李太敏 (江蘇省灌南縣教師發(fā)展中心 222500)

江宋標(biāo) (江蘇省灌南縣六塘中學(xué) 222500)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)容的最基本的單元,是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞．概念教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂各類教學(xué)中具有舉足輕重的地位,而在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中具有重要地位的則是“問題提出”,正如美國教育哲學(xué)家布魯巴克所說的,“最精湛的教學(xué)藝術(shù),遵循的最高準(zhǔn)則就是讓學(xué)生自己提出問題”．要讓學(xué)生能提出問題,關(guān)鍵是教師要善于設(shè)計(jì)問題提出的起點(diǎn),這些設(shè)計(jì)起點(diǎn)所反映出來的觀念要能夠讓學(xué)生提升對數(shù)學(xué)教育教學(xué)的看法,學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式對事物進(jìn)行觀察、思考、表達(dá),感悟?qū)で筮\(yùn)動變化中相互聯(lián)系與規(guī)律的思想價(jià)值,體現(xiàn)分析與解決問題能力的智力價(jià)值,能對數(shù)學(xué)概念的定義方式、怎么樣研究概念具有方法論的意義．本文試以江蘇省優(yōu)質(zhì)課評比中的課例“弧度制”為例來對此說明．

1 基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)提出問題:讓學(xué)生學(xué)會循序漸進(jìn)地發(fā)現(xiàn)規(guī)律

學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)指的是學(xué)生在學(xué)習(xí)某個(gè)新的知識點(diǎn)之前已經(jīng)有的與之相關(guān)的生活、知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)．雖然這些基礎(chǔ)會因?yàn)閷W(xué)生的特殊差別而不同,但學(xué)生在學(xué)習(xí)同一個(gè)知識點(diǎn)時(shí)一定會有許多共同的優(yōu)勢與短板,體現(xiàn)在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過程中,對客觀世界的認(rèn)知呈現(xiàn)出循序發(fā)展的規(guī)律,總是隨著有效智力勞動的增加而實(shí)現(xiàn)循序漸進(jìn)(含螺旋式上升),這也為尋找學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)提供了依據(jù)．認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇貝爾曾說過:“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸納為一句話,那么,我將一言以蔽之:影響學(xué)習(xí)的唯一重要因素,就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么,要探明這一點(diǎn),并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)．”因此在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)認(rèn)清學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),盡力做到在引進(jìn)新概念時(shí)有的放矢,盡可能地讓學(xué)生感覺到這些新概念的引進(jìn)是很自然的,甚至是不可避免的．

案例1“弧度制”概念形成過程設(shè)計(jì)．(2019年江蘇省優(yōu)質(zhì)課比賽示范課研討課例,江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)宮建紅執(zhí)教)

師(提出問題1,目的是引出并回顧角度制的概念):怎樣度量一個(gè)角的大小?

生:用量角器或借助量三角形的邊長等．

師:從三角學(xué)的發(fā)展歷史看,三角學(xué)是依托圓而存在的,因此我們可以看到角度制的定義依托于圓周,采用等分的思想先定義度量的單位:1度的角,再進(jìn)行度量一般的角．盡管“角度制”的定義依托圓周,但一定大小的角與圓周的大小(即半徑大小)是無關(guān)的．

師(提出問題2,目的是引出圓心角所對弧長與半徑的比值隨角的確定而唯一確定):角的大小與什么有關(guān)?請看圓心角為30°時(shí),試著求出當(dāng)半徑分別為1,2,3,4時(shí)所對弧的弧長．它們有什么共同的特征?

師(總結(jié)):不論是從特殊到一般,無論用代數(shù)方法還是幾何方法,都能得出共同的結(jié)論,即對同一個(gè)角來說,弧長比半徑不變(定值)!那么對不同的角呢?

生:對不同的角來說,這個(gè)比值不一樣!

師(提出問題3,目的是引導(dǎo)學(xué)生建立新的單位):可以用此方法度量一般的角的大小嗎?如何建立一種新的度量角的制度?

