程仕然 (江蘇省黃埭中學(xué) 215143)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》(下稱《課標》)強調(diào)“重視以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實”[1]4．那么,什么是學(xué)科大概念?如何在單元教學(xué)中體現(xiàn)學(xué)科大概念的核心作用?筆者查閱文獻資料,發(fā)現(xiàn)相關(guān)結(jié)論眾說紛紜,且大多偏重理論研究,鮮有數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的實踐研究．這說明學(xué)科大概念有待深入研究,尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科大概念視角下的教學(xué)實踐,更需要進行研究和開發(fā)．

1 數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的界定

1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的定義

“大概念”又可以稱為大觀念、核心觀念、大概念等．它是“能反映學(xué)科的本質(zhì),居于學(xué)科的中心地位,具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法”[2]．蘭德爾·查爾斯將數(shù)學(xué)學(xué)科大概念定義為對數(shù)學(xué)學(xué)習至關(guān)重要的觀念的陳述,是數(shù)學(xué)學(xué)習的核心[3]．我們這里所說的數(shù)學(xué)學(xué)科大概念是指能反映數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì),居于學(xué)科的中心地位,具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法．

1.2 數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的特征

林恩·埃里克森認為,學(xué)科大概念指向?qū)W科中的核心概念,是基于事實基礎(chǔ)上抽象出來的深層次的、可遷移的概念[4]．所以,通過上面相關(guān)論述的分析,我們可以把數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的特征歸納為如下三點:(1)能反映數(shù)學(xué)學(xué)科的主要觀點和思維方式,是學(xué)科結(jié)構(gòu)的骨架和主干部分;(2)能統(tǒng)領(lǐng)或包含大量的數(shù)學(xué)學(xué)科知識,具有普遍性和廣泛的解釋力;(3)能提供對于理解數(shù)學(xué)知識、研究和解決數(shù)學(xué)問題的思想方法或關(guān)鍵工具,具備持久的可遷移應(yīng)用價值．

2 學(xué)科大概念視角下的單元教學(xué)實踐

學(xué)科大概念視角下的單元教學(xué),需要我們從單元整體內(nèi)容著眼,根據(jù)課程標準要求和教學(xué)內(nèi)容的特點,以學(xué)科大概念為鏈貫穿不同的主題,統(tǒng)領(lǐng)單元教學(xué),以問題驅(qū)動研究,有組織地探索一系列相關(guān)問題,幫助學(xué)生自主搭建知識結(jié)構(gòu)框架,發(fā)展學(xué)生的思維鏈,建立系統(tǒng)的單元知識體系．

2.1 單元學(xué)科大概念的提取

科學(xué)的單元學(xué)科大概念能夠承載知識點之間的鏈接,驅(qū)動單元知識和概念的產(chǎn)生,能幫助學(xué)生了解單元知識的來龍去脈、理清邏輯關(guān)聯(lián)和明確課程學(xué)習的目的．從現(xiàn)有的研究成果來看,我們可以通過分析課程標準和教材,以學(xué)科大概念的三大特征為標準,采用自上而下的辦法提取學(xué)科大概念[5]．

案例1人教A版三角函數(shù)單元學(xué)科大概念的提?。?/p>

《課標》提出借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念,體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的性質(zhì),探索和研究三角函數(shù)之間的恒等關(guān)系,體會利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型[1]21-22．

另外,通過對教材的梳理,我們發(fā)現(xiàn):三角函數(shù)單元的學(xué)習內(nèi)容中單位圓模型共出現(xiàn)了19處,說明單位圓模型在三角函數(shù)單元具有普遍性和廣泛的解釋力,能夠反映三角函數(shù)單元的主要觀點和思維方式,是骨架和主干部分;章節(jié)引言中提到自然界中各種周而復(fù)始的變化都可以抽象為點在圓上的圓周運動數(shù)學(xué)模型,利用單位圓這個數(shù)學(xué)模型建構(gòu)了三角函數(shù)的概念,在單位圓模型上通過幾何直觀研究三角函數(shù)圖象、誘導(dǎo)公式、恒等變形等性質(zhì),說明單位圓是研究和解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵工具;習題中拓展問題的探究也用到了單位圓模型,說明單位圓這個數(shù)學(xué)模型對于理解知識、探索新問題具有持久的可遷移價值．

