摘" 要" 本文在可分的Hilbert空間H中提出了近似斜對(duì)偶g-框架的定義，得到了Hilbert空間上近似斜對(duì)偶g-框架的一些性質(zhì)和若干等價(jià)條件，并對(duì)近似斜對(duì)偶g-框架進(jìn)行了一些刻畫，且得到了近似斜對(duì)偶g-框架在構(gòu)造過程中的一般形式.

關(guān)鍵詞" 框架；g-框架；斜對(duì)偶g-框架；近似斜對(duì)偶g-框架

中圖分類號(hào)" O174.4" " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼" A

0" 引" 言

Du？覰in和Schae？覰er[1]在1952年研究非調(diào)和傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)提出了Hilbert空間中框架的概念，隨著小波分析理論的出現(xiàn)，在1986年，Daubechies，Grossmann和Meyer[2]三位小波先驅(qū)對(duì)框架進(jìn)行了推廣和應(yīng)用. 框架已經(jīng)在不同領(lǐng)域被眾多學(xué)者進(jìn)行研究. 現(xiàn)在框架無論是在理論上，還是在應(yīng)用上都取得了豐碩成果，在信號(hào)處理[3]、圖像處理[3]、編碼和傳輸[4]、濾波器理論[5]、地震勘測、地球物理、雷達(dá)及通訊等方面均具有突出的作用，且應(yīng)用前景十分廣闊. 2006年，孫文昌教授提出了g-框架[6]的概念，它是框架的推廣. S.Li在文獻(xiàn)[7]中引入了偽框架來進(jìn)行類框架分解. 而Y.Eldar在文獻(xiàn)[8]中使用斜對(duì)偶框架來處理樣本重構(gòu). 文獻(xiàn)[7，9-11]對(duì)斜框架作了進(jìn)一步研究. 斜對(duì)偶框架與經(jīng)典對(duì)偶框架[12]相比的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，在重構(gòu)信號(hào)時(shí)可以提供更多的靈活性. 例如，文獻(xiàn)[13]中使用了斜對(duì)偶框架分解的思想構(gòu)造了雙對(duì)稱小波和線性對(duì)稱濾波器. 隨后肖祥春和朱玉燦[12]又將Hilbert空間上斜對(duì)偶框架的概念推廣到斜對(duì)偶g-框架中. 無論是在框架還是在g-框架中，其斜對(duì)偶的顯式表達(dá)式不容易獲得的. 為了解決這些問題，一些學(xué)者又引入了近似斜對(duì)偶框架[14]的概念. 基于這種思想，本文首先在可分的Hilbert空間中引入近似斜對(duì)偶g-框架的概念，其目的在于方便人們?cè)谶M(jìn)行信號(hào)處理的過程中進(jìn)行樣本重構(gòu)，有利于減少誤差. 隨后又討論了近似斜對(duì)偶g-框架的一些性質(zhì)，并對(duì)近似斜對(duì)偶g-框架進(jìn)行一些刻畫.

1" 基本知識(shí)

在本文中，設(shè)H為一個(gè)可分的Hilbert空間，U，V分別為H的閉子空間，J是整數(shù)集Z的子集，{Vj}j∈J是V的一個(gè)閉子空間序列，L（H，Vj ）是H到Vj的所有有界線性算子的集合，？堠表示兩個(gè)子空間的直和，但不一定是正交的，U⊥是U的正交補(bǔ).

接下來我們定義一個(gè)Hilbert空間[12]如下：

？詛2{Vj}j∈J＝{gj}j∈J ： gj∈Vj，j∈J，∑j∈J" ■ gj ■ 2＜＋∞，

定義其上內(nèi)積為

〈{ fj }j∈J，{gj}j∈J〉＝■〈 fj ，gj〉.

