胡雅博，耿云海，劉偉星

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

0 引 言

大型空間結(jié)構(gòu)將逐漸應(yīng)用于不同的空間任務(wù)中,諸如空間太陽(yáng)能電站、低成本空間航行以及在軌服務(wù)等[1-4]。隨著航天器本身空間尺寸的增加,撓性成為控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中不可忽略的因素。為實(shí)現(xiàn)這類航天器的高精度姿態(tài)控制,必須同時(shí)考慮其振動(dòng)抑制問(wèn)題。

近些年來(lái),不少專家學(xué)者對(duì)大型撓性航天器的姿態(tài)控制與振動(dòng)抑制問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。根據(jù)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝形式,主要可分為集中式安裝以及分布式安裝兩類情形。前者可通過(guò)諸如經(jīng)典的輸出成型方法[5]以及軌跡平滑[6-7]等方法消除或降低控制信號(hào)對(duì)于系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)的激勵(lì),也可以通過(guò)合理設(shè)計(jì)控制律來(lái)同時(shí)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)鎮(zhèn)定及振動(dòng)衰減的目標(biāo)[8]。但由于這類方法通常沒(méi)有特定的作動(dòng)器專門進(jìn)行振動(dòng)抑制,其振動(dòng)抑制能力相對(duì)較弱。

考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)分布式安裝時(shí),姿態(tài)控制與振動(dòng)抑制可采用不同的執(zhí)行機(jī)構(gòu),如采用飛輪進(jìn)行姿態(tài)控制,而采用壓電陶瓷進(jìn)行振動(dòng)抑制[9]。然而,受限于結(jié)構(gòu)性能的約,壓電陶瓷對(duì)幅值較小的振動(dòng)比較有效,但無(wú)法提供較大的力矩來(lái)抑制振幅較大的振動(dòng)。因此,D’Eleuterio等[10-11]提出了陀螺撓性體的概念,其主要思想是通過(guò)將角動(dòng)量視為分布參數(shù)進(jìn)行建模,進(jìn)而使系統(tǒng)增加了旋性(gyricity)這一屬性。陀螺撓性體的物理實(shí)現(xiàn)可以認(rèn)為撓性體每個(gè)體元內(nèi)都包含了一個(gè)角動(dòng)量執(zhí)行機(jī)構(gòu)。這種配置可以使系統(tǒng)的自然頻率、模態(tài)以及阻尼受控,無(wú)疑為撓性體姿態(tài)控制及形狀控制提供了新的思路。隨后,Damaren和D’Eleuterio研究了陀螺撓性體航天器的優(yōu)化振動(dòng)抑制方法[12],并給出了陀螺撓性體在振動(dòng)抑制時(shí)的能觀性和能控性分析[13]。

在上述的開(kāi)拓性研究中,角動(dòng)量的分布是連續(xù)的,即任取撓性結(jié)構(gòu)的一部分,均有角動(dòng)量含于其中。為了方便工程實(shí)踐,Hu團(tuán)隊(duì)[14-18]詳細(xì)研究了角動(dòng)量離散分布的陀螺撓性體,即角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)只安裝于撓性體部分特定位置的情形。文獻(xiàn)[14,17]給出了角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)離散分布時(shí)陀螺撓性體的建模方法,并給出了模型線性化的方法。文獻(xiàn)[15-16]采用了模態(tài)觀測(cè)器及自適應(yīng)控制方法對(duì)角動(dòng)量離散分布的陀螺撓性體進(jìn)行姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制。文獻(xiàn)[18]提出了模態(tài)奇異性的概念,對(duì)安裝于撓性體的單框架控制力矩陀螺(SGCMG)進(jìn)行了模態(tài)奇異分析。此后,郭繼唐及其團(tuán)隊(duì)[19-21]對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)SGCMG進(jìn)行了深入研究,給出了兩種陀螺撓性體的控制方法。文獻(xiàn)[20]研究了一種模態(tài)力矩補(bǔ)償器,在不使用模態(tài)觀測(cè)器的情況下,可以由安裝于撓性結(jié)構(gòu)的SGCMG提供抵消振動(dòng)方程干擾輸入的力矩,并由另一組安裝于中心剛體的SGCMG完成姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[21]則采用了同一組SGCMG進(jìn)行姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制,實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制的一體化設(shè)計(jì)。文章分析了SGCMG的零運(yùn)動(dòng)雖然無(wú)法提供姿態(tài)控制力矩,但可以有效提供振動(dòng)抑制力矩。上述研究中均考慮了特定的執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置[15-16,19-21],即采用CMGs進(jìn)行振動(dòng)抑制或姿態(tài)控制,且文獻(xiàn)[20-21]為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的操縱律設(shè)計(jì)方法。為得到不過(guò)度依賴特定執(zhí)行機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法,考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)上層的控制方法設(shè)計(jì)是有意義的。

