侯林森,李高磊,吳 鑫,樂 源

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)

懸索橋是一類以承受拉力的纜索作為主要承重結(jié)構(gòu)的橋梁,是特大跨徑橋梁的主要形式之一。對于大跨度懸索橋而言,隨著橋跨的不斷增加,橋的結(jié)構(gòu)剛度將會大幅下降,風(fēng)致抖振的發(fā)生將會影響橋體的穩(wěn)定性,進(jìn)而發(fā)生分岔乃至混沌的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,如果設(shè)計(jì)不當(dāng)將會導(dǎo)致難以預(yù)計(jì)的后果。

自19世紀(jì)初懸索橋被發(fā)明以來,關(guān)于懸索橋的設(shè)計(jì)和研究便成為了工程界的熱點(diǎn)問題之一。1940年,美國塔科馬(Tacoma)懸索橋的風(fēng)致坍塌震驚了整個(gè)工程界[1],大量的學(xué)者也開始注意到這一類實(shí)際的工程系統(tǒng):為了研究該類系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,Lazer等[2]首先建立了一類單自由度分段懸索橋模型,考慮其受到周期外激勵(lì)作用下的解,Glover等[3]研究了單自由度分段的懸索橋模型在恒定載荷和較小激勵(lì)下周期解的存在性和穩(wěn)定性,并將判別周期解存在性和穩(wěn)定性的Loud隱函數(shù)理論方法推廣到不可微非線性的系統(tǒng)。為了更好地?cái)M合實(shí)際工程中懸索橋的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),Lazer等[4]將系統(tǒng)擴(kuò)展到更高的維度,建立了一類兩自由度光滑懸索橋模型和一類兩自由度分段懸索橋模型,用數(shù)值方法計(jì)算了其受到大幅度周期激勵(lì)作用的解,Doole等[5]通過數(shù)值模擬出了單自由度分段懸索橋系統(tǒng)的相圖、分岔圖,觀察到系統(tǒng)的周期倍化現(xiàn)象和周期共存現(xiàn)象,隨著簡單胞映射方法[6-11]的提出與改進(jìn),通過全局動(dòng)力學(xué)方法分析系統(tǒng)的吸引子和吸引域的穩(wěn)定性以及演化規(guī)律開始廣泛應(yīng)用于各種動(dòng)力學(xué)模型,Freitas等[12]繼續(xù)考慮了單自由度分段光滑的懸索橋模型,結(jié)合簡單胞映射方法得到了以周期解為主的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象以及吸引域邊界的結(jié)構(gòu)分形,并觀察到了包括周期吸引子和混沌吸引子共存,邊界激變[13-20]在內(nèi)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。

繼續(xù)研究單自由度分段光滑懸索橋模型,借助簡單胞映射方法,研究系統(tǒng)在不同的參數(shù)下的多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué),并發(fā)現(xiàn)了周期吸引子共存、周期吸引子和混沌吸引子共存、混沌吸引子共存的豐富多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。通過打靶法計(jì)算系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道,研究了系統(tǒng)的激變動(dòng)力學(xué),不同于以往的研究結(jié)果,在改變激振幅值參數(shù)B時(shí)發(fā)現(xiàn),從一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn)延拓出來的不穩(wěn)定周期軌道隨著參數(shù)的減小與共存的穩(wěn)定周期1軌道重新交匯,形成了一個(gè)新的鞍結(jié)點(diǎn),該研究結(jié)果表明系統(tǒng)在一個(gè)不穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下隨著參數(shù)的變化可能分別對應(yīng)著兩個(gè)穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),為分析懸索橋的穩(wěn)定性提供了一個(gè)新的思路,對工程實(shí)踐中懸索橋的安全性分析提供有效的理論參考和一定的實(shí)踐依據(jù)。

1 懸索橋力學(xué)模型

考慮了文獻(xiàn)[3]研究的單自由度分段光滑懸索橋模型,得到運(yùn)動(dòng)微分方程:

y″+2cy′+k′y=W+Bsin(ωt)

(1)

其中:

