胡正宇,張 誠

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心, 重慶 400054)

代數(shù)簇的分類問題是代數(shù)幾何學(xué)研究的核心部分,其主要目標(biāo)是按照雙有理等價分類任意維數(shù)的代數(shù)簇。要完成上述分類的第一步是要選出給定代數(shù)簇等價類中的具有更簡單的幾何結(jié)構(gòu)的代表元——即極小模型(minimal model)。由Mori、Shokurov、Kawamata、Kollár等建立的關(guān)于高維代數(shù)簇的極小模型綱領(lǐng)(minimal model program,MMP)就是選出這類代表元的一種技術(shù),即對于給定的代數(shù)簇,經(jīng)過有限步雙有理等價收縮(contraction)后最終得到一個極小模型,使得對于原代數(shù)簇的研究歸結(jié)為對極小模型的研究。然而,理論發(fā)展的初期遇到了各種困難,其中的難點(diǎn)之一也即運(yùn)行MMP的前提——證明上述雙有理等價收縮映射的存在性——由Kawamata、Shokurov、Reid的一系列工作所解決,這些工作的匯聚即現(xiàn)在的錐體與收縮定理(見文獻(xiàn)[1-3];解析的情形可參考文獻(xiàn)[4])。錐體定理用曲線錐與典范除子的相交關(guān)系來描述極端射線(extremal ray);而收縮定理保證了錐體定理里的那些極端射線都對應(yīng)一個收縮映射?？梢哉f,錐體和收縮定理正是現(xiàn)代極小模型理論的基點(diǎn)。

近年來,極小模型理論的一個重要進(jìn)展是Birkar等[5]在假定邊界除子為big的前提下證明了極小模型的存在性。其中,典范環(huán)的有限生成性是文獻(xiàn)[5]的一個重要推論,也是文獻(xiàn)[6]的主要結(jié)果;之后文獻(xiàn)[7]將這一結(jié)果推廣至R-除子的情形。此外,關(guān)于廣義偶(generalised pair)的極小模型理論[8]如今已成為一個新的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]在一些額外條件下證明了廣義偶的錐體與收縮定理,但在一般情況下類似的結(jié)果還是未知的。另外,曲線是最初極小模型理論發(fā)展過程中主要的研究對象。然而文獻(xiàn)[5]的結(jié)果大量依賴于Birkar等對除子空間中有理(rational)多面體的研究。這表明相較于曲線,通過研究除子構(gòu)成的多面體能更高效地理解極小模型理論。自然地,錐體定理需要一個對偶表述。

本研究旨在給出以下形式在錐體定理的一個簡潔證明:

定理1設(shè)(X,B)是一個對數(shù)典范(log canonical,lc)偶(pair),滿足[KX+B]?Nef(X)。B是Nef(X)關(guān)于[KX+B]的可見邊界。則B的相對內(nèi)部中的任意一個緊致子集都包含于有限個余一維有理極端面(extremal face)的并。特別地,若A是X上的一個豐富除子,并且ε是一個正實(shí)數(shù)使得[KX+B+εA]?Nef(X),則Nef(X)關(guān)于[KX+B+εA]的可見邊界都包含于有限個余一維有理極端面的并。

定理1是錐體定理的對偶形式,它曾出現(xiàn)在文獻(xiàn)[10-11]中,但無詳細(xì)證明。文獻(xiàn)[12]在假設(shè)典范環(huán)的有限生成性的前提下給出了定理1的證明,且需假定(X,B)是klt偶以及邊界除子B是Q-除子。本研究舍棄這些假設(shè),把定理推廣到了一般情況。具體來說,本文的結(jié)果基于Fujino[13-14]關(guān)于lc偶的錐體與收縮定理的工作。

相較于原始的錐體定理,它的對偶形式具有更豐富的幾何圖像:假設(shè)點(diǎn)[KX+B+εA]不含于nef錐里,那么在觀測點(diǎn)[KX+B+εA]看到的nef錐就是一個多面體。進(jìn)一步地,多面體的面的個數(shù)會隨著觀測點(diǎn)向[KX+B]靠近的過程中增加,以至于最終在[KX+B]觀察到的面的個數(shù)可能是無限的。

1 預(yù)備知識

本文中的代數(shù)簇總是定義在復(fù)數(shù)域上,所用的基本概念術(shù)語同文獻(xiàn)[2]。

設(shè)X是一個正規(guī)射影代數(shù)簇。X上的2個R-Cartier除子D、E稱為數(shù)值等價(numerical equivalent)的,記為D≡E,如果對于X上任意不可約曲線C,D與C的相交數(shù)總與E與C的相交數(shù)相等,即D·C=E·C。用[D]表示D的數(shù)值等價類。X上所有R-Cartier除子的數(shù)值等價類構(gòu)成的有限維實(shí)線性空間記為N1(X)。稱線性組合c=∑aiCi是X上的一個R-1-鏈(cycle),其中ai∈R,Ci為X上的不可約曲線。如果對于每個i都有ai≥0,那么c被稱為有效(effective)的。2個R-1-鏈c1、c2稱為數(shù)值等價的,如果對于任意的R-Cartier除子D都有D·c1=D·c2。記[c]為c的數(shù)值等價類。X上的所有R-1-鏈的數(shù)值等價類生成的有限維實(shí)線性空間記為N1(X)。通過相交數(shù)關(guān)系,N1(X)與N1(X)互為對偶空間。

