白忠玉

(?？诮?jīng)濟(jì)學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)學(xué)院, ?？?571127)

常系數(shù)Schr?dinger方程的適定正則性和能控性已有許多研究結(jié)果[1-3]。對(duì)于變系數(shù)Schr?dinger方程,驗(yàn)證其適定正則性一直是一個(gè)困難的問題,要根據(jù)不同的方程形式采用不同的工具,過去的做法是把控制問題轉(zhuǎn)化為不可驗(yàn)證的假設(shè)。十幾年前引入的微分幾何估計(jì),是解決變系數(shù)Schr?dinger方程控制問題的一個(gè)有力工具,從此在變系數(shù)Schr?dinger方程的適定正則性及可控性方面取得了許多進(jìn)展[4-7]。

為了給出要研究的方程,下面先定義幾個(gè)算子。

令A(yù)(x)=[aij(x)]n×n是定義在Ω上的實(shí)對(duì)稱矩陣,且對(duì)常數(shù)a,b>0,滿足

(1)

P是一個(gè)二階偏微分算子:

(2)

(3)

且

ν

(4)

其中ν=(ν1,ν2,…,νn)為?Ω上指向Ω外部的單位外法向量。

A是L2(Ω)中的正定自共軛算子,定義為:

(5)

考慮如下變系數(shù)Schr?dinger方程:

(6)

其中Ω?Rn(n≥2)是開的有界區(qū)域,具有C3光滑邊界,?Ω=Γ,u是邊界控制,y是邊界觀測(cè),算子P、、A分別由式(2)、(3)和(5)定義。

文獻(xiàn)[5]證明了Schr?dinger方程在Neumann邊界控制下的適定性,而沒有給出系統(tǒng)的正則性。目的是研究Dirichlet邊界控制和同位觀測(cè)的Schr?dinger方程(6)的適定性與正則性,把文獻(xiàn)[5]中研究適定性的方法推廣到Dirichlet邊界上,得出系統(tǒng)(6)的適定性,然后利用適定性結(jié)果,證明了系統(tǒng)(6)是正則的。

1 預(yù)備知識(shí)

令G(x)是正定矩陣,ρ(x)是其行列式,

ρ(x)=detG(x), ?x∈Rn

(7)

則(Rn,g)成為帶有度量g的Riemann流形[8]。

由式(1)、(4)和(7),得

(8)

其中DXN表示向量場(chǎng)N關(guān)于X的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

其中: div0是歐式空間Rn上的散度算子,▽g、divg和Δg分別為流形(Rn,g)上的梯度算子、散度算子和Beltrami-Laplace算子。

下面給出一個(gè)乘子等式。

現(xiàn)在將系統(tǒng)(6)化為在狀態(tài)空間H=H-2(Ω)中的一階抽象系統(tǒng)。

于是系統(tǒng)(6)能被改寫為:

(9)

等同H和它的對(duì)偶H′,則有下列Gelfand三嵌入:

(10)

(11)

(12)

(13)

于是系統(tǒng)(6)化為一個(gè)在狀態(tài)空間H中的一階抽象系統(tǒng):

(14)

2 主要結(jié)果

第一個(gè)結(jié)果是系統(tǒng)(6)的適定性,是文獻(xiàn)[5]中定理1.1的推廣,表明系統(tǒng)(6)在狀態(tài)空間H和輸入輸出空間U=Y中是適定的[14]。

定理1對(duì)?T>0,u∈L2(0,T;U),系統(tǒng)(6)存在滿足初值條件w(·,0)=w0∈H的唯一解w∈C(0,T;H)和不依賴于(w0,u)的常數(shù)CT>0,使得為證明定理1,需要下面的引理2。

引理2[15]若?T>0,CT>0,使得當(dāng)初值為零時(shí),系統(tǒng)(6)的輸入輸出滿足

則系統(tǒng)(6)是適定的。

(15)

因此,定理1成立當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)某一(從而對(duì)所有)T>0,存在常數(shù)CT>0,使得方程(15)的解滿足

(16)

定理1的證明下面將分4步證明式(16)成立。

(17)

計(jì)算式(17)左邊的第一項(xiàng),有

(18)

由引理1,有

(19)

把式(19)代入式(18)中,得

(20)

計(jì)算(17)左邊的第二項(xiàng),得

(21)

由式(17)、(20)和(21),得

(22)

其中

C(0,T;H-2(Ω)×L2(Ω))

(23)

u∈L2((0,T)×Γ)

(24)

于是,根據(jù)文獻(xiàn)[5]中的引理2.4,有

(25)

第三步(估計(jì)R2) 為了估計(jì)R2,先把u限制在L2((0,T)×Γ)的具更高光滑性的稠密子集中:

u∈C2((0,T)×Γ),u(x,0)=u(x,T)=0

在R2中,對(duì)t進(jìn)行分部積分,得

(26)

由式(24)和(26),得

(27)

第四步(估計(jì)b0,T) 由式(24),得

(28)

最后,從式(22)、(25)、(27)和(28),結(jié)合式(8),知式(16)成立。證畢。

第二個(gè)結(jié)果是系統(tǒng)(6)的正則性。

定理2系統(tǒng)(6)是正則的,并且其直接傳輸算子為零。確切地說,如果w(·,0)=wt(·,0)=0,且u(·,t)=u(·)∈U是一個(gè)階躍輸入,則相應(yīng)的輸出y滿足

由于系統(tǒng)(6)是適定的,根據(jù)文獻(xiàn)[18]的附錄,系統(tǒng)(6)的傳遞函數(shù)為:

(29)

進(jìn)而,由定理1宣稱的適定性還意味著存在正常數(shù)M,α>0[17],使得

(30)

的解uε滿足

(31)

則定理2成立。

證明只需證明在U的強(qiáng)拓?fù)湎?H(λ)u沿著正實(shí)軸趨向于零[19],即對(duì)于任意的u∈L2(Γ)=U,有

則vλ滿足

(32)

和

(33)

的唯一解,則式(32)可化為:

或

-iλ

因此,式(33)就成為:

(34)

令vε(x)=vλ(x),即ε=λ-1,并取極限ε→0,則由式(34)知命題成立。

定理2的證明由命題1,只需證明式(31)。從式(30)的邊值條件易得式(31)成立。證畢。