可見,單位圓模型鏈接了本單元的學(xué)習內(nèi)容,具有學(xué)科大概念的基本特征,是三角函數(shù)單元的學(xué)科大概念．

2.2 單元知識結(jié)構(gòu)的搭建

布魯納指出:無論教師教授哪類學(xué)科,一定要使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu),有助于學(xué)生解決課堂內(nèi)外所遇到的各類問題．掌握事物的基本結(jié)構(gòu),就是以允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它,學(xué)習這種基本結(jié)構(gòu)就是學(xué)習事物之間是怎樣相互關(guān)聯(lián)起來的[6]．因此,開展學(xué)科大概念為統(tǒng)領(lǐng)的課堂教學(xué)需要我們理清單元學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下的單元知識結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生從整體上理解單元知識,形成單元知識結(jié)構(gòu),有利于學(xué)生將學(xué)習到的數(shù)學(xué)知識進行提取和遷移,即具有遷移價值．

案例2學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下的三角函數(shù)單元知識結(jié)構(gòu)．

通過案例1的研究,我們發(fā)現(xiàn):由單位圓模型相關(guān)的具體事實去研究或者發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的概念,在核心活動中構(gòu)建相應(yīng)概念及相應(yīng)概念與其他概念的聯(lián)系,可以幫助學(xué)生形成由事實性實例支撐的概念性理解,進而形成思維鏈,達到課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的目的．由此,依據(jù)林恩·埃里克森建立的“知識的結(jié)構(gòu)”模型,我們給出大概念統(tǒng)領(lǐng)下的三角函數(shù)單元知識結(jié)構(gòu)圖(圖1)．

圖1 大概念統(tǒng)領(lǐng)下的三角函數(shù)單元知識結(jié)構(gòu)圖

2.3 以學(xué)科大概念為鏈的課堂教學(xué)實施

單元教學(xué)連接著課程和課時教學(xué)．學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下的單元教學(xué)是在對單元教學(xué)內(nèi)容進行重新開發(fā)后,圍繞教學(xué)目標達成,在學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下開展課時小目標教學(xué)．課時小目標在學(xué)科大概念的鏈接下落實單元教學(xué)目標,由學(xué)科大概念相關(guān)的具體事實去研究或者發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的概念,在核心活動中構(gòu)建相應(yīng)概念,幫助學(xué)生形成由事實性實例支撐的概念性理解,進而形成思維鏈,達到課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的目的．

案例3以學(xué)科大概念為鏈的三角函數(shù)單元教學(xué)實踐(片段)．

由案例1和案例2的研究可知,單位圓模型是三角函數(shù)單元的學(xué)科大概念．單位圓是周而復(fù)始規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,能夠承載三角函數(shù)單元學(xué)習目標．我們可以通過對單位圓模型的研究架構(gòu)起三角函數(shù)單元的學(xué)科知識．

鏈接1單位圓視角下的弧度制．

教師啟發(fā) 當半徑r=1時,角α就可以用弧長l表示,實現(xiàn)了用實數(shù)來度量角的大?。?/p>

設(shè)計意圖讓學(xué)生積累活動經(jīng)驗,在單位圓模型中體驗用實數(shù)表示角這個幾何圖形的可行性,實現(xiàn)角與實數(shù)的一一對應(yīng),為三角函數(shù)的一般定義埋下伏筆,體現(xiàn)了引入弧度制的必要性．

鏈接2構(gòu)建單位圓模型,建構(gòu)任意角三角函數(shù)概念．

核心活動 自然界中各類周而復(fù)始的周期性變化抽象為單位圓上點的圓周運動模型,在單位圓模型上建立一般三角函數(shù)的概念．

上述活動與概念抽象過程如圖2所示．

圖2

設(shè)計意圖從幾何直觀出發(fā),把自然界中周而復(fù)始現(xiàn)象簡化為圓周運動,構(gòu)建單位圓模型,從代數(shù)運算角度理解動點的坐標與對應(yīng)角的函數(shù)關(guān)系,建構(gòu)高中的三角函數(shù)一般定義,方便學(xué)生研究得出三角函數(shù)定義域、值域和函數(shù)值的符號規(guī)律,反映了三角函數(shù)的本質(zhì),明確學(xué)習三角函數(shù)的意義,為研究三角函數(shù)性質(zhì)做好鋪墊．

鏈接3研究同角三角函數(shù)關(guān)系．

核心活動 聚焦三角函數(shù)定義,研究單位圓中同角三角函數(shù)的關(guān)系．

圖3

教師啟發(fā) 從定義出發(fā),數(shù)形結(jié)合研究得出的同角三角函數(shù)平方和關(guān)系和商的關(guān)系極具數(shù)學(xué)美,相關(guān)變形應(yīng)用廣泛．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生回歸定義研究問題,以數(shù)形結(jié)合的方式分析問題和解決問題．發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美,讓學(xué)生體驗從幾何直觀到代數(shù)推演的樂趣,也為研究誘導(dǎo)公式做準備．

