摘要： 對(duì)于彈箭體結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)的復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)，在計(jì)算其軸壓屈曲載荷時(shí)需要對(duì)理論線(xiàn)性解進(jìn)行折減，從而彌補(bǔ)實(shí)際含缺陷產(chǎn)品與理想的完美結(jié)構(gòu)之間的差別。目前，雖然可以基于非線(xiàn)性有限元分析得到較為精確的折減因子數(shù)值，但是折減因子隨結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)變化而變化的具體規(guī)律尚未厘清。針對(duì)這一問(wèn)題，研究當(dāng)復(fù)合材料圓柱殼的長(zhǎng)度、半徑、單層厚度等幾何參數(shù)的變化對(duì)折減因子的影響，發(fā)現(xiàn)無(wú)論鋪層方式如何，折減因子總是與半徑和單層厚度呈近似線(xiàn)性的正相關(guān)，而與結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度間呈近似線(xiàn)性的負(fù)相關(guān)。在初始設(shè)計(jì)階段應(yīng)用這一結(jié)論，可以減少非線(xiàn)性有限元分析的次數(shù)，提高設(shè)計(jì)效率。

關(guān)鍵詞： 復(fù)合材料；圓柱殼；折減因子；屈曲；有限元分析；幾何參數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)： V421.3" " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

doi：10.3969/j.issn.2095-1248.2023.02.001

Influence of geometric parameters on knock-down factor of composite cylindrical shells

HE Dan1，2， WANG Yu-long 1

（1. Key Laboratory of Liaoning Province for Composite Structural Analysis of Aerocraft and

Simulation，Shenyang Aerospace University，Shenyang 110136，China；

2. Hunan InnoChina Advanced Material Co.，Ltd.，Yueyang 414000，China）

Abstract： Composite cylindrical shells are commonly used in missile and rocket structures.When calculating the axial compression buckling load，the analytical linear solution needs to be knocked down to compensate for the difference between the actual as-built product and the ideal perfect structure.Although the knock down factors can be obtained from nonlinear finite element analysis，the regularity of the knock down factors varying with the structural geometric parameters has not been clarified.To this issue，the influence of the geometric parameters，such as length，radius，and monolayer thickness，on the knock down factors was investigated.It is showed that the knock-down factors are always approximately linear，positively correlated with the radius and monolayer thickness，and approximately linear negatively correlated with the structural height，regardless of the stacking sequence.By applying these conclusions into the primary design phase，the numbers of finite element analysis can be reduced hence the design efficiency can be improved.

Key words： composite；cylindrical shells；knock-down factors；buckling；finite element analysis；geometric parameters

碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料圓柱殼廣泛應(yīng)用于航天運(yùn)載器結(jié)構(gòu)，其薄壁特性導(dǎo)致其在使用中易于發(fā)生軸壓屈曲，需要準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)其極限屈曲載荷從而保證結(jié)構(gòu)安全。此類(lèi)結(jié)構(gòu)對(duì)幾何缺陷非常敏感［1-3］，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)軸壓屈曲的實(shí)驗(yàn)值往往顯著低于其理論解析解。結(jié)構(gòu)實(shí)際承載能力與理論解之間的比值被稱(chēng)為折減因子（Knock-down Factor，KDF［4］），因此KDF視為是對(duì)結(jié)構(gòu)幾何缺陷敏感性的定量描述［5-6］。

20世紀(jì)60年代，NASA基于大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了薄壁非加筋/加筋圓柱殼KDF的建議值［5］。進(jìn)入21世紀(jì)后，隨著材料、工藝等技術(shù)的不斷進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的KDF嚴(yán)重低估了結(jié)構(gòu)的承載力，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)質(zhì)量的冗余。因此，有必要重新研究新的KDF確定方法，以提高箭體結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)質(zhì)量［7］。由于現(xiàn)代有限元技術(shù)已經(jīng)能夠在模型中充分考慮幾何缺陷的影響，進(jìn)行高逼真仿真分析，因此可以用分析代替實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得“基于分析”的KDF。