(2)

y表示垂直方向的位移,向下為正,c表示阻尼系數(shù),k′表示懸索分段剛度系數(shù),k表示懸索的剛度,W表示預(yù)加載力,ω表示垂直方向入射的風(fēng)載荷頻率。

2 簡單胞映射方法的基本原理

假設(shè)微分方程為:

(3)

式中:x為實(shí)值向量,F為實(shí)值向量函數(shù),當(dāng)系統(tǒng)具有周期性時(shí),F為關(guān)于t的周期函數(shù),對式(3)在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行積分,將系統(tǒng)在一個(gè)周期結(jié)束時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與下一個(gè)周期結(jié)束時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系,式(3)可改寫為:

x(n+1)=G(x(n))

(4)

式(4)說明狀態(tài)空間中的點(diǎn)x(n)在經(jīng)過一個(gè)周期后由G映射為點(diǎn)x(n+1),這種點(diǎn)對點(diǎn)的映射動(dòng)力系統(tǒng)被稱為點(diǎn)映射或者Poincaré映射。

簡單胞映射方法是通過將連續(xù)系統(tǒng)離散為具有離散狀態(tài)空間的系統(tǒng),再通過特征矢量對每個(gè)單元(胞)的表征近似地描述連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量。假設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的N維歐式狀態(tài)空間為RN,將狀態(tài)變量的坐標(biāo)軸xi(i=1,2,…,N)分成無數(shù)個(gè)整數(shù)區(qū)間,間距為hi,其中每個(gè)區(qū)間Zi表示一個(gè)胞單元,每一個(gè)胞單元Zi中包含的xi范圍為:

(Zi-1/2)hi≤xi<(Zi+1/2)hi

(5)

那么系統(tǒng)的狀態(tài)矢量就可以用N維胞矢量Z表征。將每個(gè)胞視為實(shí)體,那么z(n)到z(n+1)的胞映射便與x(n)到x(n+1)的點(diǎn)映射方程(4)關(guān)聯(lián)起來,得到:

z(n+1)=c(z(n)),Zi(n+1)=Ci(z(n))

(6)

c表示一個(gè)映射函數(shù),式(6)這樣的映射關(guān)系稱為胞映射,簡單胞映射方法可以通過數(shù)值方法計(jì)算求解非線性復(fù)雜系統(tǒng)的吸引子和吸引域等全局動(dòng)力學(xué)特性。

3 全局動(dòng)力學(xué)分析

3.1 阻尼系數(shù)c對全局動(dòng)力學(xué)的影響

取系統(tǒng)參數(shù)為W=1,k=50,B=3.0,ω=1.2,考慮隨著阻尼系數(shù)c增加時(shí)系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)特性。圖1、圖2分別為c∈(0.02,0.03)和c∈(0.132,0.152)時(shí)的分岔圖。圖1中的青綠色豎線位置表示c=0.021 0,此時(shí)存在著藍(lán)色軌線表示的周期4吸引子,黑色軌線表示的周期4吸引子以及洋紅色軌線表示的周期12吸引子共存,當(dāng)阻尼系數(shù)c增大到0.023 0(圖1中橙色豎線位置時(shí)),黑色軌線表示的周期4吸引子退化為周期2的吸引子,此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為周期2、周期4和周期12吸引子共存的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),隨著阻尼系數(shù)c的進(jìn)一步增大,當(dāng)c=0.024 2,如圖1中紫色豎線位置所示,洋紅色軌線表示的周期12吸引子也發(fā)生了退化,變?yōu)橹芷?的吸引子,這時(shí)系統(tǒng)處于周期2、周期4、周期6吸引子共存的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),當(dāng)c繼續(xù)增大到0.025 5,圖1中紅色豎線位置,此時(shí)藍(lán)色軌線表示的周期軌道在進(jìn)入混沌后消失,此時(shí)系統(tǒng)僅表現(xiàn)為黑色軌線表示的周期2吸引子和洋紅色軌線表示的周期6吸引子共存的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。從圖2中可以觀察到,在c=0.136 5處,存在著混沌吸引子與周期吸引子共存,在c=0.139 5處存在著周期2和周期4吸引子共存,如圖2中藍(lán)色豎線和黃色豎線位置所示。