設(shè){■jk}k∈K■是Vj上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中Kj是整數(shù)集Z的子集. 對(duì)任意的j∈J，k∈Kj，eik定義為eik＝δij{■jk}j∈J，其中δik是Kronecker符號(hào). 那么{eik}j∈J，k∈K■是？詛2{Vj}j∈J上的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

定義1.1[14]" 設(shè)H為一個(gè)可分的Hilbert空間，U，W分別為H的閉子空間，且滿足H＝U？堠W⊥. 定義一個(gè)算子EU W⊥如下，

EU W⊥f＝f，？坌f∈U.

EU W⊥f＝0，？坌f∈W⊥.

那么就稱算子EU W⊥為H到U上沿W⊥的斜投影.

由斜投影的定義可知其值域?yàn)镽（EU W⊥）＝U，核空間N（EU W⊥）＝W⊥，（EU W⊥）*＝EW" U⊥. 特別的，如果U＝W，那么我們得到了H到U上的正交投影，用PU來表示.

引理1.1[11]" 設(shè)H為一個(gè)可分的Hilbert空間，U，W分別為H的閉子空間，則下面的表述等價(jià)：

（?。?H＝U？堠W⊥；

（ⅱ） H＝W？堠U⊥；

（ⅲ） cos θ（U，W）＞0和cos θ（W，U）＞0，其中cos θ定義如下

cos θ（U，W）＝" " "inf" " " " " "f∈U，■ f ■＝1PW" f.

定義1.2[6]" 序列Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}稱為H關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，如果存在常數(shù)0＜A≤B＜∞，使得對(duì)任意的f∈H，有

A■" f" ■ 2≤∑j∈J ■ Λj f" ■ 2≤B■" f" ■ 2，（1）

其中A，B分別稱為g-框架的下界和上界. 如果只有（1）式的右邊不等式成立，則稱Λ為H關(guān)于{Vj}j∈J的上界為B的g-Bessel序列.

對(duì)于g-Bessel序列Λ，定義有界算子TΛ為它的合成算子，有TΛ ： ？詛2{Vj}j∈J→ H，TΛ{ fj }j∈J=∑j∈JΛ*jfj，■{ fj }j∈J∈？詛2{Vj}j∈J. 定義T*Λ為分析算子，有T*Λ ： H →？詛2{Vj}j∈J，T*Λ（f）={Λj f }j∈J，■f∈H. 定義SΛ為框架算子，有SΛ ： H → H，SΛ（f）＝TΛ T*Λ（f）=∑j∈JΛ*jΛj fj，■f∈H.

定義1.3[6]" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架. 對(duì)任意的f∈H，有

f＝∑j∈JΓ*jΛj f，

則稱Λ是Γ的對(duì)偶g-框架.

定理1.1[6]" 設(shè){■jk}k∈K■是Vj的標(biāo)準(zhǔn)正交基，Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}，且ujk＝Λ*j■jk，則稱Λ是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架（g-Bessel序列、g-緊框架、g-Riesz基、g-標(biāo)準(zhǔn)正交基）當(dāng)且僅當(dāng){ujk}j∈J，k∈K■為H的有相同界的框架（Bessel序列、緊框架、Riesz基、標(biāo)準(zhǔn)正交基）.

定理1.2[15]" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}稱為H關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，且其合成算子為TΛ.那么g-框架Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是Λ的對(duì)偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)Γ*j■jk=φejk，j∈J，k∈Kj，其中φ ： ？詛2{Vj}j∈J→ H是T*Λ的有界左逆算子.

定義1.4[12]設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列. 定義H的兩個(gè)子空間

U＝■，（2）

W＝■.（3）

并設(shè){Λj}j∈J是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架. 如果

f＝∑j∈J■Γ*jΛj f，■f∈W，（4）

則稱{Λj}j∈J是{Γj}j∈J在W上的一個(gè)斜對(duì)偶g-框架.

注1.1 一般情況下，斜對(duì)偶g-框架分解涉及的兩個(gè)g-框架是不對(duì)稱的，但我們引入條件H＝W？堠U⊥后，斜對(duì)偶g-框架分解涉及的兩個(gè)g-框架是對(duì)稱的.