高逼真有限元分析的關(guān)鍵問(wèn)題在于引入缺陷的種類(lèi)和幅值。Hilburger等［8］測(cè)量了復(fù)合材料圓柱殼的真實(shí)幾何缺陷，并在有限元模型中進(jìn)行了承載性能分析，所預(yù)測(cè)出的結(jié)構(gòu)的極限屈曲載荷、載荷位移曲線(xiàn)以及結(jié)構(gòu)在屈曲過(guò)程中模態(tài)的變化等都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。實(shí)測(cè)缺陷法的局限性在于初始設(shè)計(jì)階段無(wú)法確定缺陷的幾何形狀和幅值。于是Arbocz等［9］和Elishakoff ［10］提出不斷更新實(shí)測(cè)缺陷數(shù)據(jù)庫(kù)并結(jié)合概率法來(lái)預(yù)測(cè)產(chǎn)品的性能，但這種做法雖然可行，但是經(jīng)濟(jì)、計(jì)算成本都非常高昂。歐洲鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［11］中建議在尚不充分掌握缺陷信息的情況下，將薄壁結(jié)構(gòu)的一階特征值屈曲模態(tài)作為初始缺陷進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)預(yù)估結(jié)構(gòu)的承載力，但這種方法預(yù)測(cè)的承載能力過(guò)低，容易造成較大的結(jié)構(gòu)冗余［12］。

Horak等［13］指出圓柱殼結(jié)構(gòu)的局部凹陷是一種既現(xiàn)實(shí)又危險(xiǎn)的缺陷類(lèi)型。Huehne等［14］則提出可以在圓柱殼的半腰處施加一個(gè)徑向的擾動(dòng)載荷來(lái)模擬這種既現(xiàn)實(shí)又危險(xiǎn)的缺陷，即單點(diǎn)擾動(dòng)載荷法（Single Perturbation Load Approach，SPLA）。Huehne［15］證實(shí)了SPLA在復(fù)合材料圓柱殼中產(chǎn)生了具有物理意義的特征屈曲響應(yīng)。有限元分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，隨著擾動(dòng)載荷增加，結(jié)構(gòu)屈曲載荷迅速下降。但是當(dāng)擾動(dòng)載荷超過(guò)一個(gè)閾值時(shí)，結(jié)構(gòu)屈曲載荷會(huì)收斂于一個(gè)下限值，該下限值很好地預(yù)測(cè)了實(shí)際產(chǎn)品的承載能力下限，據(jù)此獲得的基于分析的KDF值是安全而不過(guò)分保守的。需要注意的是KDF與復(fù)合材料殼體的鋪層方式密切相關(guān)?；趯?duì)SPLA方法的拓展，Meurer等［16］提出了概率擾動(dòng)載荷方法（Probabilistic Perturbation Load Approach，PPLA），代表了SPLA和非傳統(tǒng)缺陷的組合。Jiao等［17］提出可采用多重?cái)_動(dòng)載荷法（Multiple Perturbation Load Approach，MPLA）來(lái)獲得更安全的設(shè)計(jì)方案。Hao等［18］針對(duì)多重?cái)_動(dòng)載荷法研究了擾動(dòng)載荷位置對(duì)結(jié)構(gòu)屈曲載荷的影響，建議采用最差多重?cái)_動(dòng)載荷法（Worst Multiple Perturbqtion Load Approach，WMPLA）評(píng)估三角形網(wǎng)格加筋圓柱殼的軸壓承載能力［19］。這些對(duì)SPLA改進(jìn)的方法能夠得到更安全的KDF，但是也提高了計(jì)算成本［20］。

基于準(zhǔn)確的實(shí)驗(yàn)值或數(shù)值解研究幾何參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)軸壓性能的影響對(duì)于改善設(shè)計(jì)具有重要的意義。這方面的代表性工作包括早期NASA基于試驗(yàn)值給出的圓柱殼KDF關(guān)于半徑/厚度比的曲線(xiàn)，以及近期Wagner等［21］基于有限元法給出的屈曲載荷關(guān)于長(zhǎng)度/半徑比變化的趨勢(shì)。這些工作所針對(duì)的都是各向同性材料，關(guān)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)對(duì)KDF的影響的研究工作尚未見(jiàn)諸報(bào)道。為此，本文基于SPLA法研究了當(dāng)復(fù)合材料圓柱殼結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度、半徑和單層厚度等幾何參數(shù)變化時(shí)KDF的變化規(guī)律。結(jié)果表明，無(wú)論鋪層方式如何，結(jié)構(gòu)半徑和厚度的增加總會(huì)導(dǎo)致KDF升高，而結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度的增加則會(huì)導(dǎo)致KDF降低，而且當(dāng)這些參數(shù)在±20%的范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí)（即火箭初始設(shè)計(jì)階段內(nèi)參數(shù)的主要變化區(qū)間），KDF近似呈線(xiàn)性變化。在初始設(shè)計(jì)階段應(yīng)用這些結(jié)論有助于降低計(jì)算成本，縮短研發(fā)周期。