借助胞映射方法,可以進(jìn)一步通過系統(tǒng)的吸引子和吸引域的穩(wěn)定性和演化規(guī)律來研究系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué),圖3分別對應(yīng)圖1和圖2中不同豎線位置的阻尼系數(shù)c下吸引子和吸引域。

圖1 c∈(0.02,0.03)時(shí)不同初值下的分岔圖

圖3 不同阻尼系數(shù)c下系統(tǒng)共存的吸引子及其吸引域

圖3(a)為c=0.021 0時(shí)系統(tǒng)的吸引子和吸引域,系統(tǒng)存在著藍(lán)綠色圓點(diǎn)表示的周期4吸引子,紅色圓點(diǎn)表示的周期4吸引子以及黑色圓點(diǎn)表示的周期12吸引子共存,它們的吸引域分別用深藍(lán)色、靛藍(lán)色以及黃色的區(qū)域表示,可以觀察到3個(gè)吸引子的吸引域相互糾纏嵌套在一起且具有分形結(jié)構(gòu),說明在此狀態(tài)下系統(tǒng)對初值比較敏感,任何一個(gè)微小的擾動(dòng)都可能使系統(tǒng)從一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)跳躍到另一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這樣的吸引域稱為“Wada域”[21]。圖3(b)為c=0.023 0時(shí)系統(tǒng)的吸引域,其中青綠色區(qū)域表示周期2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的吸引域,吸引子用洋紅色圓點(diǎn)表示;黃色區(qū)域?yàn)橹芷?運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的吸引域,吸引子用深藍(lán)色圓點(diǎn)表示;藍(lán)色區(qū)域?yàn)橹芷?2運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的吸引域,吸引子用紅色圓點(diǎn)表示,系統(tǒng)在此參數(shù)狀態(tài)下表現(xiàn)為周期2、周期4、周期12吸引子共存。圖3(c)為c=0.024 2時(shí)系統(tǒng)的吸引子和吸引域,系統(tǒng)表現(xiàn)為周期2、周期4、周期6吸引子共存,吸引子分別用紅色、洋紅色和黑色來表示,對應(yīng)的吸引域顏色分別為黃色、深藍(lán)色和青綠色。圖3(d)為c=0.025 5時(shí)的吸引子和吸引域,此時(shí)對應(yīng)分岔圖中的藍(lán)色軌線突然消失,只剩下2種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的吸引子共存,即綠色圓點(diǎn)表示的周期2吸引子和紅色圓點(diǎn)表示的周期6吸引子共存,它們的吸引域分別用黃色和紫色表示。當(dāng)c增加到0.136 5時(shí),如圖3(e),系統(tǒng)表現(xiàn)為周期4吸引子與混沌吸引子共存,青綠色的圓點(diǎn)表示周期4的吸引子,從深藍(lán)色區(qū)域出發(fā)的軌道可以吸引到周期4吸引子上。紅色的離散點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)榛煦缥?從黃色區(qū)域出發(fā)的軌道可以吸引到混沌吸引子上,與前4組參數(shù)下的吸引子與吸引域相比,在此參數(shù)下周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性相對較高,因?yàn)槲蚯短壮潭缺容^低,吸引域的邊界不再具有“Wada域”的特性,隨著阻尼系數(shù)c進(jìn)一步增大到0.139 5時(shí),如圖3(f),原本的周期4的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)退化為周期2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而原本的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)退化為周期4的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),其中周期2吸引子用青綠色圓點(diǎn)表示,深藍(lán)色區(qū)域?yàn)槠湮?周期4的吸引子用紅色圓點(diǎn)表示,黃色區(qū)域?yàn)槠湮颉?/p>