鏈接4利用單位圓模型研究誘導(dǎo)公式．

學(xué)生研究 觀察,發(fā)現(xiàn):

教師啟發(fā) 上面這些單位圓上的對稱關(guān)系是具有一般性的,由對稱關(guān)系得到等量關(guān)系就是我們想要研究的誘導(dǎo)公式．

設(shè)計意圖對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì),利用單位圓模型幾何直觀體驗和感受三角函數(shù)的對稱性,讓學(xué)生在活動和探究中得出三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,為后期用單位圓模型證明三角恒等關(guān)系提供方法借鑒．

鏈接5借助單位圓實物模型,畫三角函數(shù)圖象,研究三角函數(shù)性質(zhì)．

核心活動 自制單位圓實物教具,利用單位圓實物模型精確畫出正弦函數(shù)圖象．

學(xué)生研究 (1)如何標注坐標軸上的單位?(2)如何標出正弦函數(shù)圖象上任意點(x,sinx)?

教師啟發(fā) 單位圓上角所對的弧長即為該角的弧度數(shù)．(1)讓單位圓實物模型從原點出發(fā),向右在坐標軸上滾半周即得到π長度,滾動一周即得到2π長度,由此即可得到橫坐標軸上點(π,0),(2π,0)．(2)任意點(x,sinx)的橫坐標可仿(1)滾動得到,縱坐標由滾動前點的縱坐標平移得到．(3)類比正弦函數(shù)圖象的作圖過程得到余弦函數(shù)、正切函數(shù)圖象．

設(shè)計意圖借助單位圓實物模型標注三角函數(shù)的圖象坐標,重溫單位圓視角下的弧度制,加深三角函數(shù)的一般定義,即:三角函數(shù)是以角為變量、實數(shù)集對應(yīng)到實數(shù)集的函數(shù)．

鏈接6基于單位圓的一般三角函數(shù)定義應(yīng)用一——證明兩角差的余弦公式．

核心活動 證明兩個角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(*)．

學(xué)生研究 圖4(1)中角α,β的終邊分別與單位圓交于點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)．當α≠β+2kπ,k∈Z時,有AB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)．在原圖中繞原點旋轉(zhuǎn)坐標軸,讓x軸非負半軸與OB重合,如圖4(2),則點A和點B的坐標分別變?yōu)?1,0),(cos(α-β),sin(α-β))．此時,AB2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=2-2cos(α-β),所以有2-2cos(α-β)=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),從而得到等式(*)．

圖4

當α=β+2kπ,k∈Z時,上式也成立．我們得到如下結(jié)論:α,β是任意角,則有等式(*)成立．

教師啟發(fā) 繞圓心旋轉(zhuǎn)坐標系,單位圓上兩定點間距離不變,借助兩點間距離證明公式．

設(shè)計意圖基于單位圓的一般三角函數(shù)定義,可發(fā)現(xiàn)等式(*)右邊各角在圓上相應(yīng)點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)間的距離AB2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),旋轉(zhuǎn)坐標軸后,點A坐標(cos(α-β),sin(α-β))與角α-β建立了直接關(guān)系．旋轉(zhuǎn)前后點A,B在單位圓上的相對位置未變,因而距離不變,從而達到證明等式的目的．單位圓模型為學(xué)生從幾何直觀觀察順利遷移到代數(shù)推理證明架起一座橋梁,在問題解決中提升了學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力,在知識的應(yīng)用中形成高階思維．

鏈接7基于單位圓的一般三角函數(shù)定義應(yīng)用二——證明三角函數(shù)的恒等變換公式．

圖5

設(shè)計意圖此題為課本習題,類比鏈接6,借助單位圓的幾何直觀證明三角恒等式的思想方法,通過直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算證明和差化積公式,既是深化單位圓大概念,又是對本單元所學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生素養(yǎng)收獲的考查．

3 學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下實施單元教學(xué)的建議

學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下實施單元教學(xué),需要我們關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì),以課程標準為準則,以基本事實為導(dǎo)引,選擇合適的路徑提取承載單元教學(xué)任務(wù)的學(xué)科大概念,從促進教學(xué)和學(xué)生的理解、有利于實現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等教學(xué)實踐意義的角度去架構(gòu)單元知識框架,以學(xué)科大概念為鏈,實行單元整體教學(xué)設(shè)計．

3.1 梳理出科學(xué)的單元學(xué)科大概念,形成單元主題

通過解讀《課標》和梳理分析教材,以學(xué)科大概念的三個特征為標準確定單元大概念,規(guī)劃出單元教學(xué)設(shè)計思路．立足大概念的基本特征,從學(xué)科的視角理解大概念,分析概念核心及其相關(guān)概念構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)體系,形成單元教學(xué)主題．