Hu團(tuán)隊(duì)[22-23]探索了不考慮特定執(zhí)行機(jī)構(gòu)配置的姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制方法。文獻(xiàn)[22]給出了一種姿態(tài)控制與振動(dòng)抑制解耦設(shè)計(jì)的方法,通過(guò)增加振動(dòng)抑制力矩共面的約,可以實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制過(guò)程中不產(chǎn)生影響姿態(tài)控制的力矩,但其姿態(tài)控制仍需另外的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[23]研究了力矩分配與系統(tǒng)阻尼的關(guān)系,提出了一種可以在姿態(tài)控制過(guò)程中增加系統(tǒng)阻尼的力矩分配方法,采用同一組執(zhí)行機(jī)構(gòu)同時(shí)實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制。上述方法實(shí)現(xiàn)了撓性航天器的姿態(tài)控制,并可以不同程度抑制系統(tǒng)的振動(dòng),但其設(shè)計(jì)較為保守,并未實(shí)現(xiàn)某種指標(biāo)的優(yōu)化。此外,文獻(xiàn)[23]對(duì)控制器產(chǎn)生的期望力矩直接進(jìn)行分配,魯棒性較差。若控制器偶然產(chǎn)生錯(cuò)誤的控制力矩,即使力矩分配過(guò)程準(zhǔn)確執(zhí)行,仍可能導(dǎo)致航天器失穩(wěn)。本文明確將振動(dòng)抑制能力描述為優(yōu)化指標(biāo),而將姿態(tài)控制的穩(wěn)定性與動(dòng)態(tài)性能歸納為問(wèn)題約,對(duì)控制律參數(shù)進(jìn)行分配,而不直接對(duì)力矩進(jìn)行分配。如此,只要滿足約,系統(tǒng)即是穩(wěn)定的,通過(guò)優(yōu)化是為了選擇更好的振動(dòng)抑制參數(shù)。

本文研究對(duì)象為分布式安裝了角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)的陀螺撓性體航天器。考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)有簡(jiǎn)單的計(jì)算能力并采用形式相同的控制律。為滿足姿態(tài)控制的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能,不同執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)處的控制律參數(shù)需滿足一定的等式約。為實(shí)現(xiàn)較好的振動(dòng)抑制效果,設(shè)計(jì)含有不同節(jié)點(diǎn)處振動(dòng)狀態(tài)及控制力矩的目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)求解上述關(guān)于不同節(jié)點(diǎn)控制律參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題,不同節(jié)點(diǎn)可獲取所需控制律參數(shù),從而計(jì)算輸出控制力矩完成姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制目標(biāo)。數(shù)值仿真校驗(yàn)了所述方法的有效性。

1 分布式執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性航天器模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

本文考慮的撓性航天器模型如圖1所示,圖中Ai(i=1,…,n)表示角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)的安裝節(jié)點(diǎn),n為執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)數(shù)量。

圖1 陀螺撓性體航天器模型Fig.1 Gyroelastic spacecraft model

根據(jù)文獻(xiàn)[17,21]可得上述陀螺撓性體動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

(2)

式中:Ti為執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)Ai輸出的控制力矩?？梢钥闯?Ti不僅會(huì)對(duì)航天器姿態(tài)產(chǎn)生影響,同時(shí)也會(huì)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)矩陣Ri耦合到系統(tǒng)的振動(dòng)方程中,進(jìn)而影響系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)。這是陀螺撓性體與一般執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝在中心剛體的航天器的最大差別,同時(shí)也是陀螺撓性體控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)難點(diǎn)所在。

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文采用四元數(shù)描述航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)

(3)

2 控制器設(shè)計(jì)