3.2 激振頻率ω對全局動(dòng)力學(xué)的影響

固定其他參數(shù)分別為W=1,k=50,B=3.0,c=0.075,通過數(shù)值模擬得到系統(tǒng)在不同初值下,隨激振頻率ω變化的多個(gè)吸引子共存的分岔圖,如圖4和圖5所示。圖4為ω∈(0.657,0.666)時(shí)的不同初值分岔圖,可以觀察到在藍(lán)色豎線位置,ω=0.658時(shí)存在著周期4吸引子和周期6吸引子共存,當(dāng)ω增大到0.660橙色豎線位置時(shí),周期4吸引子退化為周期2吸引子,周期6吸引子退化為周期3吸引子,此時(shí)系統(tǒng)為周期2的吸引子和周期3的吸引子共存。圖5為不同初值下ω∈(0.714,0.724 5)時(shí)的分岔圖,藍(lán)色豎線ω=0.715處,存在著周期3的吸引子和周期4的吸引子共存。在橙色豎線ω=0.724處,存在著混沌吸引子與混沌吸引子共存,且黑色的混沌吸引子分為3片獨(dú)立的混沌區(qū)域,洋紅色吸引子則為一整片的混沌區(qū)域。

圖4 ω∈(0.657,0.666)時(shí)不同初值下的分岔圖

圖5 ω∈(0.714,0.724 5)時(shí)不同初值下的分岔圖

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,通過胞映射方法得到系統(tǒng)隨激振頻率ω變化時(shí)的吸引子及其吸引域,如圖6所示。圖6(a)為ω=0.658時(shí)的吸引域,此時(shí)系統(tǒng)存在著周期4和周期6共存的吸引子,其中綠色圓點(diǎn)表示周期4的吸引子,其吸引域用深藍(lán)色區(qū)域表示;周期6的吸引子用洋紅色圓點(diǎn)表示,其吸引域用黃色區(qū)域表示。從圖中可以看出,深藍(lán)色區(qū)域的面積比黃色區(qū)域的面積大,說明深藍(lán)色區(qū)域周期4吸引子的局部穩(wěn)定性比黃色區(qū)域周期6吸引子的穩(wěn)定性要高。當(dāng)ω增加到0.660時(shí),如圖6(b)所示,系統(tǒng)從周期4吸引子和周期6吸引子共存退化成周期2和周期3的吸引子共存,吸引子分別用紅色圓點(diǎn)、綠色圓點(diǎn)表示,對應(yīng)吸引子的吸引域分別用深藍(lán)色區(qū)域、黃色區(qū)域表示。此時(shí)的吸引域與ω=0.658具有相同的分形結(jié)構(gòu)。當(dāng)ω進(jìn)一步增大到0.715,如圖6(c)所示,此時(shí)系統(tǒng)為周期3吸引子和周期4吸引子共存,紅色圓點(diǎn)表示周期3吸引子,從深藍(lán)色區(qū)域出發(fā)的軌道可以吸引到周期3的吸引子上,黑色圓點(diǎn)表示周期4的吸引子,從黃色區(qū)域出發(fā)的軌道可以吸引到周期4的吸引子上。周期3和周期4吸引域的邊界纏繞嵌套在一起,系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)一步降低。圖6(d)為ω=0.724時(shí)的吸引子和吸引域,這時(shí)系統(tǒng)存在著混沌吸引子共存,其中紅色離散的圓點(diǎn)組成的三片獨(dú)立的混沌區(qū)域與綠色離散的圓點(diǎn)組成的混沌吸引子共存,其中紅色混沌吸引子的吸引域用黃色區(qū)域表示,綠色混沌吸引子的吸引域用藍(lán)色區(qū)域表示。

圖6 不同激振頻率ω下系統(tǒng)共存的吸引子及其吸引域

4 激變動(dòng)力學(xué)

4.1 激振頻率ω為參數(shù)的激變動(dòng)力學(xué)