引理1.2[12]" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝W？堠U⊥，則下面的表述等價(jià)：

（ⅰ） f＝∑j∈J■Γ*jΛj f，■f∈W；

（ⅱ） f＝∑j∈J■Λ*jΓj f，■f∈U；

（ⅲ） EW U ⊥f＝∑j∈J■Γ*jΛj f，■f∈H；

（ⅳ） EU" W⊥f＝∑j∈J■Λ*jΓj f，■f∈H；

（ⅴ） 〈EW U ⊥f，g〉＝∑j∈J■〈Λj f，Γj g〉，■f，g∈H；

（ⅵ） 〈EU" W⊥f，g〉＝∑j∈J■〈Γj f，Λj g〉，■f，g∈H.

注1.2" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}對(duì)應(yīng)的合成算子分別為TΛ和TΓ，則由上述定義可得，TΛT *Γ＝EU" W⊥，TΓT *Λ＝EW U ⊥.

定義1.5[12]" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，TΛ和TΓ分別為它們的合成算子，若滿足■ I－TΛT *?！觯?或■ I－TΓT *Λ■＜1，則稱它們是近似對(duì)偶g-框架.

2" 近似斜對(duì)偶g-框架

在這一節(jié)中我們引入了近似斜對(duì)偶g-框架的概念，并討論了它的一些基本性質(zhì).

定義2.1" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}分別是U和W的g-框架，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝W？堠U⊥，設(shè)？綴≥0. 如果

■ EW U ⊥－TΓT *Λ■≤？綴，（5）

則稱Λ是Γ在W上的一個(gè)？綴-近似斜對(duì)偶g-框架.

類似地，如果

■ EU" W⊥－TΛT *?！觥?？綴（6）

則稱Γ是Λ在U上的一個(gè)？綴-近似斜對(duì)偶g-框架.

特別地，如果W＝U，那么Λ和Γ稱為在W上的？綴-近似對(duì)偶g-框架.

注2.1" （i） （5）式和（6）式分別等價(jià)于

■ EW U ⊥f－∑j∈J Γ*jΛj f" ■≤？綴 ■，■f∈H，（7）

■ EU" W⊥f－∑j∈J Λ*jΓj f" "■≤？綴 ■，■f∈H，（8）

（ⅱ） 在定義2.1中，如果？綴＝0，那么Λ和Γ為斜對(duì)偶g-框架.

（ⅲ） 在定義2.1中，如果W＝U＝H，且？綴＜1，那么Λ和Γ為近似對(duì)偶g-框架.

類似于框架和g-框架，近似斜對(duì)偶g-框架也有如下性質(zhì).

命題2.1" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}？奐U和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}？奐W是？綴-近似斜對(duì)偶g-框架，且U ： H → H是酉算子，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝W？堠U⊥，那么UΛ＝{UΛj ： j∈J}和UΓ＝{UΓj ： j∈J}也是？綴-近似斜對(duì)偶g-框架.

定義2.2" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}是U中的g-框架，Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是W中的g-框架. 并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝U？堠W⊥，且設(shè)fr∈W，？綴＞0，則得到了如下的定義：

（ⅰ） 重構(gòu)的唯一性：如果f，g∈W且T *Λ f＝T *Λg，那么f＝g.

（ⅱ） f的？綴-一致重構(gòu)：若f∈H，■ T *Λ fr－T *Λ f" ■≤？綴 ■.

如果（ⅱ）成立，那么在W中fr是f的？綴-一致重構(gòu). 注意到條件（ⅰ）等價(jià)于W∩U⊥＝{0}.

接下來我們?cè)赪中利用Λ的斜對(duì)偶g-框架，獲得了■" fr－EW U ⊥f" ■的界：

命題2.2 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}是U中的g-框架，Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是W中Λ的斜對(duì)偶g-框架. 其中U和W是由（2）和（3）定義的且滿足H＝W？堠U⊥. 設(shè)？綴＞0. 如果f∈H且fr是在W中f的？綴-一致重構(gòu)，那么

■" fr－EW U ⊥f" ■≤？綴 ■ TΓ ■" ■ f" ■.