3.2 以單元學(xué)科大概念為鏈,構(gòu)建單元結(jié)構(gòu)

發(fā)揮單元學(xué)科大概念在單元學(xué)習中的統(tǒng)領(lǐng)作用,將課堂教學(xué)聚焦于知識的銜接、概念的來源與形成、數(shù)學(xué)文化的滲透、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)等環(huán)節(jié),將教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成單元知識問題鏈,以問題驅(qū)動研究,在核心活動中探索和構(gòu)建單元知識網(wǎng)絡(luò),體驗大概念的統(tǒng)領(lǐng)作用．加強單元內(nèi)容的縱橫聯(lián)系,幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)功能優(yōu)良、遷移能力強的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu),體會數(shù)學(xué)的思維方式,引領(lǐng)和輻射其他相關(guān)概念的學(xué)習,提高對數(shù)學(xué)的整體認識．

3.3 圍繞單元學(xué)科大概念設(shè)置問題探究,推動單元核心活動

圍繞單元學(xué)科大概念,立足學(xué)生的認知水平設(shè)置本單元中問題探究活動,重視知識生成的過程展示,環(huán)環(huán)相扣地安排鏈接問題,促進知識與技能的內(nèi)化;步步深入地推動單元核心活動,提升學(xué)生分析和解決新問題的能力,促進交流與反思的深化;層層深入地理解和應(yīng)用單元學(xué)科大概念,培養(yǎng)學(xué)生的思辨與綜合應(yīng)用能力,促進思維與表達的固化．

3.4 整體設(shè)計,分步實施單元教學(xué),強化學(xué)科大概念

基于學(xué)科大概念進行整體單元教學(xué)設(shè)計,沿著大概念主線分步實施完成鏈接部分的課堂教學(xué),在教學(xué)過程中不斷強化學(xué)科大概念,讓分散的單元知識在大概念的統(tǒng)領(lǐng)下形成一個有機的整體,為學(xué)生逐步搭建起以學(xué)科大概念為核心的結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容．

4 學(xué)科大概念統(tǒng)領(lǐng)下實施單元教學(xué)的價值和意義

弗賴登塔爾認為:“‘再創(chuàng)造’是整個數(shù)學(xué)教育的原則．”[7]所以說,數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是在問題與核心活動中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識與技能的產(chǎn)生與發(fā)展,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系．如本文案例中以單位圓模型這個學(xué)科大概念為鏈統(tǒng)領(lǐng)三角函數(shù)單元教學(xué),從章首語中“周而復(fù)始問題”簡化抽象為單位圓模型開始,利用單位圓模型建立起一般三角函數(shù)的概念,利用單位圓幾何直觀研究三角函數(shù)圖象、性質(zhì)、誘導(dǎo)公式,探究三角恒等變換,鏈接了概念的建構(gòu)、概念的解構(gòu)、概念的鞏固、概念的拓展、概念的應(yīng)用和評價等教學(xué)內(nèi)容,實現(xiàn)了單元結(jié)構(gòu)化的目的,更大程度上體現(xiàn)了單位圓這個簡單而美麗的數(shù)學(xué)模型把現(xiàn)實世界中的各類循環(huán)往復(fù)問題,轉(zhuǎn)化抽象為“數(shù)”的一類函數(shù)來研究,這就是數(shù)學(xué)的智慧!

數(shù)學(xué)學(xué)科大概念是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的頂層觀念和思想,對明確數(shù)學(xué)概念核心、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系、解決數(shù)學(xué)問題、評價教學(xué)活動都具有重要的導(dǎo)向作用．它有利于幫助學(xué)生理解學(xué)科知識背后的更為本質(zhì)的思想和方法,有利于學(xué)科知識結(jié)構(gòu)化,幫助學(xué)生形成解決具體問題的思路方法,促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)化．

在教學(xué)實踐中,以學(xué)科大概念為鏈的單元教學(xué)設(shè)計,用學(xué)科大概念鏈接單元知識,問題驅(qū)動核心任務(wù)研究,讓學(xué)生的學(xué)習活動實踐化、系統(tǒng)化、深度化,形成單元知識結(jié)構(gòu)體系和概念的生長鏈,促進概念理解和知識遷移運用,發(fā)展了學(xué)生的思維鏈,培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)精神,提升了學(xué)生的學(xué)科關(guān)鍵能力,落實了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),達到從知識傳授到能力培養(yǎng)再到價值塑造的“立德樹人”目的．