激振頻率ω是系統(tǒng)的主要參數(shù)之一,研究系統(tǒng)在激振頻率下的激變動(dòng)力學(xué),為工程實(shí)際中懸索橋的安全檢測和維護(hù)提供了有效的理論依據(jù)。圖7為ω∈(0,1.5)時(shí)的分岔圖,此時(shí),W=1,k=50,B=3.0,c=0.05。可以觀察到,當(dāng)0<ω<1.35時(shí),系統(tǒng)存在周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,由于該系統(tǒng)是一個(gè)分段系統(tǒng),在ω=0.707 5以及ω=0.978處分岔圖出現(xiàn)了跳躍的現(xiàn)象。1.35<ω<1.5時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

圖7 ω∈(0,1.5)時(shí)系統(tǒng)的分岔圖

為了更深入地研究系統(tǒng)的激變機(jī)制,取ω∈(0.54,0.57)時(shí)的子區(qū)間分岔圖,如圖8所示,綠色虛線表示不穩(wěn)定周期軌道,洋紅色區(qū)域表示混沌吸引子?？梢杂^察到,當(dāng)ω∈(0.54,0.57)時(shí),系統(tǒng)存在著同時(shí)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的情況,這說明存在周期吸引子和混沌吸引子共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象?？紤]隨著ω減小時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象,首先在ω=0.565處,系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔(SN),當(dāng)ω減小到0.563 1時(shí),鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的一支不穩(wěn)定的周期軌道與混沌吸引子發(fā)生接觸,混沌吸引子突然消失,系統(tǒng)發(fā)生了邊界激變(BC),此時(shí)只存在周期1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),當(dāng)ω減小到 0.551 4時(shí),系統(tǒng)發(fā)生周期倍化(PD),系統(tǒng)由原先的周期1運(yùn)動(dòng)倍化為周期2運(yùn)動(dòng),隨著ω的進(jìn)一步減小,當(dāng)ω=0.546 4時(shí)系統(tǒng)再一次發(fā)生周期倍化,由周期2倍化為周期4,最終在ω=0.544 9處,通過周期倍化進(jìn)入了混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)ω減小到 0.542 8時(shí),鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的不穩(wěn)定周期軌道與混沌吸引子接觸,發(fā)生了內(nèi)部激變(IC),導(dǎo)致了混沌吸引子大小突然性增大。

圖8 ω∈(0.540,0.570)時(shí)不同初值下的系統(tǒng)分岔圖

借助胞映射方法,通過數(shù)值模擬得到系統(tǒng)的吸引域,可以更細(xì)致地研究系統(tǒng)隨激振頻率ω變化時(shí)的全局特性。圖9為系統(tǒng)在不同的激振頻率下的吸引子和吸引域。

圖9 系統(tǒng)在不同激振頻率ω下的吸引子和吸引域

圖9(a)為ω=0.567時(shí)系統(tǒng)的吸引子和吸引域,此時(shí)不存在吸引子共存的現(xiàn)象,系統(tǒng)為混沌運(yùn)動(dòng),白色區(qū)域?yàn)榛煦缥?綠色區(qū)域?yàn)榛煦缥拥奈?。如圖9(b)所示,當(dāng)ω=0.564時(shí),周期1吸引子與混沌吸引子共存,紅色圓點(diǎn)表示周期1吸引子,黃色區(qū)域表示周期1吸引子的吸引域。圖中白色離散的點(diǎn)為混沌吸引子,整個(gè)深藍(lán)色區(qū)域都是混沌吸引子的吸引域。如圖9(c)所示,當(dāng)ω減小到0.563 2時(shí),此時(shí)系統(tǒng)仍處于周期1和吸引子和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共存,白色離散點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)榛煦缥?整個(gè)黃色區(qū)域?yàn)樗奈?紅色圓點(diǎn)為周期1的吸引子,深藍(lán)色區(qū)域?yàn)橹芷?吸引子的吸引域。通過圖9(b)(c)的對比,可以觀察到隨著ω的減小,周期1吸引子的吸引域不斷向混沌吸引子靠近,且以針狀結(jié)構(gòu)不斷的占據(jù)原混沌吸引子的吸引域,當(dāng)ω繼續(xù)減小到0.563 1時(shí),鞍結(jié)分岔的不穩(wěn)定周期軌道與混沌吸引子發(fā)生接觸,導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生邊界激變,混沌吸引子及其吸引域突然消失。圖9(d)為ω=0.555時(shí)的吸引子和吸引域,此時(shí)系統(tǒng)僅存在一個(gè)周期1的吸引子,整個(gè)青綠色區(qū)域都是它的吸引域。對應(yīng)于圖8的分岔圖,洋紅色的混沌吸引子和綠色的不穩(wěn)定周期軌道發(fā)生了接觸,導(dǎo)致洋紅色的混沌吸引子區(qū)域突然消失。隨著ω繼續(xù)減小,系統(tǒng)通過周期倍化進(jìn)入混沌狀態(tài),圖9(e)為ω=0.544時(shí)的吸引子和吸引域,圖中白色離散點(diǎn)組成的區(qū)域表示混沌吸引子,青綠色區(qū)域表示其吸引域。當(dāng)ω減小到0.542 8時(shí),鞍結(jié)分岔的不穩(wěn)定周期軌道與混沌吸引子發(fā)生了接觸,系統(tǒng)發(fā)生內(nèi)部激變。當(dāng)ω=0.540時(shí),如圖9(f)所示,此時(shí)混沌吸引子的大小相較于ω=0.544時(shí)出現(xiàn)了顯著的增大,在圖8的系統(tǒng)分岔圖中也可以觀察到在ω=0.542 8附近,混沌吸引子的大小發(fā)生了突然性增大,再次說明系統(tǒng)發(fā)生了內(nèi)部激變。

