把（1）式的兩端看作x的復合函數(shù)而再求一次導數(shù)，則有一元隱函數(shù)的二階導數(shù)公式

案例1求隱函數(shù)的導數(shù).

方法一用復合函數(shù)求導法則求解隱函數(shù)的導數(shù).

解直接用復合函數(shù)求導法則，有

分析在此求導過程中一定注意，y是關于x的函數(shù)，即比如求的導數(shù)，應該是2yy'，而不是2y，等式兩邊求導后相當于解一元一次方程即可求出導數(shù)，當然求出的導函數(shù)還是一個隱函數(shù).

方法二用等式兩端求微分的方法求解隱函數(shù)的導數(shù).

解方程兩邊取微分，則有

分析等式兩端求微分，求解過程用到一元微分的形式不變性，其實質用然后把等式兩端的dx約去，得到關于y'的方程，解方程即得導數(shù).

方法三直接應用定理1 中的（1）式求解.

分析直接用定理1 求解，隱函數(shù)要變到的形式，然后分別對F(x,y) 求偏導數(shù)，當x求偏導數(shù)時，y看作常數(shù)，當對y求偏導數(shù)時，x看作常數(shù)，其他與一元函數(shù)求導法則、求導公式一樣.

2.2 一元隱函數(shù)的其他求導方法分析

2.2.1 用復合函數(shù)求導法則求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例2設其中f二階可導，且其一階導數(shù)不等于1，求

解等式兩端對x求導，則有，即

對上式兩邊再對x求導，可得進而有將y'代入上式，有

分析在求此類函數(shù)的導數(shù)時，一注意y是關于x的函數(shù)，二要注意復合函數(shù)的求導法則，不能丟掉內函數(shù)的導數(shù)，三要注意一直用方程兩端求導，求導過程中不要先求出一階導數(shù)y'，再對一階導數(shù)等式兩端求導，這樣變成了一個分數(shù)函數(shù)求導，繼續(xù)求高階導數(shù)會變復雜，只要最后把y'代入即可.

2.2.2 用對數(shù)求導法求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例3求隱函數(shù)xy=yx的導數(shù).

解對等式兩端取對數(shù)，則有

分析如果等式中含有冪指函數(shù)，一般用到對數(shù)求導法，先等式兩邊取對數(shù)，并一般需要先通過相應的對數(shù)運算，然后等式兩邊求導數(shù)即可.當然有時可以轉換成e的指數(shù)形式，再用復合函數(shù)求導，如此題可轉換成.

2.2.3 用等式兩邊求微分的方法求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例4求隱函數(shù)cos(xy)=x3y3的導數(shù).

解對等式兩端求微分，則有

分析此解法與例1 中的解法二是有區(qū)別的，例1 中用到的是一元函數(shù)的微分公式，這里用到的二元函數(shù)的全微分公式，即，實質是等式兩邊求全微分.

2.2.4 用變量代換求解隱函數(shù)的導數(shù)

案例5設函數(shù)y=y(x)由方程確定，求

解將方程改寫為進行變量代換，設u=y2lnx，則有

對x求導，可得，即

分析：解此類題，在解題過程中加強觀察，可能會找到簡便的解法，當然觀察的能力來自于平時的積累，因此，對一些解題的方法和技巧要平時多積累.

2.2.5 求一元隱函數(shù)的導數(shù)值

案例6設y=y(x)由方程y-xey= 1確定，求的值[4].

解方程兩端求導可得

以上方程兩邊再對x求導可得

由已知方程及x=0 得y(0) =1 ，再由方程得y'(0)=e，將它們代入以上方程得

分析若要求任意點x處的二階導數(shù)，在求解得到二階導之后，應將一階導數(shù)y'的表達式代入含有和的方程中，把消除；在隱函數(shù)求導過程中，通過一次求導，求得關于一階導數(shù)y'的方程，若能用原方程將含有一階導數(shù)的方程化簡的，應代入化簡，這方便于進一步求二階導數(shù)y''.

3 多元隱函數(shù)的求導法則

隱函數(shù)存在定理2[2]設函數(shù)在點的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，且則方程在點的某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)它滿足條件并有

案例7已知求

方法一相似案例1 中方法一，用復合函數(shù)求導方法，即方程兩端對x求偏導，則有解得

方法二相似案例1 中方法二，對方程兩端取全微分，則有

2xdx+2ydy+2zdz-4dz= 0，解得進而有

方法三應用公式（3）求解，設則有

Fx=2x,Fz= 2z- 4，所以

分析方法一對x求偏導時，y是常數(shù)，z是關于x和y的函數(shù)；方法二是求出全微分，然后比較dx前的因子是x的偏導數(shù)；方法三對x求導時，y和z都是常數(shù)，對z求導時，x和y是常數(shù).如果弄清楚誰是變量，誰是常數(shù)，求導就變容易了.

4 方程組給出的隱函數(shù)的求導法則

隱函數(shù)存在定理3[5]設在點的某一鄰域內具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）式）：

案例8已知求

方法一直接應用公式（4）計算.

F(x,y,u,v)=xu-yv,G(x,y,u,v)=yu+xv- 1，則有

方法二利用復合函數(shù)的求導法則計算，因為方程的兩端對x求導可得若則有

同樣的方法方程兩端對y求導，可求出

方法三方程兩端取全微分，則有

在隱函數(shù)求導的教學過程中，通過從一元隱函數(shù)的求導方法，拓展到多元隱函數(shù)的求導方法，降低了隱函數(shù)求導的難度，進而引導學生積極參與思考，促進學生多途徑、多角度思考問題的能力，并且在知識的深度和廣度上得到充分挖掘.