收稿日期：2021-11-11

基金項目：國家自然科學基金（61705091）；嘉興市公益研究計劃（2020AY10006）

通信作者：張建新（1981—），女，碩士、講師，主要從事太陽電池方面的研究。zjxox@163.com

DOI：10.19912/j.0254-0096.tynxb.2021-1381 文章編號：0254-0096（2023）04-0393-05

摘 要：采用求解滿足實驗結(jié)果的微分方程，建立一個三參數(shù)的顯函數(shù)模型。經(jīng)過22條實驗數(shù)據(jù)的驗證肯定該模型的正確性。更好的結(jié)果是該工作成功地發(fā)展出次級模型即模型參數(shù)同太陽輻照度及溫度的定量關(guān)系，從而實現(xiàn)用太陽輻照度和溫度預(yù)測太陽電池的I-V。

關(guān)鍵詞：太陽電池；模型；I-V曲線；參數(shù)；溫度；太陽輻照度

中圖分類號：O482.7""""""""""""""""" """" 文獻標志碼：A

0 引 言

為了準確評估光伏系統(tǒng)的光電轉(zhuǎn)換特性，通常會評估其輸出電流[I]與輸出電壓[V]的關(guān)系，因為太陽電池的光電轉(zhuǎn)換性能可通過其I-V和外量子效率來反映。太陽電池本質(zhì)上是一個非常大的p-n結(jié)，因此電流和電壓的關(guān)系是非線性的。即使知道太陽電池單元內(nèi)部的詳細參數(shù)以及太陽電池電流電壓的測量結(jié)果，也無法得到太陽電池的開路電壓[Voc]、短路電流[Isc]、填充因子[FF]和效率[η]等重要參數(shù)。但通過太陽電池的電流電壓模型可計算出這些有用信息。

光伏組件或太陽電池的I-V曲線能否產(chǎn)生可靠的預(yù)測至關(guān)重要，因此研究者們進行了大量工作，并構(gòu)建模型，通過電壓來解釋太陽電池的電流。目前已建立描述太陽電池[I]和[V]之間關(guān)系的方法有一般肖克利方程［1］、單指數(shù)模型、Blasser方法以及雙線性插值法（一種需要評估4個I-V曲線的方法），將太陽電池溫度和輻照度相結(jié)合的4種情況的方法也有報道［2］?；谶B續(xù)性方程和一維泊松方程的數(shù)值模擬可將太陽電池中的[I]與[V]聯(lián)系起來［3］，使用仿真軟件SCAPS評估太陽電池的I-V特性［4］。但上述多數(shù)模型都是不可逆（隱）函數(shù)，且擬合任何一個模型通常都需使用復(fù)雜的統(tǒng)計軟件并經(jīng)過專業(yè)培訓(xùn)。

建立顯函數(shù)形式的太陽電池I-V特性的模型對于生產(chǎn)太陽電池的工廠研制最大效率太陽電池具有重要的實用意義。通過級數(shù)泰勒和牛頓迭代法展開得到的太陽電池的顯式I-V模型是經(jīng)過數(shù)學近似得到的［5］，并不準確。雖由費米-狄拉克分布［6］可推導(dǎo)出一個未經(jīng)過數(shù)學近似的顯函數(shù)模型，但該方法中用來計算最大功率電壓的函數(shù)是一個稱為惠特克的特殊函數(shù)，該函數(shù)未建立二級模型［7］。對于太陽電池研發(fā)人員，能否建立一個顯函數(shù)I-V模型來準確地預(yù)測光伏組件或太陽電池的I-V曲線極具挑戰(zhàn)性又至關(guān)重要［8］。

本文通過一個求解滿足短路電流[Isc]的微分方程，得到一個三參數(shù)的太陽電池I-V顯函數(shù)模型，而短路電流[Isc]是模型中的一個參數(shù)。對兩種不同類型的太陽電池在5個太陽輻照度及6個溫度的22個I-V實測數(shù)據(jù)進行驗證，驗證結(jié)果表明理論曲線可完全重復(fù)實驗曲線。此外，找到太陽輻照度和溫度同模型參數(shù)的定量關(guān)系，從這種二級模型實現(xiàn)用太陽輻照度和溫度預(yù)測太陽電池的I-V曲線。