4.2 激振幅值B為參數(shù)的激變動(dòng)力學(xué)

激振幅值B也是系統(tǒng)的主要參數(shù)之一,考慮系統(tǒng)隨激變幅值改變時(shí)的響應(yīng)對分析風(fēng)載荷作用下懸索橋的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象有一定的現(xiàn)實(shí)意義?？紤]在參數(shù)W=1,k=50,ω=0.6,c=0.075時(shí),系統(tǒng)隨激振幅值B變化的激變動(dòng)力學(xué)。圖10為激振幅值B∈(1.5,3)的分岔圖。可以觀察到存在著大量的周期窗口和混沌窗口交替出現(xiàn)的情況。為了更清楚地觀察系統(tǒng)的激變現(xiàn)象,取圖10的子區(qū)間B∈(1.96,2.44)觀察系統(tǒng)的激變現(xiàn)象,如圖11所示,圖中綠色虛線表示不穩(wěn)定的周期軌道,紅色區(qū)域、洋紅色區(qū)域表示共存的周期吸引子或混沌吸引子?？紤]隨著激振幅值B減小時(shí)分岔圖的變化,首先當(dāng)B∈(2.394 1,2.45),系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),當(dāng)B減小到2.41時(shí),系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,從鞍結(jié)點(diǎn)分出一支穩(wěn)定的周期軌道和一支不穩(wěn)定的周期軌道,當(dāng)不穩(wěn)定周期軌道在B=2.394 1處與洋紅色所表示混沌吸引子的邊界發(fā)生接觸時(shí),混沌吸引子突然消失,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變。當(dāng)激振幅值B繼續(xù)減小到2.255時(shí),出現(xiàn)黑色軌線表示的穩(wěn)定周期1的軌道與紅色區(qū)域表示的混沌吸引子共存的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。隨著B值繼續(xù)減小,當(dāng)B=2.177時(shí),穩(wěn)定的周期軌道發(fā)生周期倍化,并在B=2.099處再次發(fā)生周期倍化,直至進(jìn)入混沌狀態(tài)。而紅色區(qū)域表示的共存的混沌吸引子在B=2.089退化周期1吸引子。當(dāng)激振幅值B進(jìn)一步減小到2.031時(shí),不穩(wěn)定周期軌道與混沌吸引子內(nèi)部區(qū)域的邊界發(fā)生接觸,系統(tǒng)的吸引子尺寸出現(xiàn)突然性增大,此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了邊界激變,當(dāng)B最終減小到2.015時(shí),綠色虛線表示的不穩(wěn)定周期軌道和紅色軌線表示的共存周期1吸引子軌線發(fā)生交匯,產(chǎn)生一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn),形成了一個(gè)新的鞍結(jié)分岔。