生:首先要定義“單位”!

師:你會如何定義1單位的角呢?有了度量的單位,你能度量其他角嗎?

設(shè)計(jì)分析弧度屬于幾何度量問題．高中生在學(xué)習(xí)弧度之前,已學(xué)過長度、角度、面積、體積的度量,這些幾何量的共性是都有大小,它們的大小可以通過比較來確定.在比較過程中需確定單位,它們的差異是所用的單位不同:長度單位是人為規(guī)定的,在此基礎(chǔ)上定義的面積、體積也是如此;角度單位是自然規(guī)定的,把圓周分成360份,其中一份所對的圓心角作為角的度量單位,即度.因此,弧度制的教學(xué)可從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)納入幾何度量問題中,通過與長度、角度等度量的類比,體現(xiàn)新的度量制度確定單位的自然與必要[1]．為了體會這樣選擇單位的一般性,需要說明在圓心角確定時(shí),它所對的弧長與半徑的比是定值,并且不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值．弧度制是十進(jìn)制的,每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對應(yīng),同時(shí)每個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對應(yīng),這也為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

2 基于邏輯起點(diǎn)提出問題:讓學(xué)生學(xué)會理性地發(fā)現(xiàn)、分析問題

數(shù)學(xué)的存在、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的過程,而這種發(fā)展常常是基于某種現(xiàn)實(shí)需要或數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求.例如數(shù)學(xué)概念的發(fā)展,有的是基于具體的現(xiàn)實(shí)模型或數(shù)學(xué)原型;有的是基于對某種規(guī)律的濃縮;有的是基于構(gòu)建數(shù)學(xué)理論的需要而合理擴(kuò)充,甚至虛構(gòu);有的是基于邏輯需求推演而來．在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中,了解這種需要及數(shù)學(xué)各部分的作用,了解它們的依賴關(guān)系及它們的綜合交錯(cuò)作用才能構(gòu)成數(shù)學(xué)教學(xué)的豐富內(nèi)涵,這也有助于對數(shù)學(xué)這個(gè)有機(jī)整體的認(rèn)識[2]．其中數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求常常是基于邏輯需求,因此從邏輯起點(diǎn)出發(fā),能夠讓學(xué)生學(xué)會有邏輯地思考問題,能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),把握事物發(fā)展的脈絡(luò),形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,增強(qiáng)交流能力．

案例2“弧度制”概念形成過程設(shè)計(jì)．(2019年江蘇省優(yōu)質(zhì)課一等獎獲得者課例,啟東中學(xué)胡勇執(zhí)教)

師(導(dǎo)語):同學(xué)們,很高興能來到江蘇省常州中學(xué)參加這次優(yōu)課比賽,很巧昨天正好是我兒子10周歲的生日,我買了個(gè)蛋糕,經(jīng)過中心將圓形蛋糕切三刀分成了6塊,這6塊大小相差無幾．欲從中挑出最大的一塊給兒子,同學(xué)們幫我想想辦法．

生:用量角器度量、比較弦長或弧長．

師(提出問題1,以尋求邏輯關(guān)系式):當(dāng)弧長l一定時(shí),隨著半徑r的增大,圓心角α發(fā)生什么變化?弧長l、半徑r和圓心角α三者之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系式?

師(提出問題2,以構(gòu)建邏輯鏈):圓心角隨著l與r的比值的確定而唯一確定,從而可利用l與r的比值來度量圓心角．而認(rèn)識一種新的單位制,首先得明確它的單位1,只有明確單位1后,才可以定量表示其余的量．如何確定單位1呢?