1 基于SPLA的KDF計(jì)算

單點(diǎn)擾動(dòng)載荷法（SPLA）是基于有限元軟件在圓柱殼的母線(xiàn)中點(diǎn)位置施加一個(gè)徑向擾動(dòng)載荷，模擬現(xiàn)實(shí)又危險(xiǎn)的幾何凹陷缺陷，從而預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)軸壓屈曲載荷下限值的方法。

以ABAQUS為例，基于SPLA法的屈曲分析可按下列步驟進(jìn)行：

（1） 定義兩個(gè)非線(xiàn)性靜力分析步，在第一個(gè)分析步中，在圓柱殼母線(xiàn)L/2處沿徑向施加單個(gè)擾動(dòng)載荷P（如圖1所示）；

（2） 在第二個(gè)分析步中，沿軸向在圓柱殼上邊緣以準(zhǔn)靜態(tài)的方式施加強(qiáng)制位移W，采用Newton-Raphson方法求解，注意設(shè)置合適的阻尼因子，以保證分析為準(zhǔn)靜態(tài)；

（3） 在結(jié)果中提取載荷-位移曲線(xiàn)中的載荷峰值為結(jié)構(gòu)的屈曲載荷，如圖2所示；

（4） 增大擾動(dòng)載荷P的值并重復(fù)步驟（1）～（3），直至得到的屈曲載荷收斂，如圖3中的即為實(shí)際結(jié)構(gòu)產(chǎn)品的承載能力下限。

在得到之后，即可根據(jù)式（1）計(jì)算出結(jié)構(gòu)的KDF，其中為理想結(jié)構(gòu)的線(xiàn)性屈曲載荷。

（1）

2 幾何參數(shù)對(duì)KDF的影響

本節(jié)針對(duì)兩種不同鋪層［0/90/90/0］和［0/90/45/-45］的復(fù)合材料圓柱殼，研究當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)在±20%內(nèi)變化時(shí)對(duì)KDF的影響。結(jié)構(gòu)的材料數(shù)據(jù)及其初始幾何參數(shù)如表1和表2所示。

如圖4所示，圖中表示鋪設(shè)角度，箭頭所指方向?yàn)殇亴佣询B方向。如圖5所示，采用線(xiàn)性減縮積分殼單元進(jìn)行離散，單元尺寸為7.9 mm，擾動(dòng)載荷施加在母線(xiàn)中點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)上，邊界條件是約束參考點(diǎn)RP-2的全部自由度以及參考點(diǎn)（RP-1）的除U3（圖5中的Z軸方向）之外的全部自由度，U3為強(qiáng)制位移載荷的施加方向，兩參考點(diǎn)分別與圓柱殼上下邊緣剛性連接，阻尼系數(shù)設(shè)為［22］。

2.1 算例1：正交對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)［0/90/90/0］

線(xiàn)性屈曲分析得到的屈曲載荷為93.9 kN，屈曲模態(tài)為棋盤(pán)狀，其中軸向5個(gè)半波，環(huán)向12個(gè)全波，如圖6所示。

由SPLA法得到的計(jì)算結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，隨著擾動(dòng)載荷的增加結(jié)構(gòu)屈曲載荷迅速降低，但是當(dāng)擾動(dòng)載荷大于20 N之后，結(jié)構(gòu)屈曲載荷的變化開(kāi)始趨于平緩。另外還可以看出，對(duì)于理想結(jié)構(gòu)或小缺陷結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的后屈曲模態(tài)為縱向2個(gè)半波；而當(dāng)擾動(dòng)載荷較大，即結(jié)構(gòu)含有較為明顯的單點(diǎn)凹陷時(shí)，結(jié)構(gòu)的后屈曲模態(tài)變?yōu)榭v向1個(gè)半波，說(shuō)明局部凹陷主導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的變形過(guò)程。這里取P1=40 N所對(duì)應(yīng)的73.47 kN作為結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性屈曲載荷，再根據(jù)式（1）計(jì)算可得KDF為0.782。

當(dāng)P1=40 N時(shí)，結(jié)構(gòu)的載荷位移曲線(xiàn)及對(duì)應(yīng)的位移云圖如圖8所示?？梢钥闯鰴M向擾動(dòng)載荷造成了結(jié)構(gòu)半腰處的局部凹陷，當(dāng)載荷增加到峰值時(shí)，凹陷開(kāi)始向四周傳播，隨后達(dá)到穩(wěn)定的后屈曲狀態(tài)，呈軸向1個(gè)半波，環(huán)向5個(gè)全波的狀態(tài)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度、半徑及厚度等參數(shù)在±20%范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí)（擾動(dòng)載荷仍取P1=40 N），KDF也會(huì)隨之變化，相應(yīng)的結(jié)果列于表3之中。表3中L、R和分別表示圓柱殼初始幾何參數(shù)長(zhǎng)度、半徑和單層厚度，同時(shí)±5%、±10%、±15%及±20%指在初始幾何參數(shù)基礎(chǔ)上的攝動(dòng)范圍。可以看出當(dāng)幾何參數(shù)在（-20%，20%）區(qū)間變化時(shí)，殼體長(zhǎng)度變化與KDF呈負(fù)相關(guān)，半徑和單層厚度變化與KDF呈正相關(guān)。由圖9中關(guān)系曲線(xiàn)可以看出，當(dāng)幾何參數(shù)在（-20%，20%）區(qū)間變化時(shí)，KDF在（0.75，0.8）之間近似呈線(xiàn)性變化。

