■陳 緩

本節(jié)課是蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)第6 章復(fù)習(xí)課的第一課時(shí)。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目的在于幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，自主建構(gòu)知識(shí)體系，并使不同層次的學(xué)生得到不同程度的發(fā)展。因此，一節(jié)好的復(fù)習(xí)課往往是數(shù)學(xué)教學(xué)的“點(diǎn)睛”之筆。本節(jié)課以“線段、角”的復(fù)習(xí)為落腳點(diǎn)，實(shí)踐生長數(shù)學(xué)的教學(xué)追求。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.研究方法的遷移生長

幾何學(xué)的研究對(duì)象是圖形，對(duì)于圖形而言，主要研究它的形狀、大小和位置關(guān)系。在研究圖形的形狀時(shí)，有一個(gè)基本的研究思路，即“實(shí)物模型—基本圖形—文字語言—符號(hào)語言”。線段和角作為基本圖形，為我們打開了幾何世界的大門。因此，在復(fù)習(xí)“線段、角”時(shí)，我們也要彰顯基本思路，強(qiáng)化“類比源”，實(shí)現(xiàn)知識(shí)節(jié)的生長。在本次活動(dòng)中，筆者先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)線段的相關(guān)知識(shí)，感受和體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的基本思路和方法。接下來，類比我們對(duì)線段的研究，架構(gòu)起角的藍(lán)圖，實(shí)現(xiàn)研究方法的遷移生長。

2.學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的自然生長

在教學(xué)活動(dòng)的開展過程中，要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于線段的研究，主要從概念、表示方法、度量以及線段上的特殊點(diǎn)等方面展開。對(duì)于角的研究，我們依然可以借鑒此經(jīng)驗(yàn)，由線段的概念、表示方法到角的概念、表示方法，由度量法和疊合法比較線段的長短到用這兩種方法比較角的大小，由利用尺規(guī)作一條線段等于已知線段到作一個(gè)角等于已知角，由線段的中點(diǎn)到角的平分線，由線段的三等分點(diǎn)到角的三等分線……一系列的類比性研究，無不體現(xiàn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的自然生長。

遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，從生長數(shù)學(xué)的理念出發(fā)，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為以下三點(diǎn)：一是回顧、思考本章所學(xué)線、角的相關(guān)知識(shí)，使知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化；二是通過類比的方法，進(jìn)一步加深對(duì)線、角的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)；三是進(jìn)一步豐富對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)，體會(huì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)用規(guī)范的幾何語言進(jìn)行表達(dá)。教學(xué)重點(diǎn)是把握線、角之間的區(qū)別和聯(lián)系，滲透類比、分類等基本數(shù)學(xué)思想。

二、活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

問題一：看到圖1 這條線段，你能想到什么？

圖1

關(guān)于問題一，學(xué)生一般能夠想到：（1）兩個(gè)基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短與兩點(diǎn)確定一條直線；（2）線段與射線、直線的區(qū)別和聯(lián)系；（3）線段的表示方法；（4）線段的可度量性；（5）數(shù)線段的方法；（6）三角形……教師鼓勵(lì)學(xué)生盡情地表達(dá)自己的想法，并做好相應(yīng)的理答及板書。一條線段，其實(shí)就是本節(jié)課的生長點(diǎn)。筆者通過設(shè)置開放性問題，營造思維場域，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)關(guān)于線段的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)讓學(xué)生感受到答案的任意性和廣泛性。

2.繪制線段的藍(lán)圖

問題二：這條線段上有沒有特殊的點(diǎn)呢？

生：中點(diǎn)。

師：我們把這個(gè)中點(diǎn)找到，記作點(diǎn)C（圖2），你能不能用符號(hào)語言描述一下中點(diǎn)的性質(zhì)？

圖2

追問1：接下來這個(gè)點(diǎn)C動(dòng)一動(dòng)，它不是中點(diǎn)了，我讓它停留在線段AB上任意一個(gè)位置。然后，分別取AC、BC的中點(diǎn)D、E，你知道DE與AB有什么樣的數(shù)量關(guān)系嗎（圖3）？