圖10 B∈(1.5,3)時(shí)系統(tǒng)的分岔圖

圖11 B∈(1.96,2.44)時(shí)不同初值下系統(tǒng)的分岔圖

圖12為系統(tǒng)在不同的激振幅值下的吸引子和吸引域,圖12(a)為B=2.42時(shí)的吸引子和吸引域,此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),白色部分為其吸引子,青綠色區(qū)域?yàn)槠湮颉D12(b)(c)分別為B=2.398和B=2.396時(shí)的吸引子和吸引域,此時(shí)系統(tǒng)處于周期1吸引子和混沌吸引子共存的狀態(tài),紅色圓點(diǎn)表示周期1吸引子,整個(gè)黃色區(qū)域?yàn)橹芷?吸引子的吸引域,白色區(qū)域組成的離散部分表示混沌吸引子,深藍(lán)色區(qū)域?yàn)槠湮?。隨著B值的減小,周期1吸引子的吸引域以針狀結(jié)構(gòu)不斷占據(jù)混沌吸引子的吸引域。當(dāng)B=2.394 1時(shí),系統(tǒng)發(fā)生邊界激變,不穩(wěn)定的周期軌道與外部吸引子的邊界發(fā)生接觸?；煦缥油蝗恍韵?。如圖12(d)所示,當(dāng)B=2.393時(shí),系統(tǒng)混沌吸引子完全消失,只存在白色圓點(diǎn)表示的周期1吸引子,青綠色區(qū)域?yàn)橹芷?吸引子的吸引域。圖12(e)和圖12(f)分別為B=2.035和B=2.030時(shí)的吸引子和吸引域,此時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)為周期1吸引子和混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)共存,紅色圓點(diǎn)表示共存的周期1吸引子,黃色區(qū)域表示周期1吸引子的吸引域,白色區(qū)域表示混沌吸引子,藍(lán)色區(qū)域?yàn)榛煦缥拥奈??？梢酝ㄟ^吸引子和吸引域觀察到在B=2.031處系統(tǒng)的混沌吸引子尺寸出現(xiàn)了突然性增大,此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了內(nèi)部激變。

圖12 系統(tǒng)在不同激振幅值B下的吸引子和吸引域

5 結(jié)論

考慮了一類懸索橋模型,通過數(shù)值的方法研究了系統(tǒng)在特定參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)特性。通過改變阻尼系數(shù)和激振頻率,利用分岔圖計(jì)算出不同周期吸引子共存、周期吸引子和混沌吸引子共存以及混沌吸引子和混沌吸引子共存的豐富多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,運(yùn)用簡單胞映射方法數(shù)值模擬得到它們的吸引子和吸引域,進(jìn)一步說明了多種不同吸引子共存的現(xiàn)象。利用打靶法求出系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道,通過改變激振頻率和激振幅值分別得到系統(tǒng)的分岔圖,觀察到不穩(wěn)定周期軌道與混沌吸引子接觸時(shí)出現(xiàn)的2種不同的激變現(xiàn)象,即內(nèi)部激變和邊界激變。通過研究激變現(xiàn)象附近參數(shù)的吸引域變化,闡述了激變的原理:當(dāng)混沌吸引子與在其吸引域外部邊界上的不穩(wěn)定周期軌道接觸時(shí),激振頻率參數(shù)通過激變臨界值時(shí)混沌吸引子的穩(wěn)定性完全突然喪失,該類激變稱為外部激變;當(dāng)混沌吸引子與其吸引域內(nèi)部的不穩(wěn)定周期軌道接觸時(shí),激振頻率參數(shù)通過激變臨界值,混沌吸引子的大小發(fā)生突然性變化,該類激變稱為內(nèi)部激變。本文的研究結(jié)果對實(shí)際工程中懸索橋的設(shè)計(jì)以及提高懸索橋在風(fēng)致顫振的下的穩(wěn)定性有一定的理論參考意義。