師(概念形成):長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作1 rad.用弧度作為角的單位來度量角的單位制叫弧度制．

3 基于歷史的形成過程的起點(diǎn)提出問題:讓學(xué)生學(xué)會從歷史溯源中求真、求變

數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程常包含邏輯過程、現(xiàn)實(shí)形成過程、歷史過程等,它們并非等價(jià),同一數(shù)學(xué)概念的發(fā)展與邏輯過程并非同步,不同概念的發(fā)生也不是完全根據(jù)邏輯過程來的,在歷史上常常有意外．例如,從邏輯上講,應(yīng)先有指數(shù)后有對數(shù),但歷史上恰恰相反．而編寫教材內(nèi)容時(shí)概念的產(chǎn)生一般采用的是邏輯過程,作為數(shù)學(xué)課堂中的概念教學(xué),有些教師也千篇一律地嚴(yán)格按照邏輯順序來設(shè)置問題,過分強(qiáng)調(diào)其邏輯過程,將概念產(chǎn)生的過程一味邏輯化,這有時(shí)會影響對概念的本質(zhì)的發(fā)現(xiàn)[4]．在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中,雖然無法并且也不必要讓“歷史重演一遍”,但適當(dāng)選擇性地還原,甚至部分再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的歷史形成過程,從歷史起點(diǎn)出發(fā),基于歷史的形成過程的起點(diǎn)而提出問題,讓學(xué)生學(xué)會從歷史溯源中求真、求變,有時(shí)也會起到意想不到的效果．

案例3“弧度制”概念形成過程設(shè)計(jì)．(2019年江蘇省優(yōu)質(zhì)課一等獎獲得者課例,無錫高級中學(xué)劉燁燁執(zhí)教)

師(提出問題1,目的是回顧度量長度的幾種單位而引出怎樣規(guī)定角的度量單位):當(dāng)規(guī)定好1米有多長,我們可以用米作為單位來度量長度,當(dāng)規(guī)定好1尺有多長,我們可以用尺作為單位來度量長度,1米=3尺;當(dāng)規(guī)定好1度角有多大,我們可以用度作為單位來度量角的大?。敲?度的角是怎么規(guī)定的?

生:一個(gè)周角的360分之一．

師:能用平分圓周的方法得到1度的角嗎?

生:將圓周分為360等份,周角的360分之一弧對應(yīng)的圓心角就是一度．

師:現(xiàn)在我們要建立新的單位來度量角,那先要對什么做出規(guī)定?

生:單位角的大?。?/p>

師(提出問題2,目的是將線段與弧的度量統(tǒng)一起來):如果以半徑長為單位對圓周進(jìn)行度量,把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角定義為一個(gè)單位角的大小,合理嗎?

生:要探究角的大小不會隨著半徑的改變而改變．

師(形成概念):把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作1 rad．用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制．

設(shè)計(jì)分析上述設(shè)計(jì)通過從經(jīng)歷單位長度的定義過程出發(fā),讓學(xué)生感受歷史上弧度制的形成過程:從長度單位到滲透“單位”的思想,從平分圓周定義1度角的大小的角度制到利用平分圓周的思想定義一個(gè)新的單位角,體會1弧度角定義的合理性來源,同時(shí)意識到規(guī)定單位角的大小是定義新的度量單位的前提．這樣設(shè)計(jì)以歷史起點(diǎn)作為教學(xué)起點(diǎn),以尋找新的度量單位為目標(biāo),發(fā)現(xiàn)了用長度來度量角,弧度制與角度制一樣都采用了“等分”思想:弧度制可以理解為是用長度來度量角的一種單位,可以理解為是對圓周不同的平分方式,即規(guī)定弧長等于半徑長的弧所對的角為1弧度．正如歐拉在其著作《無窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位,這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來,大大簡化了三角的運(yùn)算．而這也是弧度制的本質(zhì):用半徑對圓周進(jìn)行度量.這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位,能進(jìn)行基本初等函數(shù)運(yùn)算．

當(dāng)然,需要說明的是,在數(shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué)中,無論是基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)提出問題,還是基于邏輯起點(diǎn)提出問題,以及基于歷史的形成過程的起點(diǎn)而提出問題,這些方法的設(shè)計(jì)并不相互沖突,也并非一定獨(dú)立使用的,事實(shí)上它們常常是并存或交叉的,也就是說可以同時(shí)合用其中的兩種甚至三種設(shè)計(jì)方法．