證明：利用TΓ T *Λ ＝EW U ⊥f和fr∈W，則有

■" fr－EW U ⊥f" ■＝■ TΓ T *Λ fr－TΓ T *ΛEW U ⊥f" ■

≤■ TΓ ■" ■ T *Λ fr－ T *Λ f" ■

≤？綴 ■ TΓ ■" ■ f" ■.

對(duì)于固定的f∈H，它的？綴-一致重構(gòu)fr與它的斜投影EW U ⊥f之間的關(guān)系如下：

定理2.1" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}是U中的g-框架，設(shè)f∈H，？綴≥0. 那么：

（ⅰ） 如果fr是在W中f的？綴-一致重構(gòu)，那么■" fr－EW U ⊥f" ■≤？綴 ■ EW U ⊥ ■" ■ T ？覮Λ ■" ■ f" ■.

（ⅱ） 如果■" fr－EW U ⊥f" ■≤■ ■ f" ■，那么fr是f在W中的？綴-一致重構(gòu).

證明：（?。┤绻Ｊ铅牡浞缎睂?duì)偶g-框架，那么TΓ＝EW U ⊥S？覮ΛTΛ. 又T ？覮Λ＝T*ΛS？覮Λ. 所以由命題2.2得

■" fr－EW U ⊥f" ■≤？綴 ■ TΓ ■" ■ f" ■≤？綴 ■ EW U ⊥ ■" ■ T ？覮Λ ■" ■ f" ■.

（ⅱ） 設(shè)■" fr－EW U ⊥f" ■≤■ ■ f" ■，則有

■ T *Λ fr－ T *Λ f" ■＝■ T *Λ fr－ T *ΛEW U ⊥f" ■≤？綴 ■ f" ■.

3" 近似斜對(duì)偶g-框架的刻畫

下面的引理給出了近似斜對(duì)偶g-框架的若干等價(jià)條件.

引理3.1" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝U？堠W⊥，且設(shè)？綴≥0，則下面的表述等價(jià)：

（?。?Λ和Γ是？綴-近似斜對(duì)偶g-框架.

（ⅱ） ■ EU" W⊥f－∑j∈J Λ*jΓj f" "■≤？綴 ■，■f∈H.

（ⅲ） ■ EW U ⊥f－∑j∈J Γ*jΛj f" ■≤？綴 ■，■f∈H.

（ⅳ）〈EU" W⊥f，g〉－∑j∈J■〈Γj f，Λj g〉≤？綴 ■ f" ■" ■ g" ■，■f，g∈H.

（ⅴ）〈EW U ⊥f，g〉－∑j∈J■〈Λj f，Γj g〉≤？綴 ■ f" ■" ■ g" ■，■f，g∈H.

證明：（ⅱ）和（ⅲ）是注2.1的（?。┲械牡葍r(jià)條件（8）和（7）式.

（ⅱ） ？圯 （ⅳ）設(shè)f，g∈H，假設(shè)（ⅱ）成立，利用

〈EU" W⊥f，g〉－∑j∈J■〈Γj f，Λj g〉＝〈EU" W⊥f－∑j∈J■Λ*jΓj f，g〉，

由施瓦茲不等式得（iv）式成立.

（ⅳ） ？圯 （ⅱ）假設(shè)（ⅳ）式成立，則由

■

由此（ⅱ）式成立.

類似可證明（ⅲ） ？圳 （ⅴ）.

現(xiàn)在我們來刻畫近似斜對(duì)偶g-框架的特征，首先給出兩個(gè)引理.

引理3.2" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝W？堠U⊥. 如果Λ和Γ分別是U和W關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架. 令0≤？綴＜1，則Γ是Λ在U上的？綴-近似斜對(duì)偶g-框架當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的j∈J，k∈Kj，有Γ*j■jk＝Gejk，其 中G ： ？詛2{Vj}j∈J→ W是線性有界算子，且滿足■ EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴.