1 模 型

太陽電池的顯函數(shù)I-V模型可基于微分方程和實驗結(jié)果（邊界條件）的解得到。以[I]代表在電壓[V]處的輸出電流，[Isc]是短路電流（邊界條件），當電壓[V]在數(shù)學上靠近無限大時，有一個對應(yīng)的限電流[I′]。這樣有式（1）所示的太陽電池的I-V所滿足的微分方程和實驗短路電流結(jié)果（邊界條件）：

[dIdV=I′fnf+（n-1）V′VI（0）=Isc]""""" （1）

解得：

[I（V）=Isc-I′?（V/V′）n-11+（V/V′）n]"""""" （2）

式中：[n]——彎曲因子，[n]越大，I-V彎曲也越大；[V′]——過程電壓，[V′]的輸出電流是[Isc-I′]。

文獻中以單二極管、雙二極管及三極管串聯(lián)等效電路建立的隱函數(shù)（不可逆）太陽電池I-V模型，由于二極管的原因出現(xiàn)串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻［9］，但目前還鮮見測出串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻的報道［10］。文獻中提供的顯函數(shù)I-V模型幾乎都未考慮串聯(lián)電阻和并聯(lián)電阻，本文式（2）也未考慮這兩個電阻。太陽電池在最大輸出功率時的電流和電壓的乘積與短路電流和開路電壓乘積的比值為填充因子，其中短路電流和開路電壓由I-V測量結(jié)果給出（本文模型中的參數(shù)[Isc]是短路電流），填充因子由太陽電池本身的材料特性決定。太陽電池I-V模型一般不模擬填充因子［9-10］。

在物理中，模型之所以稱為模型是因在模型中其參數(shù)不是固定值，而是用于描述一定的意義。當把模型應(yīng)用于具體的物理過程時，這些參數(shù)就成為描述該物理過程函數(shù)的最佳系數(shù)。確定模型是否有效的方法通常是使用實驗數(shù)據(jù)應(yīng)用回歸分析進行驗證，如果使用某模型可精確獨立模擬實驗結(jié)果，則該模型更可靠，可進一步使用［11］。本文中將進行式（2）所示模型的實驗擬合驗證。

2 模型驗證及擴展

光伏組件或光伏陣列由多個串聯(lián)和/或并聯(lián)連接的單體電池組成。為驗證本文所建立模型的正確性，從已發(fā)表的文獻中獲得型號分別為ST40和Lyap-ES的太陽電池在5個太陽輻照度及6個溫度的I-V實際測試數(shù)據(jù)。圖1a、圖1b為型號為Lyap-ES的太陽電池在不同太陽輻照度、溫度的I-V實際測試數(shù)據(jù)［12］，Lyap-ES是單晶太陽電池。圖1c、圖1d是型號為ST40、面積為126.4 cm×284.6 cm的薄膜太陽電池在不同太陽輻照度、溫度的I-V實際測試數(shù)據(jù)。測量結(jié)果能在網(wǎng)上查詢到，其中ST40的數(shù)據(jù)屬于自由下載［13］。當使用任何一個顯函數(shù)模型對實驗數(shù)據(jù)進行最小二乘方非線性曲線擬合時，只要按照自由軟件Origin6.0或7.0的使用指南中自定義模型擬合指導(dǎo)即可完成。在Origin6.0自由軟件中使用最小二乘方非線性曲線擬合進行實驗驗證得到圖1理論曲線，最佳擬合參數(shù)如表1、表2所示。由圖1認為理論曲線完整地復(fù)現(xiàn)了實驗曲線。

實測數(shù)據(jù)與擬合曲線對比

Lyap-ES or ST40 solar cells at different solar irradiance and temperatures

由于表1和表2中的最佳參數(shù)準確描述了兩個太陽電池的輸出電流-電壓規(guī)律，這為尋找太陽輻照度及溫度同參數(shù)的定量關(guān)系提供了基礎(chǔ)。圖2～圖5所示為表1和表2中的最佳參數(shù)隨太陽輻照度[S]和溫度[T]變化的散點圖。應(yīng)用最小二乘方非線性曲線擬合能確定這些定量關(guān)系，其中兩個太陽電池的短路電流[Isc]隨太陽輻照度[S]以式（3）、式（4）兩個線性函數(shù)變化。