為了方便控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析,首先將動(dòng)力學(xué)模型整理為如下緊湊形式[21]

(4)

式中:

由于本文著重探討如何將航天器的姿態(tài)控制和振動(dòng)抑制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,所以此處選擇形式較為簡(jiǎn)單的控制律進(jìn)行闡述?？紤]每個(gè)執(zhí)行機(jī)構(gòu)節(jié)點(diǎn)采用如下形式的控制律

Ti=-kpiq-kdiωi,i=1,…,n

(5)

式中:kpi>0,kdi>0為控制律增益。為分析控制律的穩(wěn)定性,選擇如下Lyapunov函數(shù)

(6)

式中暫時(shí)忽略了干擾力矩Td進(jìn)行分析[20]。將式(6)沿系統(tǒng)(1)和(3)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(7)

考慮控制律(5)及式(2),上式可整理為

(8)

(9)

式中:e=kpiqTqi/2且i>0。總可以找到n個(gè)i使得矩陣為正定矩陣,因此系統(tǒng)(1)和(3)在控制律(5)的作用下是一致最終有界的。易知,當(dāng)干擾力矩Td有界時(shí),重復(fù)上述推導(dǎo)過(guò)程可以證明系統(tǒng)依然是一致最終有界的。將控制律(5)代入式(2)可得

(10)

從上式可以大致看出控制律(5)不同部分的作用。等式右側(cè)前兩項(xiàng)為控制航天器姿態(tài)的PD控制律,最后一項(xiàng)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)阻尼。但由于Ti同時(shí)作用于系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程及振動(dòng)方程,kpi及kdi應(yīng)根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇設(shè)計(jì),下節(jié)將探討該問(wèn)題的解決方案。

3 控制器參數(shù)確定

本節(jié)首先將待求解問(wèn)題歸納為標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化問(wèn)題,給出了指標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)方法以及待求參數(shù)的約。其次給出了優(yōu)化問(wèn)題的求解方法。

3.1 指標(biāo)函數(shù)

(11)

式中:Pi=diag(Pi1,Pi2,Pi3)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)Ai處衡量系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)的參數(shù)矩陣,Pij(j=1,2,3)將通過(guò)如下形式獲取

(12)

(13)

式中:a>0,b>0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

3.2 變量約

根據(jù)上節(jié)控制律設(shè)計(jì)需求,系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為kpi及kdi為正值。為使得系統(tǒng)滿足特定的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能,需對(duì)kpi及kdi增加其他約。如

(14)

式中:kp>0及kd>0為根據(jù)特定需求給出的設(shè)計(jì)參數(shù)。由于式(14)包含了所有執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝節(jié)點(diǎn)控制律的參數(shù),因此其為關(guān)于kpi及kdi的全局約?？芍?當(dāng)節(jié)點(diǎn)采用其他形式的控制律時(shí),同樣可以給出如式(14)的約從而實(shí)現(xiàn)所需的姿態(tài)控制性能。

此外,執(zhí)行機(jī)構(gòu)的輸出力矩應(yīng)滿足如下飽和約:

(15)

至此,可將撓性航天器姿態(tài)控制與振動(dòng)抑制問(wèn)題歸納為如下標(biāo)準(zhǔn)形式的優(yōu)化問(wèn)題

(16)

求解上述優(yōu)化問(wèn)題即可獲得kpi及kdi,并且可以從優(yōu)化振動(dòng)抑制的角度解決撓性航天器姿態(tài)控制問(wèn)題。

3.3 優(yōu)化問(wèn)題求解

從式(15)可以看出,關(guān)于kpi及kdi的飽和約是一個(gè)耦合的局部約。如果直接求解問(wèn)題(16),耦合的約是較難處理的。為此,為每個(gè)節(jié)點(diǎn)Ai引入如下局部變量

yi=-kpiq-kdiωi

(17)

從而,優(yōu)化問(wèn)題(16)可寫為如下等價(jià)形式

(18)

雖然引入的變量yi與節(jié)點(diǎn)Ai處的控制力矩Ti有相同的形式,但其意義是不同的。yi作為單獨(dú)的變量參與優(yōu)化問(wèn)題的求解,即求解yi與kpi及kdi并沒(méi)有先后順序要求。而控制力矩Ti只有在確定kpi及kdi后才能計(jì)算求得。通過(guò)引入局部變量來(lái)處理局部耦合約的方法同樣可以應(yīng)用于其他形式的控制律,或其他優(yōu)化問(wèn)題中。