證明：必要性. 設(shè)Γ是Λ在U上的？綴-近似斜對(duì)偶g-框架，且■ EW U ⊥－TΓT *Λ■≤？綴. 又因?yàn)門Γ（ejk）＝TΓ{δji■ik}i∈J＝∑i∈JΓ*iδji■ik＝Γ*j■jk. 取G＝TΓ，則G ： ？詛2{Vj}j∈J → W是線性有界算子，且滿足■ EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴.

充分性. 對(duì)任意的j∈J，k∈Kj，有Γ*j■jk＝Gejk，其中G ： ？詛2{Vj}j∈J → W是線性有界算子，且滿足■ EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴. 對(duì)任意的f∈W，

GT *Λ f＝G{Λj f }j∈J

＝G∑j∈J∑k∈K■〈Λj f，■jk〉ejk

＝∑j∈J∑k∈K■〈Λj f，■jk〉Gejk

＝∑j∈J∑k∈K■〈Λj f，■jk〉Γ*j■jk

＝∑j∈JΓ*j∑k∈K■〈Λj f，■jk〉■jk

＝∑j∈JΓ*jΛj f.

又{ejk}j∈J，k∈K■是？詛2{Vj}j∈J的標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以{Gejk}j∈J，k∈K■是W中的g-Bessel序列. 令ujk＝Gejk，則ujk＝Γ*j■jk，已知Γ是W中的g-Bessel序列，設(shè)TΓ為Γ的合成算子，則GT *Λ f＝TΓT *Λ f，■ EW U ⊥－TΓT *Λ■＝■ EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴.

下面我們給出引理3.2中的有界線性算子G的一般形式.

引理3.3" 設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，且Λ是U關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，其中U如（2）式定義. 如果W是H的另一個(gè)閉子空間，且滿足H＝U？堠W⊥，令0≤？綴＜1，那么■ EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴當(dāng)且僅當(dāng)G＝EW U ⊥S？覮TΛ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ），其中S？覮是框架算子S＝TΛT *Λ的偽逆，I是U → U上的恒等算子，W ： ？詛2{Vj}j∈J→ W，Q：U → U均是有界線性算子，滿足■ WT *Λ（I－Q） ■＜？綴.

證明：充分性. 由G＝EW U ⊥S？覮TΛ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ）可知，

GT *Λ＝EW U ⊥S？覮TΛ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ）T *Λ

＝EW U ⊥S？覮TΛT *Λ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ）T *Λ

＝EW U ⊥S？覮TΛT *Λ＋WT *Λ－WT *ΛQS？覮TΛT *Λ

＝EW U ⊥＋WT *Λ－WT *ΛQ.

所以■ EW U ⊥－GT *Λ■＝■ WT *Λ（I－Q） ■＜？綴.

必要性. 因?yàn)椤?EW U ⊥－GT *Λ■≤？綴＜1，所以GT *Λ可逆. 取W＝G，Q＝（GT *Λ）－1，則

EW U ⊥S？覮TΛ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ）＝EW U ⊥S？覮TΛ＋G－GT *Λ（GT *Λ）－1S？覮TΛ＝G.

并且■ WT *Λ（I－Q） ■＝■ WT *Λ（I－（GT *Λ）－1） ■＜？綴.

由引理3.3 我們給出了Λ的近似斜對(duì)偶g-框架的特征刻畫.

定理3.1" 設(shè){■jk}j∈J，k∈K■是Vj上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，{ejk}j∈J，k∈K■是？詛2{Vj}j∈J上的標(biāo)準(zhǔn)正交基.設(shè)Λ＝{Λj∈L（H，Vj） ： j∈J}和Γ＝{Γj∈L（H，Vj） ： j∈J}是H關(guān)于{Vj}j∈J的g-Bessel序列，并設(shè)（2）和（3）定義的U，W滿足H＝W？堠U⊥. 如果Λ和Γ分別是U和W關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架，則Γ是Λ在U上的一個(gè)？綴-近似斜對(duì)偶g-框架，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的j∈J，k∈Kj，有

Γ*j■jk＝EW U ⊥S？覮TΛ■jk＋Wejk－∑i∈J∑l∈K■〈QS？覮ujk，Λ*i■il〉Weil，（9）

其中有界線性算子W ： ？詛2{Vj}j∈J → W，Q：U → U滿足■ WT *Λ（I－Q） ■＜？綴，ujk＝Λ*j■jk，j∈J，k∈Kj，S？覮如引理3.3所給出.