2.2 算例2：非對(duì)稱(chēng)鋪設(shè)［0/90/45/-45］

除鋪層方式不同外，算例2與算例1的網(wǎng)格尺寸、邊界條件等分析設(shè)置完全一致。當(dāng)結(jié)構(gòu)為理想狀態(tài)時(shí)，可得其線(xiàn)性屈曲載荷值為101.4 kN。由于其中存在斜交層，因此其一階屈曲模態(tài)為沿斜向環(huán)繞的橢圓狀，如圖10所示。

由SPLA法得到的計(jì)算結(jié)果如圖11所示，可以看出隨著擾動(dòng)載荷的增加，結(jié)構(gòu)的屈曲載荷迅速降低；但當(dāng)擾動(dòng)載荷大于30 N之后，結(jié)構(gòu)的屈曲載荷變化開(kāi)始逐漸趨于平緩。另外還可以看出，對(duì)于理想結(jié)構(gòu)或者小缺陷結(jié)構(gòu)后屈曲模態(tài)為縱向2個(gè)半波，而當(dāng)擾動(dòng)載荷增大，即結(jié)構(gòu)含有較明顯的單點(diǎn)凹陷時(shí)，結(jié)構(gòu)的后屈曲模態(tài)變?yōu)榭v向一個(gè)半波，說(shuō)明局部凹陷主導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的變形過(guò)程。這里取P1=40 N所對(duì)應(yīng)的74.34 kN作為結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性屈曲載荷，再根據(jù)式（1）計(jì)算得出相應(yīng)KDF=0.742。

當(dāng)P1=40 N時(shí)，結(jié)構(gòu)的載荷位移曲線(xiàn)及對(duì)應(yīng)的位移云圖如圖12所示?？梢钥闯鰴M向擾動(dòng)載荷造成了結(jié)構(gòu)半腰處的局部凹陷，當(dāng)載荷增加到峰值時(shí)，凹陷開(kāi)始向四周傳播，隨后達(dá)到穩(wěn)定的后屈曲狀態(tài)，呈軸向1個(gè)半波，環(huán)向4個(gè)全波的狀態(tài)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度、半徑及厚度等參數(shù)在±20%范圍內(nèi)攝動(dòng)時(shí)（擾動(dòng)載荷仍取P1=40 N），KDF也會(huì)隨之變化，相應(yīng)的結(jié)果列于表4之中。

表4中L、R和表示的含義分別與表3中相同?？梢钥闯霎?dāng)幾何參數(shù)在（-20%，20%）區(qū)間變化時(shí)，殼體長(zhǎng)度變化與KDF呈負(fù)相關(guān)，而半徑和單層厚度變化與KDF呈正相關(guān)。由圖13中關(guān)系曲線(xiàn)可以看出，當(dāng)幾何參數(shù)在（-20%，20%）區(qū)間變化時(shí)，KDF在（0.71，0.76）之間近似呈線(xiàn)性變化。

3 結(jié)論

本文基于SPLA法研究了復(fù)合材料圓柱殼的幾何參數(shù)變化對(duì)結(jié)構(gòu)軸壓屈曲KDF的影響。結(jié)果表明無(wú)論鋪層方式如何，KDF總是隨結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度的增加而降低，且隨半徑或壁厚的增加而增加。當(dāng)幾何參數(shù)在（-20%，20%）范圍內(nèi)變化時(shí)，KDF與各個(gè)幾何參數(shù)間的關(guān)系都近似為線(xiàn)性。利用這一結(jié)論，通過(guò)對(duì)少數(shù)幾次SPLA分析的結(jié)果進(jìn)行線(xiàn)性插值而獲得較大設(shè)計(jì)空間內(nèi)的KDF分布，再結(jié)合線(xiàn)性計(jì)算就可以迅速得到新設(shè)計(jì)方案的承載能力，從而顯著地提高計(jì)算效率，縮短研發(fā)周期。

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（責(zé)任編輯：吳萍" 英文審校：張微）