設(shè)V是有限維實(shí)線性空間。V中的子集C稱為一個錐(cone),如果0∈C且對于任意正實(shí)數(shù)k,都有kC?C。一個錐C稱為凸(convex)錐,如果對于任意2個元素x,y∈C以及任意t∈[0,1],有

tx+(1-t)y∈C

設(shè)V*是V的對偶空間。V中的一個錐C的對偶錐(dual cone)C*定義為:

C*={u∈V*|(u·x)≥0,?x∈C}

根據(jù)定義C*是V*中的一個錐。

設(shè)D是正規(guī)射影簇X上的一個R-Cartier除子。記

D≥0={c∈N1(X)|D·c≥0}

類似地,可以定義D≤0、D<0、D=0等。進(jìn)一步地,記

此時把D稱為F的一個支撐函數(shù)(supporting function)。若D的系數(shù)都為有理數(shù),那么F稱為有理的。特別地,一個一維的極端面稱為一條極端射線。

一個偶(X,B)是指由一個正規(guī)射影簇X和一個有效R-除子構(gòu)成的二元組。本文中主要討論具有l(wèi)c奇點(diǎn)的偶。關(guān)于lc偶的極小模型理論可參考文獻(xiàn)[15]。

設(shè)X、Y為代數(shù)簇。一個收縮態(tài)射(contraction morphism)f∶X→Y是一個滿足f*OX=OY的射影態(tài)射。特別地,f的纖維(fibers)是連通的。

錐體定理和收縮定理是極小模型理論的2個基本結(jié)果,本文中使用lc版本[13-14]。

2) 設(shè)A是X上的一個豐富除子。則對于任意正實(shí)數(shù)ε,存在有限條Ri(i=1,2,…,k)使得

2 主要結(jié)果

H={[D]∈Nef(X)|D·c=0, ?c∈F}

則H=f*Nef(Y)是Nef(X)上的一個有理極端面,且H??Nef(X)。

證明若記

Hi={[D]∈Nef(X)|D·c=0,?c∈Ri}

那么易知

故不妨假設(shè)F=Ri,i∈(1,2,…,k)。

若D為X上的一個R-Cartier除子,使得存在一個[D′]∈Nef(Y)滿足D≡f*D′,那么有[D]∈Nef(X)且對于任意c∈F,由收縮定理有

D·c=f*D′·c=D′·f*(c)=0

故[D]∈H。

反之,若[D]∈H,根據(jù)收縮定理知存在[D′]∈Nef(Y)使得D≡f*D′,故[D]∈f*Nef(Y)。

最后,由于f是一個非同構(gòu)的收縮態(tài)射,所以若A是Y上的一個豐富除子,那么f*A必不是X上的豐富除子。引理得證。

r=max{t∈R|[A+t(KX+B)]∈Nef(X)}

1)F只包含有限條Ri;

2) [D]∈f*Amp(Y)

證明1) 假設(shè)F包含無數(shù)條Ri。取一個X上的豐富除子A′以及一個足夠小的正實(shí)數(shù)ε使得D-r(KX+B)-rεA′是豐富的。那么對于任意Ri?F,因?yàn)镈·Ri=0,所以有

(KX+B+εA′)·Ri<0

2) 由1)知F只包含有限條Ri,故由引理1知[D]∈f*Nef(Y)。若存在一個Y上的nef但不豐富的R-除子D′使得D≡f*D′,取一條Y上的曲線C使得D′·C=0。設(shè)E是X上的一條滿足f*(E)=C的曲線。由于D是F的支撐函數(shù),故有D·E>0。于是

0

這是一個矛盾。故D不可能為Y上的nef但不豐富的R-Cartier除子的拉回,即[D]∈f*Amp(Y)。

定義1設(shè)V是一個有限維實(shí)線性空間,C是V的一個閉錐。固定一點(diǎn)x∈V,定義C關(guān)于x的可見邊界為:

B={y∈?C|[x,y]∩C=y}

其中[x,y]={tx+(1-t)y|t∈[0,1]}。

下面對定理1給予證明。

若[D]包含于某個Hi,由引理1知[D]∈?Nef(X)。進(jìn)一步地,對于任意t>0,t(KX+B)+(1-t)D=D+t(KX+B-D)不是nef除子,這表明

[[KX+B],[D]]∩Nef(X)=[D]

故[D]∈B,也即Hi?B。反之,對于任意[D]∈B°,有D≡A′+r(KX+B),其中

[A′]∈Amp(X),r=max{t|[A′+t(KX+B)]∈Nef(X)}

則由引理1和引理2知存在某個Hi使得[D]∈Hi?？偨Y(jié)上述,有

3 結(jié)論

通過觀察曲線錐中的極端射線與除子錐中極端面的對應(yīng)關(guān)系,利用數(shù)值幾何的方法,給出了對偶錐定理的一個幾何化的證明。本文的主要結(jié)果僅基于Fujino的錐體與收縮定理,而不需要對奇點(diǎn)和邊界除子施加額外限制,對傳統(tǒng)的對偶錐定理進(jìn)行了推廣。