[ILyap-ESsc（S）=0.008（S/3.26-1）] （3）

[IST40sc（S）=0.011（S/4.14-1）]""""" （4）

短路電流[Isc]即1905年愛因斯坦解釋光電效應(yīng)實驗結(jié)果中的光電流。按照愛因斯坦的解釋，式（3）及式（4）正是光電效應(yīng)理論中單位時間內(nèi)進入太陽電池的光子數(shù)量，其同太陽輻照度（W/m2）成正比，因此太陽輻照度應(yīng)與太陽電池上產(chǎn)生光電子-空穴對數(shù)量成正比。

太陽電池是p-n結(jié)，而p-n結(jié)本身就是二極管。分流飽和電流[I′]為通過這個二極管的電流，因此二級指數(shù)衰減函數(shù)（如式（5）、式（6）所示）描述了兩個太陽電池的分流飽和電流[I′]隨太陽輻照度[S]的變化［7，13-14］。二級指數(shù)衰減函數(shù)（如式（7）、式（8）所示）描述了兩個太陽電池的過程電壓[V′]隨太陽輻照度S的變化。

[I′Lyap-ES（S）=4.19×107?e-S/29.13+1.15×105·e-S/5576.04-9.3×104]""""""""""""""""" （5）

[I′ST40（S）=2631.97?e-S/6245.22+2.2?106?e-S/26.44-21071.71]"""" （6）

[V′Lyap-ES（S）=35.20+46.93?e-S/145.58-0.0073?eS165.21]""" （7）

[V′ST40（S）=6.25?106?e-S/14.35+278.24?e-S/31808.35-245.59]""""" （8）

飽和函數(shù)（如式（9）所示）［7］同谷型函數(shù)（如式（10）所示）［15］分別刻畫了ST40和Lyap-ES太陽電池的彎曲因子[n]隨太陽輻照度[S]的變化。

[nLyap-ES（S）=13.55+10.34-13.551+（S/422.09）2.92]" （9）

[nST40（S）=10.95?e（S/1140.35）2-S/1162.79]"""""" （10）

線性函數(shù)（如式（11）～式（15）所示）分別刻畫了Lyap-ES太陽電池的短路電流[Isc]、彎曲因子[n]、過程電壓[V′]，ST40的彎曲因子[n]及分流飽和電流[I′]隨溫度變化。

[ILyap-ESsc（T）=11.65（T/233.0-1）]"""""" （11）

[nLyap-ES（T）=28.77（1-T/464.03）]"""""" （12）

[V′Lyap-ES（T）=54.95（T/171.17-1）]"" （13）

[nST40（T）=22.54（1-T/179.57）]nbsp;""" （14）

[I′ST40（T）=734.19（1-T/431.88）]"""""" （15）

再一次飽和函數(shù)（如式（16）、式（17）所示）定量描述了Lyap-ES的分流飽和電流[I′]和ST40的過程電壓[V′]隨溫度的變化。

[I′Lyap-ES（T）=764209.46+4264.16-764209.461+（T/328.79）22.89]"""""" （16）

[V′ST40（T）=22.62+26.30-22.621+（T/312.59）73.40]"""""" （17）

3 結(jié) 論

本文通過求解一個滿足短路電流為邊界條件的微分方程，建立了一個三參數(shù)的顯函數(shù)太陽電池輸出電流-電壓模型。通過22條實驗數(shù)據(jù)曲線驗證結(jié)果表明本文模型能較好地表述太陽電池輸出電流-電壓之間的定量關(guān)系。由實驗驗證的結(jié)果表明，短路電流、分流飽和電流、過程電壓、彎曲因子同太陽輻照度及溫度之間有著定量的關(guān)系。這種定量關(guān)系可用顯函數(shù)表達出來。這樣可探索出用溫度和太陽輻照度預(yù)測未測量的電流電壓。因此，這樣的途徑可能為制造太陽電池的研發(fā)工程師進行器件評估提供幫助。

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A NEW EXPLICIT MODEL OF SOLAR CELL TO PREDICT I-V AT

ANY IRRADIANCE AND TEMPERATURE CONDITION

Zhang Jianxin1，Liu Junxing2，F(xiàn)u Wenzhen1，Liu Changshi1

（1. College of Information Science and Engineering， Jiaxing University， Jiaxing 314001， China；

2. College of Mechanical and Electrical Engineering， Jiaxing Nanhu University， Jiaxing 314001， China）

Keywords：solar cells； model； I-V curve； parameter； temperature； solar irradiance