圖3

追問2：如果點(diǎn)D和E不是中點(diǎn)，又會(huì)怎樣呢？我們不妨讓，這時(shí)候的DE和AB又會(huì)有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？（請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)單上寫出猜想和理由。）

追問3：如果讓你繼續(xù)提問，你會(huì)提出什么問題呢？

問題二主要是想考查中點(diǎn)及其性質(zhì)，學(xué)生很容易說出；教師要進(jìn)行相應(yīng)的板書，并且拋出追問1，對(duì)點(diǎn)C不是中點(diǎn)的情況進(jìn)行討論。如果學(xué)生說出，這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)說理，用幾何語言來表達(dá)觀點(diǎn)，并在學(xué)習(xí)單上寫出說理過程，將格式規(guī)范化。接下來，教師拋出追問2，鼓勵(lì)學(xué)生先獨(dú)立完成，然后采用小組合作交流的方式進(jìn)行。在實(shí)際教學(xué)中，有的學(xué)生會(huì)想到利用“線段和”的方法，這時(shí)，教師可啟發(fā)學(xué)生思考不同的方法，鼓勵(lì)其他小組說出利用“線段差”的方法，并將兩種方法進(jìn)行對(duì)比分析。還要讓學(xué)生感受數(shù)量上從特殊到一般的過程，如果學(xué)生想到的是點(diǎn)C在線段AB外，其他條件不變，結(jié)論是否成立？也要給予充分的肯定，并指出這是位置上的一種特殊。

在剛才的探索中，通過解決層次性的問題，學(xué)生能夠拾級(jí)而上，逐漸生長。從線段上的一個(gè)特殊點(diǎn)出發(fā)，引發(fā)了一系列的思考。在最初的一條線段上，不斷增加條件元素，體現(xiàn)了圖形的生長。通過條件升級(jí)，在經(jīng)歷從特殊到一般再到更一般的過程中，培養(yǎng)學(xué)生“識(shí)圖、讀圖、畫圖、想圖”的能力，感受并體會(huì)幾何問題的研究規(guī)律。

3.“打通”知識(shí)通道，讓“角”自然生長

師：如果這條線段繞著一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一定度數(shù)，會(huì)形成什么呢？

生：一個(gè)角。

問題三：如果我們從研究線段的角度來思考，角怎么研究?

問題三是一個(gè)開放性的問題，如果線段部分研究得足夠充分，那么類比以上研究思路，學(xué)生自然能夠想到角平分線的性質(zhì)，角的三等分線、N等分線，角內(nèi)的動(dòng)線問題，以及角外的動(dòng)線問題等。對(duì)于學(xué)生發(fā)散的思維，教師要給予表揚(yáng)，也可適時(shí)追問：“其實(shí)我們研究的只是線段的其中一個(gè)三等分點(diǎn)、N等分點(diǎn)，角的其中一個(gè)三等分線、N等分線，其他情況又會(huì)怎樣？”設(shè)置矛盾沖突，留下懸念和思考的空間。

因此，通過線段的研究，學(xué)生可提煉“基本圖形—文字語言—符號(hào)語言”的基本思路，并將相應(yīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于角的研究之中，感受“線角同性”的魅力。

4.小結(jié)與提升

問題四：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)線段和角有了哪些新的認(rèn)識(shí)呢？

對(duì)于問題四，如果學(xué)生能夠說出線段和角有著緊密的聯(lián)系，可讓其進(jìn)一步總結(jié)，并繼續(xù)追問：“通過今天的學(xué)習(xí)，你還想研究哪些問題？怎么研究？”教師引導(dǎo)學(xué)生梳理本節(jié)課的研究過程并對(duì)后面的學(xué)習(xí)進(jìn)行展望，體會(huì)幾何圖形的基本思路，提煉學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。