證明：必要性. 假設(shè)Γ是Λ在U上的一個(gè)？綴-近似斜對(duì)偶g-框架，則由引理3.2和3.3知

Γ*j■jk＝[EW U ⊥S？覮TΛ＋W（I－T *ΛQS？覮TΛ）]ejk，

其中W ： ？詛2{Vj}j∈J→ W，Q：U → U均是有界線性算子，且滿足■ WT *Λ（I－Q） ■＜？綴，令vjk＝Wejk，{vjk}j∈J，k∈K■是W上的g-Bessel序列. 記ujk＝Λ*j■jk，zjk＝Γ*j■jk，則由上式知

zjk＝EW U ⊥S？覮TΛejk＋Wejk－WT *ΛQS？覮TΛejk

＝EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－WT *ΛQS？覮ujk

＝EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－W∑m∈J∑n∈K■〈ΛmQS？覮ujk，■m n〉em n

＝EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－∑m∈J∑n∈K■〈QS？覮ujk，Λ*m■m n〉Wem n

＝EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－∑m∈J∑n∈K■〈QS？覮ujk，um n〉vm n

＝EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－∑i∈J∑l∈K■〈QS？覮ujk，uil〉vil

即對(duì)任意的j∈J，k∈Kj，

Γ*j■jk＝EW U ⊥S？覮TΛ■jk＋Wejk－∑i∈J∑l∈K■〈QS？覮ujk，Λ*i■il〉Weil.

充分性. 由于（9）式成立，所以對(duì)于任意的f∈H，令vjk＝Wejk，則{vjk}j∈J，k∈K■是H上的Bessel序列. 記ujk＝Λ*j■jk，zjk＝Γ*j■jk，有

∑j∈JΓ*jΛj f

＝∑j∈JΓ*j∑k∈K■〈Λj f，■jk〉■jk

＝∑j∈J∑k∈K■〈 f，Λ*j■jk〉Γ*j■jk

＝∑j∈J∑k∈K■〈 f，ujk〉z(mì)jk

＝∑j∈J∑k∈K■〈 f，ujk〉EW U ⊥S？覮ujk＋vjk－∑i∈J∑l∈K■〈QS？覮ujk，uil〉vil

＝■■〈 f，ujk〉 EW U ⊥S？覮ujk＋

■■〈 f，ujk〉vjk－■■〈 f，ujk〉■■〈QS？覮ujk，uil〉vil

＝EW U ⊥f＋■■〈 f，ujk〉vjk－■■〈Q■■〈 f，ujk〉S？覮ujk，uil〉vil

＝EW U ⊥f＋∑j∈J∑k∈K■〈 f，ujk〉vjk－∑i∈J∑l∈K■〈Q" f，uil〉vil

＝EW U ⊥f＋∑j∈J∑k∈K■〈 f－Q" f，ujk〉vjk.

又Γ是W關(guān)于{Vj}j∈J的g-框架. 從而對(duì)任意的f∈H，

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■

■

＝■ WT *Λ（ f－Q" f） ■

≤■ WT *Λ（I－Q） ■ ■" f" ■.

因此，■ EW U ⊥－TΓT *Λ■≤？綴，Γ是Λ的一個(gè)？綴-近似斜對(duì)偶g-框架.

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Approximate Oblique Dual G-frames on Hilbert Space

JIA Lu， YANG Shouzhi

（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

Abstract" In this paper， the definition of the approximate oblique dual g-frame in separable Hilbert space H is proposed. Some properties and some equivalent conditions of the approximate oblique dual g-frame on Hilbert space are obtained. Some characterizations of the approximate oblique dual g-frame are given. The general form of g-frame of approximate oblique dual is obtained.

Keywords" frames; G-frames; oblique dual g-frame; approximate oblique dual g-frame