不難驗(yàn)證,問(wèn)題(18)為凸優(yōu)化問(wèn)題,且滿足Slater松弛條件,因此只要求得最優(yōu)解即為全局最優(yōu)解。

上述問(wèn)題(18)的Lagrangian函數(shù)為

(19)

式中:

(20)

(21)

及互補(bǔ)松弛條件

(22)

(23)

上式可以寫為如下等價(jià)形式,對(duì)于j=1,2,3有

(24)

(25)

以及

(26)

綜上,根據(jù)KKT條件,求解問(wèn)題(18)等價(jià)于在滿足問(wèn)題可行性條件下求解如下方程組

(27)

至此,分布式執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性航天器姿態(tài)控制及振動(dòng)抑制問(wèn)題通過(guò)優(yōu)化方式求解完成。

4 仿真校驗(yàn)

本節(jié)采用類似文獻(xiàn)[20-21]中仿真部分的陀螺撓性體模型進(jìn)行仿真校驗(yàn)。模型為6 m×10 m厚度可忽略的不受限撓性體,其上均勻分布3×5組飛輪作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。通過(guò)有限元方法(FEM)可建立陀螺撓性體模型,模型參數(shù)如表1所示。依據(jù)慣性完備性準(zhǔn)則考慮了如表所示的6階模態(tài)。

表1 陀螺撓性體模型參數(shù)Table 1 Parameters of the gyroelastic spacecraft model

為了充分校驗(yàn)本文方法的有效性,考慮航天器進(jìn)行一系列大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的工況。在160 s及300 s分別有165°的姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù),機(jī)動(dòng)的歐拉軸在本體系的方向假設(shè)為[0.8729, -0.4364, 0.2182]T。對(duì)于控制律增益的約(14)取為kp=80,kd=600;式(12)中Sigmoid函數(shù)參數(shù)選擇為a=1,b=300;執(zhí)行機(jī)構(gòu)力矩飽和限制選取為2 N·m。仿真結(jié)果如圖2至圖5所示。

圖2和圖3分別為航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)的歐拉角及姿態(tài)角速度隨時(shí)間變化的曲線,為了直觀起見(jiàn),將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程使用的四元數(shù)通過(guò)3-2-1的方式轉(zhuǎn)化為歐拉角進(jìn)行繪圖。通過(guò)調(diào)整kp和kd的值可以調(diào)整姿態(tài)控制的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能?？梢钥闯?本文給出的控制器可以很好地完成航天器的姿態(tài)控制。最后一次姿態(tài)機(jī)動(dòng)到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間約為240 s,姿態(tài)精度約為 0.07°,穩(wěn)定度約為0.004(°)/s。圖2和圖3中穩(wěn)態(tài)誤差是由于仿真中考慮了干擾力矩。此外,若采用其他高級(jí)的控制律,應(yīng)用本文給出的優(yōu)化思路,對(duì)其相應(yīng)的控制律參數(shù)進(jìn)行分配,將會(huì)得到更好的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。

圖2 歐拉角變化曲線Fig.2 Curves of Euler angles

圖3 姿態(tài)角速度變化曲線Fig.3 Curves of angular velocities

圖4為模態(tài)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的曲線?？梢钥闯?在每次姿態(tài)機(jī)動(dòng)開(kāi)始時(shí),系統(tǒng)振動(dòng)比較大。結(jié)合圖5可以看出在姿態(tài)機(jī)動(dòng)開(kāi)始時(shí)所需的控制力矩較大,且存在力矩突變,因而會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的振動(dòng)。通過(guò)本文給出的方法,系統(tǒng)振動(dòng)可以很快衰減。

圖4 模態(tài)坐標(biāo)變化曲線Fig.4 Curves of modal coordinates

圖5 執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩Fig.5 Torques generated by actuators

這里也可以看出陀螺撓性體跟采用其他作動(dòng)器抑制振動(dòng)的航天器特性的差別。由于安裝于撓性部件的角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩較大且直接作用于撓性體,其抑制振動(dòng)的效果很好,這也表明除了進(jìn)行振動(dòng)抑制外,其還可以用于形狀控制,即使得撓性體依據(jù)任務(wù)呈現(xiàn)特定的形狀等。圖5展示了所有執(zhí)行機(jī)構(gòu)的力矩輸出情況,不同的線型表示了不同輸出軸的輸出力矩。從圖中可以看出,航天器機(jī)動(dòng)開(kāi)始時(shí),不同執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出的力矩有較大差距,這表明優(yōu)化方法為不同執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供了其進(jìn)行振動(dòng)抑制的最優(yōu)選擇。當(dāng)振動(dòng)很快衰減后,不同執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出力矩逐漸趨于一致,這表明振動(dòng)較小時(shí),控制律系數(shù)的選擇對(duì)于振動(dòng)本身的影響并不會(huì)太大。

為了分析本文給出方法的特點(diǎn),此處給出了文獻(xiàn)[23]方法的對(duì)比仿真。文獻(xiàn)[23]通過(guò)力矩分配的方式進(jìn)行振動(dòng)抑制。為使得仿真對(duì)比具有“可比較性”,兩方法應(yīng)用的航天器模型參數(shù)一致,文獻(xiàn)[23]方法中控制器參數(shù)的選取以“姿態(tài)角及姿態(tài)角速度動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能與本文相應(yīng)性能基本一致”為標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上,比較模態(tài)坐標(biāo)的收斂特性。根據(jù)以上闡述,文獻(xiàn)[23] 的方法控制律參數(shù)選擇為kp= 90,kd= 900;Sigmoid函數(shù)參數(shù)的選擇為a= 1,b= 300。仿真結(jié)果如圖6所示,為了行文簡(jiǎn)潔,此處略去了航天器姿態(tài)角及姿態(tài)角速度隨時(shí)間變化的圖像,其與圖2及圖3基本一致。

圖6 文獻(xiàn)[23]方法模態(tài)坐標(biāo)變化曲線Fig.6 Time histories of modal coordinates by method in reference[23]

對(duì)比圖4和圖6可以看出,相比文獻(xiàn)[23]給出的方法,本文給出的方法對(duì)于振動(dòng)具有更快的衰減速率,優(yōu)化效果明顯。文獻(xiàn)[23]的方法對(duì)于振動(dòng)抑制的效果與其控制律參數(shù)選擇甚至控制頻率的選擇并沒(méi)有關(guān)系,其一方面不能處理執(zhí)行機(jī)構(gòu)力矩飽和,導(dǎo)致直接限幅會(huì)使得其控制效果大打折扣,尤其是在姿態(tài)控制的初期需要較大控制力矩的情形;另一方面,本文所述方法只要滿足控制律參數(shù)的約,其自然而然就是具有振動(dòng)抑制能力的,優(yōu)化的結(jié)果只會(huì)使得振動(dòng)抑制的效果更好,這是文獻(xiàn)[23]方法所不具備的特性。

5 結(jié) 論

針對(duì)采用分布式角動(dòng)量交換執(zhí)行機(jī)構(gòu)的撓性航天器,本文給出了一種基于優(yōu)化的姿態(tài)控制與振動(dòng)抑制方法。振動(dòng)抑制的效果被明確描述為優(yōu)化問(wèn)題的指標(biāo)函數(shù),姿態(tài)控制的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題的等式約給出。使用Lyapunov方法證明了控制器的穩(wěn)定性,當(dāng)滿足優(yōu)化約時(shí),可保證姿態(tài)控制的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。通過(guò)求解KKT條件可以得到所述優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解,該最優(yōu)解具有優(yōu)化指標(biāo)意義下的最優(yōu)振動(dòng)抑制能力。對(duì)于采用分布式執(zhí)行機(jī)構(gòu)的大型系統(tǒng),本文方法對(duì)其同時(shí)兼顧多個(gè)控制目標(biāo)的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有較大參考價(jià)值。仿真表明,文中給出的方法能有效完成撓性航天器的姿態(tài)控制任務(wù),并具有良好的振動(dòng)抑制能力。相比于采用力矩分配進(jìn)行振動(dòng)抑制的方法,本文方法更能發(fā)揮執(zhí)行機(jī)構(gòu)的控制能力,并能更快衰減振動(dòng)。